Zabdiel Boylston, czarna ospa w Bostonie i siła charakteru (1721-1722)

W XX wieku czarna ospa zabiła 300 mln. ludzi – trzy razy więcej niż zginęło w obu wojnach światowych. I w tym samym XX wieku udało się tę chorobę wyeliminować. Można, oczywiście, buntować się przeciwko nowoczesnej cywilizacji, ale żadna z tych 300 mln. osób nie zrozumiałaby, o co nam właściwie chodzi. Nie ma jednak szczepionki przeciwko głupocie i w naszych światłych czasach dzieci chorują albo będą chorować na rozmaite groźne przypadłości jedynie dlatego, że ich rodzice albo rodzice ich kolegów są podejrzliwymi idiotami, którzy sądzą, że wiedzą lepiej niż eksperci.

W XVIII wieku nie znano przyczyn ani mechanizmu szerzenia się ospy, jasne było tylko, że jest to choroba zakaźna. Ponieważ objawy występują dopiero po 12 dniach, więc izolacja chorych była na ogół spóźniona i zdążyli oni już zarazić osoby, z którymi się stykali. Wiadomo też było z obserwacji, że ci, którzy przeszli chorobę i przeżyli, byli na nią później odporni. Ryzyko było tak duże, że w Anglii w XVII wieku był zwyczaj, by nie zapisywać majątku dzieciom, zanim nie przeszły ospy, ponieważ ich przyszłość była wciąż bardzo niepewna. Spośród tych, co przeżyli, wielu było oślepionych albo oszpeconych na całe życie. Jedną z takich osób, których urodę zniszczyła ospa, była Mary Wortley Montagu, arystokratka, pisarka (sama nauczyła się łaciny w ojcowskiej bibliotece) i żona ambasadora brytyjskiego w Konstantynopolu. Dowiedziała się ona o praktyce wariolizacji stosowanej w imperium osmańskim: pobierano płyn z pęcherzyków na skórze chorego i zaszczepiano go osobom zdrowym. Pacjenci chorowali wówczas na ogół w sposób łagodny, nabywając przy tym odporności. Nie zawsze wariolizacja przynosiła pożądane efekty, zdarzały się przy jej stosowaniu wypadki śmiertelne. Montagu propagowała tę metodę w Londynie, przekonując m.in. księżnę Walii Karolinę do zaszczepienia dzieci. Metoda była kontrowersyjna. Wyglądała na jakiś rodzaj zabobonu, w dodatku przychodziła do Europy z krajów niecieszących się zaufaniem w sprawach medycznych i naukowych: stosowano ją na Kaukazie, w Afryce. W Konstantynopolu szczepieniami zajmowały się zwykle stare kobiety, co też nie wyglądało wiarygodnie w oczach Zachodu. Z punktu widzenia dzisiejszej wiedzy wariolizacja stanowiła postęp, lecz była obarczona ryzykiem. Dopiero pod koniec XVIII wieku Edward Jenner wynalazł skuteczną odmianę tej metody szczepienia: należy zaszczepiać ospę krowią, pacjenci wówczas nie chorują i nabierają odporności na ospę ludzką. Także i wtedy nie rozumiano, dlaczego szczepienie jest skuteczne i jak działa, opierano się wyłącznie na obserwacjach.

W kwietniu 1721 roku do Bostonu, stolicy Massachusetts, zawinął okręt „Seahorse”, płynący z Barbadosu. Jeden z członków załogi zachorował na ospę i został odizolowany w domu z czerwoną ostrzegawczą flagą. Później zachorowali także inni marynarze z tej jednostki i stało się jasne, że kwarantanna nie wystarczy, ponieważ choroba zdążyła się już rozprzestrzenić. Ówczesny Boston był małym miastem, liczącym sobie około jedenastu tysięcy mieszkańców. Rządy duchowe sprawowała w nim dynastia purytańskich ministrów: wiekowy Increase Mather i jego dobiegający sześćdziesiątki syn, Cotton Mather. Obaj zapisali się poprzednio w annałach ścigania czarownic i czarowników: to za ich aprobatą toczyła się sprawa w Salem w roku 1692. Wszechstronnie wykształcony w Ameryce i w Anglii, Cotton Mather, członek Towarzystwa Królewskiego, był zarazem ciasnym bigotem, głęboko wierzącym w realność i szkodliwość czarów. W swym dziele Pamiętne zrządzenia opatrzności opisywał przypadek irlandzkiej praczki, niejakiej Glover, która jako czarownica nękała pobożną rodzinę Goodwinów, którzy podczas owych diabelskich ataków głuchli, niemieli, ślepli albo wszystko to na raz. Mather przyczynił się do prześladowań w Salem, choć zarazem podkreślał potrzebę niezbitych dowodów w każdym przypadku. Teraz, wobec zagrożenia ospą, także starał się interweniować i tym razem jego wpływ okazał się jednoznacznie korzystny. Mather przekonany był bowiem do wariolizacji: czytał o niej wcześniej w „Transactions of the Royal Society”, miał też w domu niewolnika z Afryki, który mu opowiadał o tej metodzie. Minister skierował do lekarzy bostońskich pismo przedstawiające zalety wariolizacji. Medycy zareagowali wrogo, obawiając się, że wskutek wariolizacji epidemia jeszcze bardziej się rozszerzy. Wrogo też reagowali niektórzy duchowni. Ich zdaniem człowiek nie powinien ingerować w naznaczony przez Boga bieg wypadków. Znaleziono nawet pierwowzór wariolizacji w Księdze Hioba: „Odszedł szatan sprzed oblicza Pańskiego i obsypał Hioba trądem złośliwym, od palca stopy aż do wierzchu głowy. [Hiob] wziął więc skorupę, by się nią drapać siedząc na gnoju” (Hi 2, 7-8). A więc także Pismo św. wskazywało więc wyraźnie, że nie należy nikogo szczepić. Pismo św, jak zawsze, wskazuje we wszystkich kierunkach jednocześnie.

Jedynie chirurg Zabdiel Boylston gotów był spróbować wariolizacji. Nie miał on wykształcenia akademickiego, uczył się medycyny od swego ojca i innego jeszcze lekarza, w Ameryce nie było zresztą żadnej szkoły medycznej. Boylston dał się poznać jako sprawny chirurg, który nie obawiał się przeprowadzać ryzykownych operacji, jak usuwanie kamieni żółciowych czy pierwsza mastektomia w Ameryce. Operacje przeprowadzało się bez znieczulenia, należało wszystko robić błyskawicznie, żeby pacjent nie zmarł wskutek szoku i upływu krwi. Później groziły mu oczywiście wszelkie infekcje, Boylston był ponoć pedantycznie czysty i zapewne pomagało to jego pacjentom (nikt wówczas nie kojarzył chirurgii z czystością). Pierwsze szczepienia ospy przeprowadził na własnym synu oraz parze swych niewolników: ojcu i synu. Wszyscy trzej przeżyli. Boylston zaczął więc stosować tę metodę, choć przyjmowano to wrogo i lekarz obawiał się o swe bezpieczeństwo. W pewnym momencie rada miejska oficjalnie zakazała mu tych praktyk. Nie ujął się też za nim Mather, nie do końca chyba przekonany do wariolizacji (nie zaszczepił np. własnego syna). Ostatecznie Boylston przeprowadzał szczepienia na niezbyt dużą skalę, tylko u pacjentów, którzy sami się z tym do niego zwracali. Był także ostro krytykowany w miejscowej prasie. W tygodniowej gazecie wydawanej przez Jamesa Franklina (terminował u niego wtedy młodszy brat, Benjamin, który z czasem miał zostać najsławniejszym uczonym Ameryki) szczepienia atakowano jako szkodliwy przesąd. W pewnym stopniu postawa gazety wynikała z jej opozycyjności: James Franklin był przeciwny rządom Mathera i atmosferze moralnego terroru wprowadzanej przez purytanów, nietrudno więc było go przekonać, że duchowny także i tym razem broni jakichś przesądów. Ostatecznie w ciągu niecałego roku zachorowało w Bostonie około 6000 osób – ponad połowa ludności (około tysiąca bogatszych wyjechało na wieś i tam przeczekali epidemię). Zmarły w tym czasie na ospę 844 osoby, czyli 14% zainfekowanych. Za Boylstonem przemawiały liczby: spośród 286 osób, jakie zaszczepił, zmarło jedynie sześć. W dodatku nie zawsze było jasne, czy osoby te były zdrowe w momencie wariolizacji, być może choroba już się u nich rozwijała, lecz nie dawała jeszcze widocznych objawów. Tak czy inaczej było to tylko 2,4% – statystycznie biorąc, wariolizacja działała.

smallpox account-x

Doświadczenia swe Boylston opisał w książce, przyjęto go też do Towarzystwa Królewskiego. Wariolizację zaczęto, choć z oporami, uznawać. Nabrał do niej przekonania także Benjamin Franklin, choć obawiał się związanego z nią ryzyka. Pisze w swej autobiografii:

W roku 1736 straciłem jednego z mych synów, pięknego czteroletniego chłopca. Umarł na ospę, którą się w zwykły sposób zaraził. Długo i gorzko żałowałem potem i nadal żałuję, że nie kazałem go szczepić. Wspominam o tym ku przestrodze rodziców, którzy nie szczepią swych dzieci z obawy, że mogłyby wskutek tego umrzeć, czego nigdy nie mogliby sobie wybaczyć. Mój przykład świadczy, że żałować trzeba nieraz i w przeciwnym wypadku, a wobec tego lepiej wybierać drogę bezpieczniejszą. (przeł. J. Stawiński)

Reklamy

Robert M. May, Mitchell Feigenbaum i początki teorii chaosu (1975-1978)

Niektórzy uważają nauki ścisłe za nudne, ponieważ wszystko się w nich oblicza i wszystko poddane jest rygorom jakichś praw i formuł, w których brak rzekomo miejsca na twórczą swobodę. Okazuje się jednak, że nawet najprostsze wzory matematyczne prowadzić mogą do nieprzewidywalnych wyników.

Robert M. May zaczynał jako fizyk teoretyczny, potem zajął się matematyką stosowaną, a tak naprawdę jej zastosowaniami w biologii. Zwrócił on uwagę na niezwykłe własności prostego odwzorowania. Załóżmy, że chcemy modelować liczbę organizmów w jakimś zamkniętym środowisku w różnych latach. Organizmy się rozmnażają, więc ich liczba w danym roku x_{n+1} zależy od ich liczby w roku poprzednim x_{n} :

x_{n+1}=r x_{n},

gdzie parametr r oznacza współczynnik związany z przyrostem naturalnym. Jeśli r>1, to przyrost naturalny jest dodatni. Oznaczałoby to, że liczba naszych organizmów będzie rosła coraz szybciej, tworząc ciąg geometryczny. Byłby to przypadek eksplozji demograficznej albo sepsy. Zazwyczaj wzrost hamowany jest dostępnością pożywienia: im więcej jest organizmów, tym trudniej o pożywienie. Jeśli nasza nisza ekologiczna jest skończona, to możemy użyć zmodyfikowanej postaci poprzedniego wzoru:

x_{n+1}=r x_{n} (1-x_{n}),

Liczbę organizmów przedstawiamy teraz jako ułamek pewnej wartości maksymalnej, w ten sposób nasze x_{n} zawarte są w przedziale [0,1]. Efektywny współczynnik przyrostu jest teraz równy r (1-x_{n}) , maleje więc w miarę zapełniania się środowiska. Otrzymujemy w ten sposób proste równanie pozwalające obliczać liczbę organizmów w kolejnych pokoleniach. Odwzorowanie takie nazywa się logistycznym, uwzględnia ono skończoność zasobów i nadal jest stosunkowo proste. Zależy ono tylko od jednego parametru r, który powinien znajdować się w przedziale [0,4], żeby wynik kolejnej iteracji nie wyprowadził nas poza przedział [0,1], co w naszym modelu nie miałoby sensu. Robert May zdał sobie sprawę, że zachowanie odwzorowania logistycznego bywa zaskakujące i nietrywialne. W 1976 roku ogłosił w „Nature” artykuł o „prostych modelach matematycznych z bardzo złożoną dynamiką”. Głównym przykładem było odwzorowanie logistyczne.

Co może się stać, gdy zaczniemy wykonywać kolejne iteracje? Przy pewnym szczęściu mogłoby się okazać, że x=r x(1-x), Mamy wówczas punkt stały: za każdym razem dostaniemy to samo. Jeśli jednak zaczniemy od innej wartości, należy się spodziewać, że z czasem sytuacja będzie dążyć do stanu równowagi. Rzeczywiście tak się dzieje dla r<3. Np. dla r=2,9, startując z punktu x_0=0,5, otrzymamy oscylacje dążące do pewnej granicy. Jej wartość nie zależy od x_0, rozwiązanie dąży do punktu stałego.

image

Mamy więc dążenie do równowagi ekologicznej. Można tę sytuację zilustrować następującym wykresem:

r290

Mamy tu wykresy dwóch funkcji y=rx(1-x) oraz y=x. Startujemy z x_0=0,5, wynikiem pierwszej iteracji jest wartość leżąca na paraboli pionowo nad x_0. Chcemy następnie, aby wartość ta była punktem wyjścia do następnej iteracji: rysujemy więc odcinek poziomy aż do przecięcia z prostą y=x. Opuszczając teraz odcinek pionowy na parabolę, generujemy następny punkt, a przesuwając go poziomo do przecięcia z y=x, mamy punkt wyjścia dla iteracji nr 2. Widać, że punkty dążą do punktu stałego, który odpowiada przecięciu obu naszych wykresów funkcji.

Weźmy teraz wartość r=3,2. Oto, co dostajemy z iteracji: po pominięciu pewnej liczby początkowych wartości nasz wykres zaczyna oscylować:

image (1)

Zamiast równowagi ekologicznej mamy zależność okresową. Wykres pajęczynowy wygląda następująco:

r3.20

Dla jeszcze większych wartości, np. r=3,5 zamiast równowagi, dostajemy cykl o okresie cztery:

image (2)

 

r350

Co dalej? Można się domyślić, że teraz nic już nie zatrzyma kolejnych podwojeń. Nasze okresowe cykle będą się rozdwajać na cykle o podwojonym okresie. Wreszcie dla jeszcze większych wartości parametru r dostaniemy zachowanie chaotyczne, tak jakby okres stał się nieskończony.

image (5)

r380

Okazuje się, że to jeszcze nie koniec komplikacji: otóż dla pewnych wartości r powyżej progu chaotyczności, ponownie otrzymujemy wartości okresowe.

image (7)

r3832

Ten okres równy 3 podwaja się dla nieco większych wartości, w sumie obraz jest dość skomplikowany, i o tym właśnie napisał Robert M. May.

bifurkacje may

Tak przedstawiał się wykres w pracy z roku 1976. Na osi poziomej mamy parametr r, na pionowej wartości x. W istocie sytuacja jest znacznie skomplikowana, niż wówczas sądzono. Oto jakiś jej zwiastun:

tmp_m6W9Wb

Widzimy tu podwojenia i potem następne podwojenia. Wykres ten ma strukturę fraktalną: jego małe fragmenty są w powiększeniu takie jak większe. Łatwo go obejrzeć z większą rozdzielczością. Możemy też sami się pobawić oglądaniem tej struktury.

 

Większość wartości r powyżej 3,56995 wykazuje zachowania chaotyczne. Oznacza to np., że można by kolejnych tak generowanych liczb używać jako liczb pseudolosowych (niemal każda wartość początkowa prowadzi do innego ciągu).

W tym miejscu mogłoby się wydawać, że odwzorowanie logistyczne, dane równaniem kwadratowym jest jakoś wyróżnione. Okazuje się wszakże, że inne krzywe mające maksimum będą prowadzić do podobnych rezultatów. Odkrył to Mitchell Feigenbaum, potomek uchodźców z Polski (ojciec) i z Ukrainy (matka), który zrobił doktorat z cząstek elementarnych, długo nie publikował i jest człowiekiem dość ekscentrycznym. Bawił się on namiętnie wszystkim, co służyło do liczenia, aż wpadł mu w ręce pierwszy programowalny kalkulator HP-65. Za jego pomocą dokonał słynnego odkrycia uniwersalności w dochodzeniu do chaosu. Gdy rozpatrzymy kolejne wartości progów, przy których podwaja się okres, otrzymamy dla odwzorowania logistycznego, co następuje:

n 2^n r_n r_{n}-r_{n-1} ilorazy
1 2 3
2 4 3,44949 0,44949
3 8 3,54409 0,0946 4,751479915
4 16 3,564407 0,020317 4,656199242
5 32 3,5687594 0,0043524 4,667999265
6 64 3,5696916 0,0009322 4,66895516

Ponieważ liczyło się to długo, więc Feigenbaum próbował odgadywać, przy jakiej wartości pojawi się następny próg. Różnice kolejnych wartości bardzo szybko maleją. Feigenbaum odkrył, że

\dfrac{r_{n+1}-r_{n}}{r_{n+2}-r_{n+1}}\rightarrow 4,669201.

Okazało się, że jeśli zastąpić krzywą logistyczną jakąś inną funkcją o podobnym przebiegu, np. połówką sinusoidy, granica ta pozostanie taka sama. Wśród całego tego chaosu coś pozostaje stałe. Wartość tę nazywa się dziś Deltą Feigenbauma. Można ją też oglądać w zbiorze Mandelbrota: gdy powiększamy odpowiedni jego fragment przesuwając się przy tym, obserwujemy kolejne okręgi o promieniach w stosunku stałej Feigenbauma.

Mandelbrot_zoom

 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Self-similarity

Z podobnym zjawiskiem uniwersalności spotykamy się w dziedzinie przejść fazowych, gdzie także obowiązują prawa skalowania i wykładniki w tych prawach powtarzają się dla wielu różnych układów. Praca Feigenbauma przyniosła mu sławę: nie każdy odkrywa jakąś nową stałą matematyczną. Jest to pewnie jedyny przypadek, aby za pomocą kalkulatora dokonano istotnego odkrycia, niebawem narzędziem stały się komputery, sam Feigenbaum też ich potrzebował, aby dokładniej znaleźć wartość swoich stałych (bo jest jeszcze jedna). Z początku niezbyt ścisłe argumenty oraz eksperymenty numeryczne były jego głównym osiągnięciem, miał w związku z tym spory kłopot z publikacją: przez kilka lat różne pisma odrzucały jego artykuł, który dopiero w 1978 ukazał się on w „Journal of Statistical Physics”. Recenzenci dość często nie wiedzą, co zrobić z pracą zanadto nowatorską i niesztampową. Żyjemy w czasach nauki biurokratycznej, choć realny postęp niekoniecznie nadchodzi z przewidywalnych kierunków.

Arkusz Google’a z odwzorowaniem logistycznym

Martin Heidegger: wielki filozof i szachrujący Żydzi

Jego poglądy sprawiają wrażenie podobne do dzieł Wagnera: znajdujemy w nich zarówno przebłyski genialności, jak pretensjonalną intelektualną grafomanię, często splecione w węzeł niemożliwy do rozwikłania. Martin Heidegger był znakomitym wykładowcą, a filozofia – najbardziej prestiżowym przedmiotem na niemieckich uniwersytetach. Sława uczonego przyciągała studentów spragnionych kontaktu z wielką osobowością, z guru, przewodnikiem, duchowym ojcem. Były to czasy kultu wielkich jednostek. Spór między Naphtą a Settembrinim wygrał, jak pamiętamy Mynheer Peeperkorn. Wspominano jeszcze po latach, jak niepozorny profesor wchodził do sali wykładowej i zrazu przyciszonym, a potem coraz pełniejszym głosem, przeprowadzał swoje rozumowania, panując całkowicie nad zaczarowanymi słuchaczami. Cieszył się sławą mistrza, który uczy myśleć. Bo też jego najmocniejszą stroną były nowatorskie interpretacje klasycznych tekstów, dostrzeganie aktualnych problemów w znanych od dawna sformułowaniach: lektura fragmentów Heraklita, Nietzschego czy Hölderlina nie była szkolarskim ćwiczeniem, prowadziła do odkrywania problemów współczesności. Filozofowanie nie odsłaniało prawd odwiecznych, wiecznie tych samych, lecz zanurzone było w bieżącej chwili i jej historycznych uwarunkowaniach.

Studentom imponował uczony, który nie był jedynie chodzącą maszynką do mielenia cudzych poglądów, który oddawał się myśleniu całym sobą i u którego było ono żywym, ciągle postępującym procesem. Zjeżdżali do niego tłumnie, wielu z jego uczniów zdobyło później sławę. Wykładowca miał zwyczaj sypiania z co ładniejszymi studentkami, pobudzało go to bowiem twórczo, żonie geniusza, Elfriede, musiały wystarczyć zapewnienia, że ma swoje osobne i niezagrożone miejsce w jego życiu. Filozof wywodził się ze wsi w Schwarzwaldzie i całe życie pielęgnował związki z ziemią rodzinną, chętnie pisał w chacie za miastem, odmówił też objęcia katedry w stołecznym Berlinie, zbyt dla niego kosmopolitycznym. Nosił szczególny strój: „coś w rodzaju chłopskiej sukmany ze Schwarzwaldu, z szerokimi wyłogami i na poły wojskowym kołnierzem, na dodatek spodnie do kolan, wszystko z ciemnobrązowego sukna (…) Brąz sukna dobrze pasował do jego kruczoczarnych włosów i smagłej cery” (przeł. J. Wolska-Stefanowicz, B. Baran). Konserwatywny syn katolickiego kościelnego, omal nie został jezuitą, szybko jednak porzucił seminarium; studiował teologię, od której przeszedł do filozofii. Jego ambicje sięgały znacznie dalej niż samo tylko twórcze uprawianie filozofii, pragnął ni mniej, ni więcej, tylko porzucenia obowiązujących na Zachodzie kanonów myślenia i powrotu do źródeł, do presokratyków, i rozpoczęcia myślenia od nowa. Wobec tradycji idącej od Platona przez Kartezjusza do Kanta nastawiony był wrogo, podobnie jak do nauki, a zwłaszcza do techniki i „amerykanizacji” życia. Głęboko wierzył, że cywilizację Zachodu uratować mogą tylko Niemcy. Wierzył w „szczególne, wewnętrzne pokrewieństwo języka niemieckiego z językiem i myśleniem Greków”. Potwierdzać to mieli rzekomo także Francuzi: „Gdy tylko zaczynają myśleć, sięgają do języka niemieckiego, zapewniają przy tym, że ich język się do tego nie nadaje” (przeł. M. Łukasiewicz). O angielskim nawet nie warto w tym kontekście wspominać, zostawał więc jedynie niemiecki. Heidegger rzeczywiście wykorzystywał jego szerokie możliwości słowotwórcze do budowania własnego słownika dziwotworów i neologizmów, jakby także w języku chciał się postawić poza tradycją. Gdyby skończył jako profesor-dziwak, którego jedni głęboko podziwiają i otaczają kultem, a inni traktują jak humorystyczne zwieńczenie systemu akademickiego, rodzaj gargulca wystającego z szacownej fasady, nie byłoby to jeszcze dla Heideggera najgorsze.

heidegger

Ambitny nasz filozof żył bowiem w czasach gorączkowego wzmożenia narodowego w Niemczech. Młodzież śpiewała przy ogniskach pieśni o wspólnym działaniu i pragnęła lepszego świata. Słowo demokracja brzmiało jak imię sekretnej choroby. Jedni szukali ratunku w komunizmie, drudzy w nazizmie. Na ruch nazistowski życzliwie patrzyło wielu wybitnych profesorów, sympatyzowali z nim także Heidegger i Elfriede, i to jeszcze zanim Adolf Hitler został kanclerzem. „Trzeba się włączyć” – oświadczył swemu przyjacielowi Karlowi Jaspersowi wczesną wiosną 1933 roku. No i się włączył: został narodowosocjalistycznym rektorem uniwersytetu we Fryburgu, zgłosił akces do NSDAP, słał wiernopoddańcze telegramy do Hitlera i jego sfory. Wygłosił też słynną mowę jako rektor:

Niemieccy studenci, rewolucja narodowosocjalistyczna prowadzi do radykalnego przekształcenia naszego niemieckiego jestestwa. (…) Niech z każdym dniem i godziną umacnia się oddanie przywództwu i jego woli. (…) To nie twierdzenia i «idee» powinny stanowić reguły waszego bycia.

Führer sam, i tylko on, jest obecną i przyszłą rzeczywistością Niemiec i ich prawem.

W ostatniej rozmowie z Jaspersem przed zerwaniem stosunków (z powodu żony Żydówki nie nadawał się on już teraz na przyjaciela) Heidegger utrzymywał, że może Protokoły Mędrców Syjonu to nonsens, ale światowy żydowski spisek jest przecież niezaprzeczalną prawdą. Na pytanie: „Jak człowiek tak niewykształcony jak Hitler rządzić może Niemcami?”, Heidegger odparł: „Wykształcenie jest najzupełniej obojętne. Proszę się przyjrzeć, jak cudowne są jego ręce” (przeł. J. Wolska-Stefanowicz, B. Baran). Bardzo gorliwy w służbie nowej władzy, odesłał na emeryturę swego nauczyciela Edmunda Husserla (Żyd!), oboje z Elfriede zerwali z Husserlami wszelkie stosunki. Bardzo poważnie zastanawiał się też nasz filozof, korespondując na ten temat z gestapo, co zrobić z Hermannem Staudingerem, wybitnym chemikiem, dwadzieścia lat później noblistą – uczony ten bowiem w latach pierwszej wojny światowej (!) był pacyfistą i chciał nawet zmienić obywatelstwo na szwajcarskie, a teraz opowiadał się za nazizmem. Dla Heideggera jasne było, że ktoś tak dwulicowy nie powinien nauczać, nawet wysłanie go na emeryturę to za dużo, najlepiej byłoby go po prostu zwolnić, problem był tylko w tym, jak się go pozbyć bez międzynarodowego rozgłosu. Nie przeszkadzało również Heideggerowi rytualne palenie książek urządzone na jego uniwersytecie – zapewne dlatego, że Heraklit przecież książek nie pisał.

Heidegger tylko przez rok pełnił swoją funkcję rektora, odszedł, gdyż zawiódł się na nazistach. Nie chodziło jednak o brutalność, cynizm, rasizm, czy zbrodnie, jakich się dopuszczali na tysiącach, a niebawem na milionach ludzi. Główną przyczyną rozczarowania filozofa było poczucie niedocenienia przez kręgi przywódcze partii, której wiernym członkiem pozostał aż do 1945 roku. Heidegger inaczej wyobrażał sobie rewolucję, którą Niemcy powinny przeprowadzić (najlepiej pod jego duchowym przywództwem), aby ocalić świat, choćby wbrew niemu samemu. Walka z Żydami była według niego życiową koniecznością, reprezentowali oni bowiem siły nauki, techniki, finansów i analitycznego rozumu.

Przyczyna chwilowego wzrostu potęgi żydostwa leży w tym, że metafizyka Zachodu, zwłaszcza w wydaniu nowożytnym, dostarczyła punktu wyjścia do szerzenia dość pustej racjonalności i zdolności kalkulowania.

Owo próżne rezonerstwo miało zniknąć z powierzchni Ziemi. Przyszłe decyzje i problemy będą w ogóle niedostępne owej rasie. Słowo rasa opatrywał Heidegger cudzysłowem. Nie podzielał przesądów nazistów, nie był bowiem antysemitą rasistowskim, lecz historiozoficznym, wyrozumowanym. Żydzi jako ludzie w zasadzie mu nie przeszkadzali, niektórych nawet lubił, miał w swoim czasie gorący romans z młodziutką Hannah Arendt, która chyba do końca życia nie poznała wszystkich poglądów swego aryjskiego kochanka. Nie chodziło więc o ślepą nienawiść, lecz o racjonalne działanie i historyczną konieczność: Niemcy musiały unicestwić potęgę światowego żydostwa. Dlatego zbrodnie nazizmu nie zrobiły na filozofie żadnego wrażenia, uważał, że ofiary same były sobie winne. Bardzo natomiast był oburzony, kiedy przez kilka lat po wojnie zakazano mu nauczania, a przez kilka miesięcy nie mógł rozporządzać całym swoim domem, gdyż dokwaterowano mu jakichś przedstawicieli francuskich władz okupacyjnych. Wydane niedawno filozoficzne notatniki Heideggera, tzw. Czarne Zeszyty, pokazują, że w odniesieniu do Żydów cała pojęciowa i językowa subtelność autora bierze w łeb: posługuje się on prymitywnymi kliszami myślowymi, jakie moglibyśmy wyczytać w Mein Kampf. Wszystko to przyrządzone w sosie nieprzetłumaczalnych neologizmów robi przygnębiające wrażenie. To porażka kultury europejskiej i trudno o nią winić Platona czy Kartezjusza. Zresztą na długo przed dojściem nazistów do władzy Heidegger bolał nad „zażydzeniem” uniwersytetów niemieckich. Także i po wojnie pewnie nie zauważył, że wraz z Żydami Niemcy straciły większość swego potencjału duchowego – i w tym leży ich prawdziwa klęska, bo przemysł można odbudować, ale nie można sprawić, aby kraj przyciągał swymi ideami i kulturą. Niemcy przestały być krajem, do którego jeździ się myśleć – pod tym względem stały się takie, jak większość bogatej Europy, ani od niej lepsze, ani gorsze. W swoim ostatnim wywiadzie dla „Der Spiegel” w latach sześćdziesiątych XX wieku Heidegger, który nie zdobył się nigdy na żadne wyrazy potępienia dla Shoah, z wielką troską i niepokojem wypowiada się nie o tym, co się stało podczas wojny, lecz o powojennej cywilizacji (amerykanizacja!):

Wszystko funkcjonuje. Niesamowite jest właśnie to, że wszystko funkcjonuje i że to funkcjonowanie powoduje wciąż dalsze funkcjonowanie, i że technika coraz bardziej odrywa ludzi od ziemi i pozbawia ich korzeni. Nie wiem, czy panowie byli przerażeni, oglądając zdjęcia Ziemi wykonane z Księżyca. Ja przynajmniej byłem przerażony. Nie potrzeba wcale bomby atomowej, wykorzenienie ludzkości stało się już faktem. Nasze wzajemne stosunki są czysto techniczne. Ziemia, na której żyjemy, nie jest już Ziemią. (przeł. M. Łukasiewicz)

W latach trzydziestych Martin Heidegger twierdził z wielkim zacietrzewieniem, że w całych Niemczech należałoby zostawić na katedrach dwóch, może trzech filozofów. Gdyby mieli oni iść w ślady Heideggera, to może i jednego byłoby za wiele.

Rachunek różniczkowy i całkowy w kwadrans

  • Pochodna

Chcąc ustalić, jak szybko zmienia się jakaś wielkość, wygodnie jest rozważać bardzo niewielkie jej przyrosty. Można je uważać za wielkości nieskończenie małe, np. dodatnia nieskończenie mała jest różna od zera, ale mniejsza od każdej dodatniej liczby rzeczywistej. Zazwyczaj interesują nas pewne ilorazy owych nieskończenie małych, które mogą być nie tylko określone, ale i równe jakiejś zwykłej liczbie rzeczywistej. Rozpatrzmy przykład funkcji y=x^3. Biorąc dwie wartości argumentu x, x+\Delta x, możemy obliczyć przyrost tej funkcji:

\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3.

Wyobraźmy sobie teraz, że wartość \Delta x jest nieskończenie małą: przyrost funkcji też stanie się nieskończenie małą, jak widać jest sumą trzech wyrazów z różnymi potęgami \Delta x – każdy z nich też jest nieskończenie małą. Żeby ustalić, jak szybko rośnie nasza funkcja, dzielimy przyrost wartości przez przyrost argumentu:

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2.

Pierwszy wyraz po prawej stronie nie zawiera żadnych nieskończenie małych, jest zwykłą liczbą rzeczywistą, pozostałe dwa są nieskończenie małe. Definiujemy pochodną funkcji jako wartość rzeczywistą, która zostaje z prawej strony po odrzuceniu nieskończenie małych. Nazywamy ją wartością standardową liczby, mamy więc

\dfrac{dy}{dx}\equiv f'(x)\equiv y'=\mbox{st}\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)=3x^2.

W bardziej konwencjonalnym podejściu obliczamy granicę prawej strony, gdy \Delta x\rightarrow 0.

Uwaga: W XVII i XVIII wieku używano pojęcia nieskończenie małych, później wprowadzono ścisłe pojecie granicy, a jeszcze później, bo w drugiej połowie XX wieku, wykazano, że można rozszerzyć pojęcie liczb rzeczywistych tak, aby zawierało także liczby nieskończenie małe oraz nieskończenie wielkie. Każda standardowa liczba rzeczywista x otoczona jest nieskończenie bliskimi liczbami postaci x+dx, gdzie dx jest nieskończenie małe. Można jednak zrzutować taką liczbę hiperrzeczywistą na zwykłą prostą rzeczywistą i otrzymamy wówczas wartość standardową st(x+dx)=x. Podejście takie, zwane analizą niestandardową albo infinitezymalną, jest równie ścisłe jak dziewiętnastowieczne armaty z \epsilon ,\delta.

Pochodna mierzy nachylenie funkcji w danym punkcie, co jest znacznie wygodniejsze niż używanie średnich nachyleń w skończonym przedziale.

nachylenie stycznej

Można sobie wyobrażać, że każda porządna linia krzywa jest łamaną złożoną z nieskończenie wielu nieskończenie krótkich odcinków. Obliczanie pochodnych jest bardzo proste, mamy pewien zbiór reguł, które pozwalają to robić. Np. pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych itd. Jeśli nie chce się nam liczyć, wchodzimy na WolframAlpha i wpisujemy, w naszym przykładzie: derivative of x^3 (co po angielsku znaczy pochodna z).

  • Całka nieoznaczona

Obliczając pochodną funkcji w danym punkcie otrzymujemy jakąś wartość rzeczywistą. Jeśli potraktować x jako zmienną, otrzymujemy nową funkcję x\mapsto f'(x). Można więc traktować obliczanie pochodnej (zwane ze względów historycznych różniczkowaniem) jako pewne odwzorowanie przypisujące funkcji f pewną inną funkcję f'. Można też spojrzeć na sprawę odwrotnie i dla pochodnej równej g(x) szukać funkcji pierwotnej G(x), tzn. takiej, że G'(x)=g(x). Każda tablica pochodnych czytana od prawej do lewej strony jest tablicą funkcji pierwotnych, inaczej całek nieoznaczonych:

\int{ g(x)dx}\equiv G(x)\Leftrightarrow G'(x)=g(x).

Symbol dx pod całką wskazuje tylko nazwę zmiennej. Przykład z poprzedniego punktu dowodzi, że

\int{3x^2 dx}=x^3.

W WolframAlpha: integral of 3x^2. Do funkcji pierwotnej zawsze można dodać jakąś stałą, ponieważ nie zmienia to pochodnej (nachylenie funkcji stałej jest zawsze równe 0). W odróżnieniu od obliczania pochodnych znajdowanie całek nieoznaczonych bywa trudne, a niektóre funkcje elementarne nie mają elementarnych całek oznaczonych. Zawsze można natomiast bez trudności sprawdzić, czy całka znaleziona jest prawidłowo: wystarczy wynik zróżniczkować.

  • Całka oznaczona czyli pole pod wykresem

Mając pewną funkcję f(x), zdefiniujmy nową funkcję S(x), która jest polem zawartym między wykresem funkcji a osią Ox oraz między dwiema wartościami argumentu: stałym a oraz zmiennym x.

newton_leibniz

Pole takie to z definicji całka oznaczona z funkcji f:

S(x)\equiv\int_{a}^{x}f(x) dx.

Obowiązuje następujące twierdzenie Newtona-Leibniza (choć znali je wcześniej James Gregory oraz Isaac Barrow): Jeśli F(x) jest dowolną funkcją pierwotną (ciągłej) funkcji f(x), to zachodzi równość:

\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).

Twierdzenie to wskazuje główną motywację obliczania całek nieoznaczonych: możemy za ich pomocą wyznaczyć całkę oznaczoną czyli pole, a to się często przydaje.

Dlaczego słuszne jest tw. Newtona-Leibniza? Jeśli rozpatrzyć dwie bliskie wartości argumentu x, x+\Delta x, to przyrost funkcji S(x) jest równy

\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)\approx f(x)\Delta x \Rightarrow \dfrac{\Delta S}{\Delta x}\approx f(x),

gdzie równość przybliżona bierze się stąd, że krzywoliniowy cienki pasek można w przybliżeniu zastąpić polem prostokąta. Równość staje się dokładna, gdy \Delta x dąży do zera. Zatem S'(x)=f(x). Łatwo zauważyć, że trzeba wybrać funkcję pierwotną F(x)-F(a), bo zapewnia ona, że dla x=a otrzymamy pole równe 0. .

Możemy zilustrować tw. Newtona-Leibniza na naszym przykładzie funkcji pierwotnej do 3x^2:

\int_{0}^{x}3t^2 dt=x^3-0^3=x^3\Leftrightarrow \int_{0}^{x}t^2 dt=\dfrac{x^3}{3}

Wynik ten znał już Archimedes: pole pod parabolą jest równe 1/3 pola prostokąta na rysunku.

pole_paraboli

Jeśli nasza funkcja nie jest stale dodatnia, to całka oznaczona jest polem zsumowanym ze znakiem + albo -, jak na rysunku. Oblicza się ją nadal za pomocą tw. Newtona-Leibniza.

pole_calka

Carl Friedrich Gauss i jego funkcja błędu (1809)

Gauss był cudownym dzieckiem, jego zdolności zwróciły uwagę księcia, dzięki czemu młody człowiek mógł się kształcić: najpierw w rodzinnym Brunszwiku, potem w Getyndze. Syn skromnego ogrodnika i murarza początkowo nie znał nawet dokładnej daty swego urodzenia – matka pamiętała jedynie, że była to środa, osiem dni przed Wniebowstąpieniem Pańskim – w 1799 roku młody uczony obliczył, że musiało to być 30 kwietnia 1777 roku. Już jego wczesne prace matematyczne, Disquisitiones Arithmeticae, poświęcone teorii liczb, oraz doktorat, zawierający dowód podstawowego twierdzenia algebry (każde równanie wielomianowe ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony), zawierały istotne wyniki, szeroki rozgłos zdobył jednak dzięki astronomii. W Nowy Rok 1801 teatyn z Palermo, Giuseppe Piazzi, zaobserwował słaby obiekt, który okazał się nową planetą (według współczensej terminologii: planetą karłowatą), zwaną dziś Ceres. Planeta zbliżyła się po pewnym czasie pozornie do Słońca i Piazzi nie potrafił jej później odnaleźć. Odkrył więc nową planetę i ją zagubił. Próbowano obliczyć orbitę Ceres na podstawie dostępnych obserwacji, zadanie to rozwiązał najlepiej właśnie Gauss: jego metoda nie wymagała żadnych upraszczających założeń, np. że orbita nowo odkrytego ciała niebieskiego jest okręgiem. Dzięki obliczeniom Gaussa, który był nie tylko znakomitym matematykiem, ale też bardzo sprawnym rachmistrzem, Ceres została odnaleziona. Kilka lat później uczonemu zaproponowano stanowisko dyrektora obserwatorium w Getyndze, które zajmował aż do śmierci. W roku 1809 opublikował swoją metodę wyznaczania orbity pt. Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Teoria ruchu ciał niebieskich krążących wokół Słońca po krzywych stożkowych). Był to rok tragiczny dla Gaussa, we wrześniu urodziło się jego trzecie dziecko, syn Louis, miesiąc później wskutek komplikacji poporodowych zmarła jego żona Johanna. Louis przeżył swą matkę o zaledwie kilka miesięcy. Uczony ożenił się wprawdzie niedługo później ponownie: miał dwoje małych dzieci na wychowaniu, ale tragedia ta odcisnęła się głęboko na jego psychice.

Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gauß,_1828

Portret z 1828 roku (Wikipedia)

Theoria motus zawiera rozważania na temat błędów i metody najmniejszych kwadratów. Sama ta metoda została wcześniej opublikowana przez Adriena Marie Legendre’a, lecz rozważania Gaussa poszły dalej, inspirując z kolei Laplace’a. Przedstawimy podejście Gaussa do funkcji błędu – dziś nazywamy ją rozkładem Gaussa bądź rozkładem normalnym. Gauss założył, że prawdopodobieństwo otrzymania w pomiarze wyniku różniącego się o (x, x+dx) od rzeczywistej wartości równe jest p(x)dx. Naszym zadaniem jest wyznaczenie kształtu owej funkcji. Można przypuszczać, że powinna mieć ona kształt dzwonowy: błędy przeciwnych znaków powinny być jednakowo prawdopodobne, dla dużych wartości |x| prawdopodobieństwo powinno być niewielkie.

Załóżmy, że dysponujemy serią niezależnych wyników pomiaru pewnej wielkości \mu: x_0, x_1,\ldots, x_n. Jeśli za każdym razem funkcją błędu jest p(x), to prawdopodobieństwo powinno być proporcjonalne do iloczynu:

p(x_0-\mu)p(x_1-\mu)\ldots p(x_n-\mu).

Szukamy wartości najbardziej prawdopodobnej, traktując iloczyn jako funkcję \mu. Możemy zlogarytmować nasz iloczyn i poszukać maksimum sumy logarytmów:

\ln{p(x_0-\mu)}+\ln{p(x_1-\mu)}+\ldots+\ln{p(x_n-\mu)}.

W maksimum pochodna równa jest zero, oznaczając tę pochodną przez g(x)=\frac{d\ln{p(x)}}{dx}, mamy

g(x_0-\mu)+g(x_1-\mu)+\ldots+g(x_n-\mu)=0.\mbox{(*)}

Funkcje p(x), g(x) przedstawione są jakościowo na rysunku.

error_function

Następnie Gauss robi założenie, że prawidłową wartością \mu powinna być średnia arytmetyczna wszystkich wyników. Jeśli tak, to równanie (*) słuszne jest dla każdej liczby składników i dowolnych wyników pomiaru. Możemy wziąć np. wartości

x_0-(n+1)y=x_1=\ldots=x_n,

gdzie y jest dowolną liczbą. Równanie (*) przyjmuje wówczas postać:

g(ny)+ng(-y)=0\Rightarrow g(ny)=ng(y).

Łatwo zauważyć, że oznacza to, iż g musi być funkcją liniową, którą zapiszemy jako g(y)=-y/h^2, gdzie h jest pewną stałą; uwzględniając definicję g(x), dostajemy

p(x)=C\exp{(-\frac{x^2}{2h^2})}.

Mamy więc słynną krzywą dzwonową Gaussa. Stała C musi być tak dobrana, aby pole pod krzywą było równe 1.

normal67

Parametr h zależy od dokładności pomiarów i określa szerokość krzywej, nazywamy go odchyleniem standardowym (na wykresie jest on jednostką na osi x). Iloczyn gęstości prawdopodobieństwa przyjmuje postać:

\exp{(-(x_0-\mu)^2-(x_1-\mu)^2+\ldots-(x_n-\mu)^2)}.

Szukanie najbardziej prawdopodobnej wartości \mu odpowiada więc minimalizacji sumy kwadratów odchyleń w wykładniku:

(x_0-\mu)^2+(x_1-\mu)^2+\ldots+(x_n-\mu)^2.