Carl Friedrich Gauss i jego funkcja błędu (1809)

Gauss był cudownym dzieckiem, jego zdolności zwróciły uwagę księcia, dzięki czemu młody człowiek mógł się kształcić: najpierw w rodzinnym Brunszwiku, potem w Getyndze. Syn skromnego ogrodnika i murarza początkowo nie znał nawet dokładnej daty swego urodzenia – matka pamiętała jedynie, że była to środa, osiem dni przed Wniebowstąpieniem Pańskim – w 1799 roku młody uczony obliczył, że musiało to być 30 kwietnia 1777 roku. Już jego wczesne prace matematyczne, Disquisitiones Arithmeticae, poświęcone teorii liczb, oraz doktorat, zawierający dowód podstawowego twierdzenia algebry (każde równanie wielomianowe ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony), zawierały istotne wyniki, szeroki rozgłos zdobył jednak dzięki astronomii. W Nowy Rok 1801 teatyn z Palermo, Giuseppe Piazzi, zaobserwował słaby obiekt, który okazał się nową planetą (według współczensej terminologii: planetą karłowatą), zwaną dziś Ceres. Planeta zbliżyła się po pewnym czasie pozornie do Słońca i Piazzi nie potrafił jej później odnaleźć. Odkrył więc nową planetę i ją zagubił. Próbowano obliczyć orbitę Ceres na podstawie dostępnych obserwacji, zadanie to rozwiązał najlepiej właśnie Gauss: jego metoda nie wymagała żadnych upraszczających założeń, np. że orbita nowo odkrytego ciała niebieskiego jest okręgiem. Dzięki obliczeniom Gaussa, który był nie tylko znakomitym matematykiem, ale też bardzo sprawnym rachmistrzem, Ceres została odnaleziona. Kilka lat później uczonemu zaproponowano stanowisko dyrektora obserwatorium w Getyndze, które zajmował aż do śmierci. W roku 1809 opublikował swoją metodę wyznaczania orbity pt. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoria ruchu ciał niebieskich krążących wokół Słońca po krzywych stożkowych). Był to rok tragiczny dla Gaussa, we wrześniu urodziło się jego trzecie dziecko, syn Louis, miesiąc później wskutek komplikacji poporodowych zmarła jego żona Johanna. Louis przeżył swą matkę o zaledwie kilka miesięcy. Uczony ożenił się wprawdzie niedługo później ponownie: miał dwoje małych dzieci na wychowaniu, ale tragedia ta odcisnęła się głęboko na jego psychice.

Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gauß,_1828

Portret z 1828 roku (Wikipedia)

Theoria motus zawiera rozważania na temat błędów i metody najmniejszych kwadratów. Sama ta metoda została wcześniej opublikowana przez Adriena Marie Legendre’a, lecz rozważania Gaussa poszły dalej, inspirując z kolei Laplace’a. Przedstawimy podejście Gaussa do funkcji błędu – dziś nazywamy ją rozkładem Gaussa bądź rozkładem normalnym. Gauss założył, że prawdopodobieństwo otrzymania w pomiarze wyniku różniącego się o (x, x+dx) od rzeczywistej wartości równe jest p(x)dx. Naszym zadaniem jest wyznaczenie kształtu owej funkcji. Można przypuszczać, że powinna mieć ona kształt dzwonowy: błędy przeciwnych znaków powinny być jednakowo prawdopodobne, dla dużych wartości |x| prawdopodobieństwo powinno być niewielkie.

Załóżmy, że dysponujemy serią niezależnych wyników pomiaru pewnej wielkości \mu: x_0, x_1,\ldots, x_n. Jeśli za każdym razem funkcją błędu jest p(x), to prawdopodobieństwo powinno być proporcjonalne do iloczynu:

p(x_0-\mu)p(x_1-\mu)\ldots p(x_n-\mu).

Szukamy wartości najbardziej prawdopodobnej, traktując iloczyn jako funkcję \mu. Możemy zlogarytmować nasz iloczyn i poszukać maksimum sumy logarytmów:

\ln{p(x_0-\mu)}+\ln{p(x_1-\mu)}+\ldots+\ln{p(x_n-\mu)}.

W maksimum pochodna równa jest zero, oznaczając tę pochodną przez g(x)=\frac{d\ln{p(x)}}{dx}, mamy

g(x_0-\mu)+g(x_1-\mu)+\ldots+g(x_n-\mu)=0.\mbox{(*)}

Funkcje p(x), g(x) przedstawione są jakościowo na rysunku.

error_function

Następnie Gauss robi założenie, że prawidłową wartością \mu powinna być średnia arytmetyczna wszystkich wyników. Jeśli tak, to równanie (*) słuszne jest dla każdej liczby składników i dowolnych wyników pomiaru. Możemy wziąć np. wartości

x_0-(n+1)y=x_1=\ldots=x_n,

gdzie y jest dowolną liczbą. Równanie (*) przyjmuje wówczas postać:

g(ny)+ng(-y)=0\Rightarrow g(ny)=ng(y).

Łatwo zauważyć, że oznacza to, iż g musi być funkcją liniową, którą zapiszemy jako g(y)=-y/h^2, gdzie h jest pewną stałą; uwzględniając definicję g(x), dostajemy

p(x)=C\exp{(-\frac{x^2}{2h^2})}.

Mamy więc słynną krzywą dzwonową Gaussa. Stała C musi być tak dobrana, aby pole pod krzywą było równe 1.

normal67

Parametr h zależy od dokładności pomiarów i określa szerokość krzywej, nazywamy go odchyleniem standardowym (na wykresie jest on jednostką na osi x). Iloczyn gęstości prawdopodobieństwa przyjmuje postać:

\exp{(-(x_0-\mu)^2-(x_1-\mu)^2+\ldots-(x_n-\mu)^2)}.

Szukanie najbardziej prawdopodobnej wartości \mu odpowiada więc minimalizacji sumy kwadratów odchyleń w wykładniku:

(x_0-\mu)^2+(x_1-\mu)^2+\ldots+(x_n-\mu)^2.

3 myśli nt. „Carl Friedrich Gauss i jego funkcja błędu (1809)

  1. ” Gauss był cudownym dzieckiem, jego zdolności zwróciły uwagę księcia, dzięki czemu młodzieniec mógł się kształcić”
    Młodzieniec czy jeszcze nawet dziecko. O tym wszędzie, ale jak owąż uwagę zwrócił? Gdzie o tym poczytać?

    Lubię

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s