James Clerk Maxwell i prędkości cząsteczek gazu (1859)

Brytyjskie Towarzystwo Krzewienia Nauk (BAAS) zebrało się na swój doroczny zjazd we wrześniu w Aberdeen. To niewielkie miasto miało wówczas dwa uniwersytety i wybudowało w ciągu roku wielką salę koncertową na 2400 słuchaczy, choć i tak wszyscy chętni ledwie mogli się pomieścić. Uczonych zaszczycił obecnością królewski małżonek, książę Albert, który wygłosił przemówienie i przez cztery godziny wizytował jedną z uczelni. Nauka stanowiła mocną stronę imperium brytyjskiego, naród kupców i żeglarzy kolekcjonował osobliwe przedmioty i rośliny, badał czaszki prehistorycznych ludzi z Nepalu, interesował się polem magnetycznym i skałami z odległych części globu, rozwijał konstrukcję parowców, pracował nad projektem kabla telegraficznego przez Atlantyk – pierwszy taki kabel położono rok wcześniej, lecz po kilku tygodniach przestał działać. Za kilka lat miała nastąpić następna próba, tym razem zakończona powodzeniem.

BA150_rdax_800x491

Na zjeździe trzy komunikaty przedstawił młody profesor z miejscowego Marischal College, James Clerk Maxwell. Dwudziestoośmioletni Szkot, absolwent Trinity College w Cambridge, napisał już kilka wielce obiecujących prac: na temat pola elektromagnetycznego, pierścieni Saturna i widzenia barwnego. Do elektromagnetyzmu miał niebawem wrócić, tworząc jednolitą teorię zjawisk elektrycznych, magnetycznych i optycznych (co stało się największym osiągnięciem w fizyce od dwustu lat, od czasów Isaaca Newtona). Kilkuletnia, rozbudowana w szczegółach, praca nad pierścieniami Saturna doprowadziła go do wniosku, że nie mogą one być zbudowane z materii stałej ani ciekłej, muszą być zbiorowiskiem niewielkich fragmentów krążących niezależnie wokół planety (co się potwierdziło: są to bryłki lodu o rozmiarach zawartych najczęściej w przedziale od centymetra do 10 m). Za pracę nad pierścieniami Saturna otrzymał Nagrodę Adamsa, nazwaną na cześć brytyjskiego współodkrywcy Neptuna. Maxwell pasjonował się też eksperymentami dotyczącymi widzenia barwnego, rozwijając idee Thomasa Younga i Hermanna von Helmholtza. Jego koło barw pozwalało ilościowo porównywać wrażenia barwne wytworzone przez zmieszanie trzech barw podstawowych: czerwieni, zieleni i błękitu. Nasuwało to myśl o fotografii barwnej: wystarczy bowiem sfotografować obraz w trzech barwach i później te trzy obrazy odpowiednio zmieszać.

My zajmiemy się tu pracą dotyczącą teorii kinetycznej gazów. Jest to niezwykle prosty model, który dość precyzyjnie opisuje zachowanie rzeczywistych gazów. Przyjmuje się w nim, że cząsteczki zderzają się sprężyście ze sobą oraz ze ściankami naczynia, poruszając się między zderzeniami prostoliniowo. Jak przedstawił to Maxwell na zjeździe w Aberdeen: cząsteczki powietrza poruszają się średnio z prędkością 1500 stóp na sekundę, przebywają między zderzeniami średnią drogę 1/447000 cala, co oznacza, że ulegają 8 077 200 000 zderzeniom w ciągu sekundy. Można śmiało przypuszczać, że Maxwell pragnął tymi liczbami zaintrygować słuchaczy (przedstawił też na zjeździe badania nad kolorami oraz model pierścieni Saturna – a więc mówił o rzeczach mogących zainteresować nie tylko ekspertów). Profesor musiał wywrzeć korzystne wrażenie, rok później przeniósł się bowiem do Londynu.

Maxwell pierwszy zadał pytanie: jaki jest rozkład statystyczny prędkości cząsteczek w gazie. Podał też prawidłową odpowiedź, zwaną dziś rozkładem Maxwella. Inspiracją były rozważania Adolphe’a Queteleta, jednego z pionierów statystyki w naukach społecznych i biologii. Szkocki uczony przeczytał długą recenzję pracy Queteleta w „Edinburgh Review”. Niepodpisany artykuł był autorstwa sir Johna Herschela i zawierał m.in. takie rozumowanie:

Przypuśćmy, że upuszczamy z dużej wysokości kulkę, pragnąc, by upadła ona w oznaczonym punkcie. Kulka spada i jej odchylenie od tego punktu stanowi błąd, a prawdopodobieństwo tego błędu jest pewną nieznaną funkcją kwadratu błędu, tzn. sumy kwadratów odchyleń w dwóch prostopadłych kierunkach. Ponieważ prawdopodobieństwo danego odchylenia zależy tylko od jego wartości, a nie od kierunku, więc prawdopodobieństwa obu odchyleń w prostopadłych kierunkach muszą być opisane tą samą funkcją ich kwadratów. Ponieważ także odchylenie w dowolnym kierunku jest równoważne odpowiednim odchyleniom w dwu prostopadłych kierunkach, które zdarzyły się jednocześnie i są od siebie niezależne – jest więc zdarzeniem, na które składają się dwa niezależne zdarzenia, zatem jego prawdopodobieństwo będzie równe iloczynowi tamtych oddzielnych prawdopodobieństw. Na podstawie tego warunku określić można postać nieznanej funkcji: takiej, że iloczyn dwóch owych funkcji dla dwóch argumentów równy jest tej samej funkcji od sumy obu argumentów. Ale w każdej książce z algebry wykazuje się, że własność taką posiada funkcja wykładnicza, i tylko ona. Jest to więc funkcja kwadratu błędu wyrażająca prawdopodobieństwo jego popełnienia.

W zapisie algebraicznym rozumowanie to sprowadza się do równości

f(x^2+y^2)=f(x^2)f(y^2) \Rightarrow f(x^2)=\exp(-\alpha x^2),

gdzie \alpha jest parametrem. Nasz wynik znany był wtedy jako funkcja błędu, dziś nazywany jest rozkładem normalnym – uzasadnieniem tej nazwy jest jego niezwykle częste występowanie w wielu sytuacjach: nie tylko błędy pomiaru, ale także mnóstwo innych wielkości wykazuje rozkład tego typu o charakterystycznym kształcie krzywej dzwonowej.

normal67

 

Wykres ze strony http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/ats2/normallesson.htm. Jednostką na osi x jest 1/\sqrt{2\alpha}, odchylenie standardowe.

James Clerk Maxwell zastosował bardzo podobne rozumowanie do prędkości cząstek gazu. Jeśli potraktujemy składowe prędkości w prostopadłych kierunkach jako trzy zmienne v_x, v_y, v_z, to ich rozkłady prawdopodobieństwa powinny być opisane tą samą funkcją:

f(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=f(v_x^2)f(v_y^2)f(v_z^2) \Rightarrow f(v^2_x)=\exp(-\alpha v_x^2),

gdzie \alpha jest pewnym parametrem. Maxwell pokazał też w swej pracy, że ów parametr zależy od masy cząsteczek m oraz temperatury T. Dziś zapisujemy to następująco:

\alpha=\dfrac{m}{2kT},

gdzie k to stała Boltzmanna. Znając rozkład prawdopodobieństwa dla składowych prędkości, można łatwo znaleźć postać rozkładu dla samej prędkości, korzystając z tego, że v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2. Rozkład prawdopodobieństwa przyjmuje postać:

p(v)=v^2\exp({-\alpha v^2}). \mbox{ (*)}

Zwykle ten wynik nazywamy rozkładem Maxwella. Pokazuje on, że w gazie występują wszystkie możliwe wartości prędkości, choć z różnym prawdopodobieństwem. Rozkład ten pozwala zrozumieć np., czemu w atmosferze jest mało lekkich pierwiastków, jak wodór – lżejsze atomy szybciej się poruszają i łatwiej jest im uciec w przestrzeń kosmiczną (a zawsze pewien niewielki ułamek cząsteczek ma dużą prędkość, jest to tzw. ogon rozkładu Maxwella).

MaxwellBoltzmann-en

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Boltzmann_distribution#/media/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

W późniejszym okresie Maxwell wrócił do wyprowadzenia tego rozkładu i uzyskał je z nieco solidniejszych założeń, które sprowadzały się do przyjęcia, iż wektory prędkości cząsteczek gazu nie są ze sobą skorelowane – co także nie jest założeniem oczywistym (tzw. chaos molekularny). To drugie podejście Maxwella otworzyło drogę do pracy Ludwiga Boltzmanna, wielkiego fizyka, który zajmował się głównie teorią gazów, rozszerzając ją stopniowo do fizyki statystycznej.

(*) Warunek v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 to równanie sfery w przestrzeni v_x, v_y, v_z. Na sferze takiej prędkość jest stała. Szukając prawdopodobieństwa dla wąskiego przedziału prędkości (v,v+dv), musimy uwzględnić fakt, że objętość cienkiej powłoki między dwoma sferami równa się 4\pi v^2 dv – stąd dodatkowe v^2 w rozkładzie Maxwella. Nasze wszystkie rozkłady są nieunormowane, należy też, ściśle biorąc, rozważać zawsze niewielkie przedziały, a nie konkretne wartości, nie chciałem jednak zaciemniać prostych koncepcji, które tu się pojawiają.

Reklamy

John James Waterston: nikomu niepotrzebny pionier teorii kinetycznej (1845)

Wśród całej rzeszy zapoznanych geniuszy, pechowych wynalazców i myślicieli, których nikt nie chciał słuchać, Waterston zajmuje miejsce szczególne: nie tylko był niedocenionym prekursorem, ale dożył też czasów, gdy jego koncepcje odkryli na nowo inni – i odnieśli dzięki nim naukowy sukces. Nawet wtedy nie został doceniony, historia nauki bez Waterstona wyglądałaby prościej i logiczniej. Do dziś rzadko wspomina się o nim w podręcznikach.

Urodzony w Edynburgu, syn wytwórcy laku do pieczętowania korespondencji, należał do kongregacji protestanckiej sandemanian – założonej niemal sto lat wcześniej przez Johna Glasa i Roberta Sandemana. Sandemanianie (albo glasyci) kultywowali proste chrześcijaństwo będące wspólnotą wiernych, w której decyzje zapadały jednomyślnie i każdemu wolno było wygłaszać kazania. Wykształcony w znakomitej Edinburgh High School, terminował później w zawodzie inżyniera budowlanego, lecz uczęszczał także na wykłady na uniwersytecie, gdzie wyróżniał się w matematyce i fizyce, choć uczył się także chirurgii, anatomii i chemii i należał do studenckiego towarzystwa literackiego. Przeniósł się później do Londynu i trafił do Wydziału Hydrografii w Admiralicji. Jego przełożonym był tam kapitan (późniejszy admirał) Francis Beafort, autor skali siły wiatru i organizator różnych przedsięwzięć badawczych, jak wyprawa okrętu „Beagle” wsławiona udziałem Charlesa Darwina. Beafort zaprotegował Waterstona na nauczyciela szkoły kadetów w Bombaju i młody człowiek wyjechał tam na osiemnaście lat. W tym czasie napisał kilka prac naukowych, z których najważniejszą – długą rozprawę o własnościach gazów – przesłał w roku 1845 do Towarzystwa Królewskiego do publikacji w „Transactions”.

Waterston zaproponował w niej prosty model gazu, w którym cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia. Ich chaotyczny ruch jest więc odpowiedzialny za znany fakt, iż gaz wypełnia zawsze całą dostępną mu objętość. Bombardowanie ścianek naczynia przez cząsteczki jest fizyczną przyczyną wywierania przez gaz ciśnienia. Model ten objaśnia poprawnie równanie stanu gazu doskonałego i pozwala zrozumieć szereg własności gazu. Ciśnienie p gazu N cząstek o masie m zamkniętego w objętości V zależy od średniej wartości prędkości cząsteczek i równe jest

p=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V} \Rightarrow pV=\dfrac{N m\overline{v^2}}{3}.

Jeśli porównać drugie równanie z równaniem stanu gazu doskonałego, widać, że temperatura związana jest ze średnią energią kinetyczną cząstek gazu. Jeśli więc mamy dwa rodzaje cząsteczek, to ustalenie się jednakowej temperatury będzie oznaczać inną średnią prędkość dla każdego rodzaju cząsteczek:

m_1\overline{v_1^2}=m_2\overline{v_2^2}.

Są to podstawy dzisiejszej teorii kinetycznej gazu. Jak zareagowali na pracę Waterstona dwaj anonimowi recenzenci Towarzystwa Królewskiego? Ich tożsamość została ujawniona dopiero w 1965 roku. Pierwszy, wielebny Baden Powell, profesor geometrii w Oksfordzie, stwierdził, iż założenia Waterstona „nie stanowią zadowalającej podstawy do teorii matematycznej” i pomimo że „praca świadczy o znacznej biegłości i przedstawia wiele godnych uwagi zbieżności ze znanymi faktami oraz wyniki liczbowe otrzymane w doświadczeniach” nie zasługuje na publikację. Drugi, sir John Lubbock, absolwent Eton i Trinity College w Cambridge, był bankierem, a także zajmował się astronomią, choć bez szczególnego powodzenia, trudno znaleźć jakieś jego prace, które by cokolwiek wniosły do nauki. Dziś znany jest głównie z tego, że w roku 1846 zamieszkał w sąsiedztwie Charlesa Darwina i obaj utrzymywali dość bliskie stosunki. Lubbock stwierdził, że rozprawa to „czysty nonsens, nie nadaje się nawet do tego, by ją odczytać na zebraniu Towarzystwa Królewskiego”. Dwie negatywne recenzje zamknęły sprawę Waterstona. Zgodnie z zasadami Towarzystwa rękopis pozostał zamknięty w jego archiwum, nieopatrzny autor nie miał drugiego egzemplarza i już jej nie odtworzył. Pracę tę znalazł niemal pół wieku później lord Rayleigh i doprowadził do jej publikacji z komentarzem, iż mogła przyspieszyć rozwój badań w tej dziedzinie o piętnaście lat. Byłoby tak, gdyby praca Waterstona napotkała życzliwego i kompetentnego czytelnika albo gdyby jej autor wykazał więcej wiary w siebie i dalej rozwijał swe pomysły. Założenia Waterstona, choć wcale nie absurdalne, sprzeczne były z ówcześnie przyjętymi poglądami, to znaczy przesądami panującymi w owej chwili wśród uczonych. Ciepło uważano zwykle za nieważki fluid, który przechodzi od ciała do ciała, a ci, którzy sądzili, że jest ono związane z ruchem cząsteczek, myśleli przy tym o ruchu drgającym bądź obrotowym, a nie translacyjnym.

Bratanek Waterstona, który nic nie wiedział o całej sprawie, pisał do Rayleigha, że stryj bardzo się zawsze denerwował, kiedy ktoś wspominał w jego obecności o brytyjskim establishmencie naukowym albo Towarzystwie Królewskim, i posuwał się w takich razach nawet do nieparlamentarnego słownictwa.

Światło dzienne ujrzało tylko krótkie streszczenie idei Waterstona w roku 1851 w materiałach Brytyjskiego Towarzystwa Krzewienia Nauk.

reportofbritisha51brit

Czemu Waterston został zignorowany przez brytyjską elitę? Po pierwsze miał niską pozycję społeczną, znacznie wyrozumialej odnoszono się do gentlemanów, nawet gdy bredzili. Po drugie, przebywał w Bombaju i nikt go nie znał w Londynie. Wtedy, tak samo jak dziś, opinie środowiskowe bardzo się liczyły, zastępując samodzielne myślenie, które jest czynnością męczącą, toteż większość ludzi stara się go unikać. W tym samym czasie pozycję naukową zdobywał Charles Darwin. Był jednak gentlemanem, absolwentem Cambridge i potrafił utrzymywać odpowiednie kontakty, dopiero później przeprowadził się na wieś. Zaczął od prac geologicznych, zaprzyjaźnił się z Lyellem, ówczesną wschodzącą gwiazdą, życzliwie patrzył na niego konserwatywny Adam Sedgwick z Cambridge. Kiedy już opublikował trochę prac w mniej prestiżowych pismach, posłał długą rozprawę do „Transactions of the Royal Society” i został dzięki niej przyjęty na członka Towarzystwa (nb. ten jego artykuł, poświęcony tarasom skalnym w Glen Roy, okazał się ogromną pomyłką naukową, ale zgodny był najwyraźniej z tym, czego oczekiwali recenzenci). Dopiero po wielu latach zdecydował się Darwin wystąpić publicznie z ideą ewolucji.

John_James_Waterston_755

Waterston dowiedział się z czasem, że jego praca nie była tak oryginalna, jak sądził. Daniel Bernoulli i Leonhard Euler szli w tym kierunku sto lat wcześniej (choć nie otrzymali prawidłowego wzoru na ciśnienie gazu). Był jeszcze prekursor brytyjski, John Herapath, który dwadzieścia lat wcześniej głosił pewne podobne idee (popełniając przy tym więcej błędów niż Waterston). Także Herapath nie przebił się do świadomości uczonych brytyjskich, w jego przypadku negatywną rolę odegrał Humphry Davy, skądinąd znany i zasłużony uczony. Tak więc Waterston mógł z czasem stracić sporo pewności siebie, słysząc o poprzednikach. Jego pojmowanie religii chrześcijańskiej nie pozwalało mu na zabiegi wokół osobistego sukcesu (choć Michael Faraday, też sandemanianin, zdobył wielki i zasłużony rozgłos naukowy). Cała ta historia nie ma happy endu. Waterston trochę jeszcze publikował, lecz bez powodzenia. Bardzo lubił spacery po falochronie w Leith, pewnego dnia nie wrócił z takiego spaceru, najprawdopodobniej zabrała go fala, nie wykazywał bowiem żadnych skłonności samobójczych. Ciała nigdy nie znaleziono.

Nieśmiertelny wynalazek Josepha Fouriera (1804-1822)

Fourier, syn krawca, którego wcześnie odumarli rodzice, wszystko zawdzięczał swemu talentowi, a także umiejętności niezrażania sobie ludzi. Jego kariera wiele mówi o Francji tamtych czasów. Urodził się i wychowywał za panowania Ludwika XVI. Ktoś zwrócił uwagę na zdolnego chłopca i polecił go biskupowi Auxerre. Dzięki protekcji duchownego Fourier został przyjęty do szkoły artyleryjskiej kierowanej przez maurystów (benedyktyńska kongregacja św. Maura). Wcześnie ujawnił talent matematyczny. Zabiegał o przyjęcie na służbę do artylerii, lecz mimo poparcia słynnego matematyka Adrien Marie Legendre’a, minister odmówił. „Fourier, nie pochodząc ze szlachty, nie ma wstępu do artylerii, choćby nawet był drugim Newtonem” – oświadczył minister. Młody człowiek wstąpił więc do nowicjatu u maurystów, ale wybuchła Rewolucja Francuska i Fourier zmienił zdanie. Ojcowie zatrudnili go mimo to w swej szkole artyleryjskiej, gdzie uczył matematyki, a jak było trzeba, to także retoryki, filozofii i historii. Należał do słuchaczy École normale roku III: był to swoisty eksperyment szkolny, mający dostarczyć Rewolucji nowy zastęp nauczycieli. Tysiąc pięciuset uczniów słuchało wykładów największych uczonych Francji: Lagrange’a, Laplace’a, Monge’a, Bertholleta. Prawdziwą karierę zrobił Fourier dopiero za czasów Napoleona: był wśród uczonych towarzyszących Pierwszemu Konsulowi w wyprawie egipskiej („Osły i uczeni do środka” – wołali oficerowie, kiedy konwój Francuzów został zaatakowany na pustyni). Fourier został sekretarzem Instytutu Egipskiego powołanego przez Napoleona, wniósł swój wkład do jego publikacji. Po kapitulacji armii i powrocie do Francji, został prefektem departamentu Izery, gdzie budował drogi i osuszył bagna Bourgoin. W tym czasie dobiegający czterdziestki uczony zajął się poważniej fizyką matematyczną: zagadnieniem rozchodzenia się ciepła. W roku 1807 wygrał konkurs Akademii Nauk poświęcony temu zagadnieniu. W roku 1822 opublikował swą słynną monografię Théorie analytique de la chaleur – „Analityczną teorię ciepła”.

Joseph_Fourier
Wiedza o cieple nie była zbyt wielka: znano pojęcie temperatury i ciepła właściwego. Nie wiedziano, czym jest ciepło, wyobrażano sobie, że jest rodzajem nieważkiej cieczy, która przepływa z jednego ciała do drugiego, nie ginąc ani nie powstając (zasady termodynamiki sformułowano trzydzieści lat później). Fourier przyjął, że strumień ciepła na jednostkę powierzchni i czasu zależy od tego, jak szybko zmienia się temperatura z odległością.

fourier-strum

J_x=-a\dfrac{\Delta T}{\Delta x}=-a\dfrac{dT}{dx}.

Szybkość zmiany temperatury to gradient. Strumień ciepła jest więc proporcjonalny do gradientu temperatury: jeśli ten sam spadek temperatury przypada na dwa razy krótszy odcinek, to strumień będzie dwa razy większy. Znak minus informuje, że ciepło płynie od temperatury wyższej do niższej, a nie odwrotnie. Stała a charakteryzuje materiał.
Będziemy szukali przepływów stacjonarnych, tj. takich, które nie zależą od czasu. Jeśli przepływ ciepła jest jednowymiarowy, tzn. strumień jest wyłącznie w kierunku osi x, to łatwo stwierdzić, że stacjonarność oznacza wówczas stałość J_x. Powierzchnie izoterm to płaszczyzny prostopadłe do osi Ox, a gradient temperatury jest stały.
Znacznie ciekawsza jest sytuacja w przypadku 2D. Wyobraźmy sobie prostokąt o bokach \Delta x, \Delta y. W naszym przypadku stacjonarnym całkowita ilość ciepła wypływająca w jednostce czasu z prostokąta musi być równa zeru: inaczej prostokąt ogrzewałby się albo oziębiał z czasem.

fourier box

Warunek ten zapisany matematycznie oznacza, że

\Delta y(J_x(x+\Delta x, y)-J_x(x, y))+\Delta x(J_y(x, y+\Delta y)-J_y(x, y))=

=\Delta x\Delta y\left(\dfrac{\partial{J_x}}{\partial{x}}+\dfrac{\partial{J_y}}{\partial{y}}\right)=0.

W pierwszym wierszu mnożymy strumienie przez długości odpowiedniego boku prostokąta, aby otrzymać ilość ciepła przechodzącą przez daną krawędź. Korzystając z tego, że strumień związany jest z gradientem, otrzymujemy następujący warunek stacjonarnego przepływu:

\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}}+\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}}=0.

Jest to równanie Laplace’a, występujące też w elektromagnetyzmie i teorii grawitacji. Aby zrozumieć jego sens, można wyobrazić sobie punkt płaszczyzny otoczony przez cztery inne punkty oddalone o niewielką odległość h.

fourier neighbours

Równanie Laplace’a mówi, że średnia arytmetyczna temperatur w punktach czerwonych równa się temperaturze w środkowym punkcie niebieskim. Nie powinno to dziwić: chodziło przecież o to, aby ciepło nie gromadziło się w żadnym obszarze ani z niego nie uciekało (**). Biorąc odpowiednio małe h, można w ten sposób rozwiązać równanie Laplace’a numerycznie. Można pokazać ogólnie, że gdy funkcja spełnia równanie Laplace’a, to jej średnia wartość po małej sferze (u nas okręgu) o promieniu h równa jest wartości w środku sfery.

fourier sfera

Wśród zagadnień rozważanych przez Fouriera znalazło się i takie: mamy nieskończony dwuwymiarowy pasek, którego jeden bok utrzymywany jest w temperaturze 1, a dwa boczne w temperaturze 0 (odpowiadały one w naszej skali 100^{\circ}\mbox{C} oraz 0^{\circ}\mbox{C}). Zakładamy też, że w nieskończoności temperatura spada do zera. Szukamy rozwiązania stacjonarnego.

fourier_boundary
Łatwo można znaleźć rozwiązania, w których temperatura na obu bokach równa jest zeru oraz stopniowo spada:

T(x,y)=C\exp{(-nx)}\sin{ny},\mbox{(*)}

gdzie parametr n jest całkowity. Dla n=1 wygląda to tak:

fourier1

Dla x=0 mamy jednak funkcję zdecydowanie różną od stałej. Łatwo sobie wyobrazić, że tak będzie i dla innych wartości n. Idea Fouriera polegała na tym, aby temperaturę wzdłuż osi Oy przedstawić jako sumę nieskończenie wielu sinusów:

T(0,y)=\frac{4}{\pi}(\sin y+\frac{1}{3}\sin 3y+\frac{1}{5}\sin 5y+\ldots).

Tak wygląda suma pierwszych trzech wyrazów:

fourier3A tak ośmiu:

fourier8

Naprawdę nasza suma sinusów jest nieparzysta i wygląda następująco (osiem składników):

fourier8full

Jest to funkcja o okresie 2\pi. Podejście Fouriera spotkało się z niedowierzaniem i krytyką. Wprowadzał on do rozważań „dziwne” funkcje, które nie są określone jednym wzorem i nie są ciągłe, przybliżając je wszystkie czymś tak banalnie prostym jak sinusoidy. Wiele prac z dziedziny fizyki i matematyki wyrosło z podejścia Fouriera. Matematycy zastanawiali się nad zbieżnością i pojęciem funkcji, fizycy i inżynierowie stosowali w praktyce. Dziś traktujemy szereg Fouriera jak przedstawienie wektora za pomocą pewnych wektorów bazowych. Np. każdy wektor na płaszczyźnie możemy przedstawić jako kombinację dwóch jednostkowych wektorów o kierunkach osi x i y. Funkcje okresowe o okresie 2\pi wyrażają się przez funkcje \sin{nx} i \cos{nx}, które pełnią rolę wektorów bazowych. Przestrzeń tak zdefiniowana jest nieskończenie wymiarowa i nazywa się przestrzenią Hilberta. Z punktu widzenia fizyka czy inżyniera analiza fourierowska pozwala rozłożyć każdy impuls okresowy na składowe, co pozwala wiele zrozumieć. Np. wysokość tonu wydawanego przez instrument muzyczny określona jest pierwszym sinusem, a następne przesądzają o barwie dźwięku: po tym odróżniamy a zagrane na fortepianie od a zagranego na skrzypcach.

Kiedy już mamy naszą dziwną funkcję rozwiniętą w szereg Fouriera, wystarczy zsumować nieskończenie wiele rozwiązań takich jak (*). Pierwsze trzy składniki dadzą rozwiązanie poniżej (możemy zawsze w razie potrzeby użyć większej liczby wyrazów).

fourier3 laplace

(**) Związek średniej arytmetycznej z równaniem Laplace’a wynika z rozwinięcia w szereg Taylora z dokładnością do h^2:

T(x\pm h,y)=T(x,y)\pm h\dfrac{\partial{T}}{\partial{x}}+\frac{1}{2}h^2\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}},

T(x,y\pm h)=T(x,y)\pm h\dfrac{\partial{T}}{\partial{y}}+\frac{1}{2}h^2\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}}.

Biorąc średnią arytmetyczną z tych czterech wyrażeń i odejmując wartość T(x,y), otrzymujemy

\overline{T}-T=\frac{1}{4} h^2 \left(\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{x^2}}+\dfrac{\partial^2{T}}{\partial{y^2}}\right).