Dziewiąty wykład Feynmana: Co mówi druga zasada dynamiki?

Zadziwiające, jak wiele osób nie czuje sensu drugiej zasady dynamiki, mimo wieloletniej szkolnej mitręgi. Druga zasada to podstawowe prawo matematyczne całej mechaniki: wszystko, co się porusza, można opisać za jej pomocą, dopiero gdy schodzimy na poziom atomowy, potrzebna jest mechanika kwantowa.

Poprzedza ją zasada pierwsza: ruch swobodny ciała (tzn. gdy nie działają na nie siły) to ruch jednostajny i prostoliniowy. Wyobraźmy sobie krążek hokejowy ślizgający się po nieskończonym lodowisku: jeśli sprawimy, że zniknie całkiem tarcie między krążkiem a lodem, będzie on się ślizgał przez całą wieczność ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Przy braku sił ciało może więc spoczywać, ale może też poruszać się jednostajnie. To ambitna zasada, gdyż jest idealizacją rzeczywistego świata.

Teraz zasada druga: jeśli ruch nie jest jednostajny lub nie jest prostoliniowy, to znaczy, że na ciało działa jakaś siła. Zmiany prędkości opisuje przyspieszenie, druga zasada mówi, że przyspieszenie ciała proporcjonalne jest do siły. Sens matematyczny tej zasady tkwi w tym, że jeśli znamy skądś siły występujące w danym przypadku, to możemy obliczyć przyspieszenie ciała.

Przyspieszenie nie mówi wszystkiego o ruchu: zazwyczaj interesuje nas położenie, czasem także prędkość ciała. Musimy znać także warunki początkowe: gdzie się nasze ciało znajduje i jak się porusza w chwili zerowej.

  1. Przyspieszenie mówi nam, jak zmieni się prędkość w krótkim odstępie czasu.
  2. Prędkość z kolei mówi nam, jak zmieni się położenie ciała w krótkim odstępie czasu.

Możemy więc, wykonując dwa kroki: od przyspieszenia do prędkości i od prędkości do położenia znaleźć ich wartości w chwili nieco późniejszej. Znając położenie i prędkość, możemy obliczyć siłę i przyspieszenie w owej późniejszej chwili i powtórzyć całą procedurę od nowa.

Rozpatrzmy przykład masy zawieszonej na sprężynie. Jeśli x będzie wychyleniem tej masy z położenia równowagi, to siła wypadkowa F równa jest

F=-kx,

gdzie k jest pewną stałą charakteryzującą sprężynę. Znak minus informuje, że siła ma zwrot przeciwny do wychylenia. Jeśli nasze ciało ma masę m, to z II zasady dynamiki wynika, że przyspieszenie równe jest

a=-\left(\dfrac{k}{m}\right)x.

Ruch ciała będzie drganiem harmonicznym:

Simple_harmonic_oscillator

Znając pojęcie pochodnej, można znaleźć równanie takiego ruchu, tzn. funkcje x(t) oraz v(t). Można też zrobić to numerycznie, co nie tylko jest łatwe, ale także ilustruje sens drugiej zasady dynamiki. Prędkość średnia ciała w przedziale czasu (t, t+\Delta t) to z definicji

v=\dfrac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}.

Dzielimy zmianę współrzędnej przez odstęp czasu. Tak samo definiuje się średnie przyspieszenie:

a=\dfrac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}.

Dokonujemy więc takiej samej operacji co przedtem, ale tym razem na prędkości. Oba te równania opisują, jak szybko zmienia się wielkość z licznika po prawej stronie. Wyobraźmy sobie teraz, że dzielimy czas na krótkie odcinki o długości \Delta t=\varepsilon. Jeśli odcinki są krótkie, to rozsądnie będzie przybliżyć prędkość średnią dla całego przedziału wartością prędkości w środku tego przedziału. W ten sposób współrzędna x(t+\varepsilon)  równa jest

x(t+\varepsilon)=x(t)+v(t+\varepsilon/2)\varepsilon.

Tak samo możemy postąpić z prędkością i przyspieszeniem:

v(t+\varepsilon/2)=v(t-\varepsilon/2)+a(t)\varepsilon.

Dzięki takiej procedurze możemy znaleźć wartości położeń i prędkości dla dwóch ciągów chwil. W punktach czerwonych obliczamy prędkości (do czego potrzeba przyspieszenia w środkowym punkcie niebieskim), a w punktach niebieskich – położenia.

second law axis

Jeśli znamy tylko prędkość w chwili zero, potrzebne jest dodatkowe równanie dla pierwszego czerwonego punktu:

v(\varepsilon/2)=v(0)+a(0)\dfrac{\varepsilon}{2}.

Metoda taka jest oczywiście tylko przybliżona, w razie gdyby dawała absurdalne wyniki, trzeba zmniejszyć krok czasowy \varepsilon – w każdym zagadnieniu inny odstęp czasu jest „krótki”. Ponieważ mamy powtarzać w kółko ten sam ciąg obliczeń, najlepiej go zaprogramować, najprostszym narzędziem jest dowolny arkusz kalkulacyjny.

Obliczenia wyglądają następująco.

Wyniki dla k/m=1 oraz dwóch wychyleń początkowych x(0)=1, 2 (prędkość początkowa równa jest zeru):

image (1)

Naprawdę nasze rozwiązanie jest tylko dyskretnym zbiorem punktów, ale gdy punkty położone są gęsto, widać wyraźnie linię. Łatwo też zgadnąć, że jest to po prostu wykres funkcji cosinus: x(t)=A\cos t dla dwóch różnych amplitud. Okresem naszego ruchu jest 2\pi. Okres nie zależy od amplitudy: na tej własności opierała się konstrukcja zegarów wahadłowych, przy małych wychyleniach ruch wahadła można opisać bowiem takim samym równaniem jak masę na sprężynie. Generalnie, konstrukcja każdego zegara musi opierać się na jakimś rodzaju drgań, obecnie są to zazwyczaj drgania niemechaniczne.

Rozwiązanie tego problemu jest proste i nie potrzeba komputera, jeśli zna się własności funkcji sinus i cosinus. Metoda numeryczna pozwala jednak rozwiązywać równie łatwo także i bardziej skomplikowane przypadki. Rozpatrzmy np. wahadło matematyczne dla dowolnie dużych wychyleń (przy wychyleniach większych niż kąt prosty, trzeba sobie wyobrażać, że mamy sztywny lekki drążek z ciężarkiem na końcu).

pendulum

W takim przypadku przyspieszenie styczne do toru (czyli łuku okręgu) równe jest

a=-g\sin\gamma=-g\sin\dfrac{x}{l}.

W naszym arkuszu wystarczy tylko zmienić wzór na przyspieszenie. Wygląda to następująco.

Wykres dla przypadku l=g i początkowego kąta wychylenia 3 radiany przedstawia się następująco:

image (2)

Amplituda wahań równa jest około 172^{\circ}. Widzimy, że wahadło niemal zatrzymuje się w pobliżu skrajnych położeń, dlatego okres jest teraz znacznie dłuższy niż przy małych wychyleniach (*). Richard Feynman w swoim wykładzie dziewiątym pokazuje przykład oscylatora, a także pokazuje, jak zastosować taką samą metodę do ruchu planety: jedyną różnicą jest inne prawo rządzące siłą (prawo ciążenia) oraz to, że trzeba obliczenia prowadzić dla dwóch współrzędnych kartezjańskich.

(*) Tak się składa, że i ten przypadek ruchu wahadła można rozwiązać analitycznie, trzeba jednak posłużyć się funkcjami eliptycznymi zamiast trygonometrycznych, jest to nieco bardziej zaawansowana matematyka.

Poniżej szczegóły obliczenia w arkuszu, gdyby ktoś chciał się pobawić. Najpierw formuły, potem liczby. Wystarczy tylko wpisać dwa pierwsze (jasnoniebieskie) wiersze formuł, resztę uzyskuje się przeciąganiem drugiego z nich w dół tak daleko, jak chcemy. Dla długich okresów czasu błędy naszej procedury będą się kumulować, więc rozwiązania będą się pogarszać. Zawsze jednak można zmniejszyć krok czasowy.

Zrzut ekranu z 2016-03-19 16:44:00Zrzut ekranu z 2016-03-19 16:45:47

Reklamy

Wzór Herona, Archimedes i zasada Arnolda

Heron z Aleksandrii żył gdzieś między datą śmierci Archimedesa (212 p.n.e.) a Pappusem, żyjącym w IV w.n.e. Jedyna informacja pozwalająca lepiej zlokalizować go w czasie, to zaćmienie Księżyca w roku 62 n.e., które opisał. Prawdopodobnie więc w owym roku zaliczał się między żywych, nim – jak wszyscy – przeszedł do krainy cieni. Nauczał w aleksandryjskim Muzeum (które było czymś w rodzaju elitarnej uczelni i instytutu badawczego), pozostawił wiele dzieł, i to one nas tu interesują.

Nastawiony praktycznie, w swej Pneumatyce opisał wiele urządzeń poruszanych siłą powietrza albo pary wodnej. Były tam urządzenia takie, jak wrota świątynne, które same się otwierały, gdy rozpalono ogień na ołtarzu. Trzeba było zaczekać, aż w naczyniu z prawej skondensuje się dostatecznie dużo pary, czas biegł wtedy wolniej, ludzie się nie spieszyli.

536px-Heron_-_automatische_Tempeltür

Samoczynne urządzenia zaspokajały potrzebę cudowności i podziwu, tę samą co dziś Gwiezdne wojny albo krwawiąca hostia w Legnicy, poza tym jednak nie służyły do niczego. Heron napisał podręcznik efektów specjalnych.

Zawartość [tego dzieła] stanowiła zawsze źródło konsternacji i rozpaczy dla poważnie myślących badaczy. Heron opisuje wprawdzie pewne użyteczne urządzenia, jak pompa strażacka albo organy wodne, ale cała reszta to zabawki, mechaniczne kukiełki albo przyrządy do salonowych sztuczek magicznych. Naczynia, które tryskają wodą bądź winem oddzielnie albo w stałych proporcjach, śpiewające ptaszki i grające trąbki, figurki poruszające się, gdy na ołtarzu rozpali się ogień, zwierzęta, które piją, gdy poda im się wodę – jak szanować autora, który poważnie zajmuje się tymi wszystkimi błahostkami? (A.G. Drachmann)

Napisał też Heron sporo dzieł geometrycznych, ale nastawionych inżyniersko, praktycznych. W jednym z nich, Metrikon, znajdują się metody obliczania pola powierzchni oraz objętości brył. W Egipcie, gdzie po każdym wylewie Nilu trzeba było od nowa wyznaczać granice działek rolnych, geometria praktyczna była w cenie. Geometria po grecku znaczy właśnie sztukę mierzenia ziemi.

Oto jeden z przykładów Herona. Mamy trójkąt o bokach 7, 8, 9. Znaleźć jego pole. Uczony podaje przepis: obliczamy najpierw długość obwodu i dzielimy ją przez dwa:

p=\dfrac{7+8+9}{2}=12.

Następnie od liczby tej odejmujemy długości poszczególnych boków a,b,c:

p-a=12-7=5,

p-b=12-8=4,

p-c=12-9=3,

Uzyskane w ten sposób cztery liczby mnożymy przez siebie i wyciągamy pierwiastek z wyniku:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{720}.

Jest to tzw. wzór Herona. Uczony nie kończy jednak na zapisaniu pierwiastka – geodeta potrzebuje jakiegoś przybliżenia. Uczony podaje w tym celu pewien algorytm. Najbliższym pełnym kwadratem większym niż 720 jest liczba 729=27^2. Weźmy 27 jako pierwsze przybliżenie naszego pierwiastka. Wiemy, że to za dużo. Możemy podzielić 720 przez 27 – gdyby to była prawidłowa wartość pierwiastka, to otrzymalibyśmy tę samą liczbę. Nasze przybliżenie jest z nadmiarem, po podzieleniu dostaniemy wynik z niedomiarem: 26\frac{2}{3}. Bierzemy teraz średnią arytmetyczną obu przybliżeń i to będzie nasz wynik:

\dfrac{27+26\frac{2}{3}}{2}=26+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}.

Heron kończy w tym miejscu, obliczając, że kwadrat ostatniej liczby jest trochę za duży. W postaci algebraicznej można by ten algorytm znajdowania \sqrt{A} zapisać następująco:

x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+\dfrac{A}{x_n}\right).

Jest on bardzo szybko zbieżny kolejne wartości to: 27; 26,83333333; 26,83281573 – w trzecim przybliżeniu wszystkie cyfry są dokładne!

Heron nie tylko podał przepis na obliczanie pola trójkąta, ale także zamieścił jego dowód. Jak się zdaje, wyrażenie to znał już Archimedes, Heron nie przypisuje sobie zresztą pierwszeństwa. Ponieważ to jego praca się zachowała, mówimy o wzorze Herona. W dziejach nauki jest mnóstwo takich mylnie przypisywanych określeń. Tak wiele, że Michael Berry, znakomity fizyk matematyczny, sformułował kiedyś dwie następujące żartobliwe zasady:

Zasada Arnolda. Jeśli jakieś pojęcie nazwano czyimś imieniem, to nie jest to imię odkrywcy.

Zasada Berry’ego. Zasada Arnolda stosuje się do samej siebie.

(Chodzi o Vladimira Arnolda, też znakomitego matematyka.)

Podamy trzy dowody. Pierwszy, algebraiczny, znaleziony został przez uczonych arabskich i podawany był także przez Leonarda Pisano, zwanego Fibonacci (od filius Bonacci – syn Bonacciego) w XIII w. oraz Niccolò Fontanę, zwanego Tartaglia (Jąkała) w XVI w. Drugi będzie współczesny trygonometryczny. Trzeci, geometryczny, podany przez Herona, jest najmniej przejrzysty dla dzisiejszego czytelnika.

  • Jest to właściwie dowód „siłowy”, wywodzący się z przekształceń formalnych.

heron4

Obliczamy brakującą wysokość trójkąta, wyrażając ją przez u=b\cos\alpha i korzystając z twierdzenia cosinusów. Można tu nie wprowadzać funkcji cosinus i korzystać wyłącznie z twierdzeń zawartych w Elementach Euklidesa.

16S^2=4c^2h^2=4c^2(b^2-u^2)=4c^2b^2-4c^2u^2.

Z tw. cosinusów mamy

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=b^2+c^2-2cu \Rightarrow 2cu=b^2+c^2-a^2.

Podstawiając to do wyrażenia wyżej i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy wynik w postaci

16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).

  • Punktem wyjścia dwóch pozostałych dowodów jest następująca obserwacja. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. Ponieważ dwie styczne poprowadzone z pewnego punktu na zewnątrz okręgu są tej samej długości, możemy łatwo wyrazić pole trójkąta jako sumę trzech prostokątów.

heron

Wynika stąd, że pole trójkąta równe jest

S=p\rho.

Należy więc wyrazić \rho przez długości boków.

Podejście trygonometryczne. Korzystamy z następującej tożsamości słusznej, gdy trzy kąty \alpha, \beta, \gamma dają w sumie kąt prosty:

1=\mbox{ tg }\alpha \mbox{ tg }\beta+\mbox{ tg }\alpha\mbox{ tg }\gamma+\mbox{ tg }\beta\mbox{ tg }\gamma.

Do wykazania tego faktu wystarczy poniższy rysunek.

heron2

Zaczynamy od lewego niebieskiego trójkąta, potem dorysowujemy ten sam trójkąt, lecz przeskalowany (wszystkie boki razy \mbox{tg}\beta ). Uzupełniamy rysunek do prostokąta. Trójkąt wewnątrz musi mieć kąt \beta, a stąd wynika, że trzeci zaznaczony kąt równy jest \alpha. Możemy więc długości boków zapisać jak w wyrażeniach z prawej strony prostokąta. Równość obu boków prostokąta daje nam szukaną tożsamość (*).

Wracając do rysunku trójkąta z okręgiem wpisanym, łatwo zauważyć, że tangensy połowy kątów trójkąta znaleźć możemy z odpowiednich trójkątów prostokątnych, np. w niebieskim trójkącie, mamy

\mbox{tg }\beta=\dfrac{\rho}{y}=\dfrac{\rho}{p-b}.

Wstawiając te wyrażenia do powyższej tożsamości, otrzymuje się wyrażenie na promień okręgu wpisanego, a stąd pole trójkąta.

  • Na koniec przedstawimy oryginalny dowód Herona. Wiadomo, że nie jest to dowód samego Archimedesa, ponieważ uczony z Syrakuz nie używał pewnych środków technicznych tu użytych. Oto rysunek z pracy Herona w wydaniu filologicznym oraz jego przejrzystsza wersja z książki Geometry by Its History, A. Ostermanna i G. Wannera.

metrikon

geometry by its history

Mamy trójkąt ABC z dwusiecznymi BI, AI, CI. Rysujemy dwie prostopadłe: do BC w wierzchołku C oraz do BI w punkcie I. BL jest w ten sposób przeciwprostokątną dwóch trójkątów prostokątnych BLC oraz BLI. Możemy więc na obu opisać wspólny łuk okręgu zaznaczony linią przerywaną. Rozważamy teraz kąty o wierzchołku w punkcie M. Dwa z nich to \gamma i \beta, co wynika z twierdzenia o kacie środkowym i kacie wpisanym opartym na tym samym łuku. Zatem kąt CML musi być równy \alpha, bo suma trzech kątów trójkąta równa się kątowi półpełnemu. Wobec tego kąt CBL jest równy  \alpha/2. Mamy więc dwa podobne trójkąty prostokątne: BLC oraz AID. Mamy stąd równość

\dfrac{l}{\rho}=\dfrac{z+y}{x}.

Także trójkąty IKE oraz KLC są podobne (kąty wierzchołkowe w K). A więc

\dfrac{l}{\rho}=\dfrac{z-m}{m} =\dfrac{z}{m}-1.

Porównując oba równania, wyznaczamy m:

m=\dfrac{xz}{p}.

Promień \rho jest wysokością trójkąta prostokątnego BIK opuszczoną na przeciwprostokątną, mamy zatem

\rho^2=ym=\dfrac{xyz}{p},

co pozwala natychmiast znaleźć pole trójkąta.

(*) Tożsamość, z której tu korzystamy, można także wyprowadzić w sposób czysto formalny bez żadnych rysunków. Mamy bowiem

\cos(\alpha+\beta+\gamma)=0,

korzystając najpierw ze wzoru na cosinus sumy, a następnie ze wzorów na cosinus oraz sinus sumy, dostaniemy:

\cos\alpha\cos(\beta+\gamma)-\sin\alpha\sin(\beta+\gamma)=

\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma=0.

Wystarczy teraz obie strony podzielić przez \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma, aby uzyskać wynik.

Czy naród można sobie amputować głowę? Przykład Niemiec (1933-1945)

W marcu 1933 r. Albert Einstein napisał: „Nie tylko jednostki, lecz i całe organizmy społeczne mogą ulegać chorobom psychicznym, zwłaszcza w okresach utrudnionej egzystencji” (przeł. J. Maliniak). Myślał oczywiście o swoim kraju, do którego nie mógł i nie chciał wracać w nowej sytuacji politycznej. Czy rzeczywiście nazizm był rodzajem zbiorowej sugestii, obłędu wywołanego przez charyzmatycznego wodza? Oglądając stare filmy z przemówieniami Hitlera, trudno pojąć, co Niemcy widzieli w tym chudym, miotającym się i wrzeszczącym histerycznie człowieczku. Nie wszyscy i nie od razu stali się nazistami, ale przy ogromnej bierności mas i wśród entuzjazmu swoich zwolenników Hitler w krótkim czasie zlikwidował wszelkie instytucje demokratyczne. Państwo było walczące, w kolejnych kampaniach demaskowano i piętnowano nowych albo wciąż tych samych wrogów: komuniści, Żydzi, zboczeńcy, niedorozwinięci umysłowo, Cyganie, obcokrajowcy, rekiny kapitału i co tam jeszcze mogła wymyślić utalentowana propaganda Dobrej Zmiany.

Nie wszyscy rozumieli logikę sytuacji i pewnie niewielu Niemców spodziewało się, że sprawy zajdą tak daleko. Hitler z 1933 roku nie ujawniał swoich wszystkich zamysłów, choć można je było wyczytać np. we wcześniejszym Mein Kampf. Nie było powodu wątpić, że nowy kanclerz posunie się tak daleko, jak tylko mu się uda. Ludzie zawsze jednak łudzą się nadzieją, że jakoś to będzie. Nowy system polityczny nie od razu się w pełni ujawnił, władza wolała nie szczycić się niektórymi posunięciami, dopóki nie podbiła wszystkich instytucji państwa i społeczeństwa. Kiedy mamy do czynienia z rządami, które zajmują się zdobywaniem coraz większej władzy zamiast rządzeniem i kiedy aparat państwowy oraz jego najwyżsi przedstawiciele atakują wybranych wybitnych obywateli, to czas zacząć się bać. To trochę jak z dziennikarskim kryterium, co jest newsem. Gdy pies ugryzie człowieka, to nie jest news, ale kiedy człowiek pogryzie psa, to już tak. Podobnie, obywatele występujący, demonstrujący przeciwko państwu, to nic nowego, ale kiedy państwo zaczyna atakować swoich wrogów wskazanych z nazwiska, to jest to wiadomość, i to bardzo zła, także dla pozostałych obywateli. Kiedy Gomułka zaatakował w przemówieniu Pawła Jasienicę, to oznaczało, że nawet jak na standardy komunistyczne, system wszedł w fazę ostrą. Einstein był jednym z pierwszych obywateli zaatakowanych w reżimowych mediach po objęciu władzy przez Hitlera. Zaledwie dziesięć lat wcześniej, przy okazji Nagrody Nobla, urzędnicy w Berlinie bardzo starali się wykazać, że uczony jest obywatelem Niemiec. W końcu dla świętego spokoju po kilku latach urzędowego pingponga Einstein przyjął niemiecki paszport, choć nigdy nie zrzekł się obywatelstwa Szwajcarii.

Nie rozstrzygniemy tu dyskusji na temat przyczyn nazizmu. Były oczywiście powody ekonomiczne, lecz kryzys i bezrobocie nie musiały prowadzić do czegoś tak chorego jak nazizm. Już bardziej zrozumiały wydawałby się komunizm. Szale się zresztą ważyły przez jakiś czas: komuniści i socjaliści mieli w sumie większe poparcie od nazistów, nie potrafili jednak wystąpić razem. Wielką rolę odegrał też fakt, że Niemcy źle się czuli w ustroju demokratycznym. Sądzili na ogół, że Republika Weimarska to spisek zagranicy oraz zdradzieckich elit (głównie Żydów!), których machinacje miały doprowadzić do przegrania wojny światowej i do niesprawiedliwego Traktatu Wersalskiego. Ten stan umysłów pokazuje karykatura z „Simplicissimusa” z roku 1919.

simplicissimus

Demonstrujcie w swoim domu! Każdego ranka profesor Groller z Berlina na znak swego ustawicznego protestu wymierza parę siarczystych policzków globusowi (Rys. Olaf Gulbransson)

Einstein uważał, że za nazizm odpowiadają wychowawcy narodu niemieckiego, w tym także profesorowie uniwersytetów. Na wielu z nich panowała przez lata atmosfera patriotycznego wzmożenia i niechęci do bezideowej demokracji. Nie przypadkiem Martin Heidegger, filozof niewątpliwie wybitny, opowiedział się entuzjastycznie po stronie nazizmu. Jesienią 1933 roku przemawiał jako rektor uniwersytetu we Fryburgu:

Niemieccy studenci, rewolucja narodowosocjalistyczna prowadzi do radykalnego przekształcenia naszego niemieckiego jestestwa. (…) Niech z każdym dniem i godziną umacnia się oddanie przywództwu i jego woli. (…) To nie twierdzenia i «idee» powinny stanowić reguły waszego bycia. Führer sam, i tylko on, jest obecną i przyszłą rzeczywistością Niemiec i ich prawem (przeł. J. Wolska-Stefanowicz i B. Baran).

Wola Führera ponad prawem – Niemcy nie chcieli być bezdusznymi sklepikarzami, pragnęli narodowego ducha w sztuce, w polityce, w szkole, a także na ulicy: wkrótce wszyscy, jedni chętnie, inni mniej chętnie, zaczęli używać pozdrowienia Heil Hitler. Przemawiał do nich romantyzm wspólnoty, masowych wieców, przemarszów z pochodniami, jednakowych mundurów i okrzyków niosących się echem po ogromnych placach. Obcy element gdzieś poznikał albo można było się nad nim bezkarnie pastwić, zmuszając np. Żydów do szorowania chodników, co było bardzo zabawne dla obserwatorów tej niewinnej rozrywki.

Właściwie tylko nieliczni, z reguły emigranci, potrafili spojrzeć prawdzie w oczy. Jak Thomas Mann, który notował w marcu 1933 roku:

Niewyczerpana, nie dająca się zakończyć rozmowa o zbrodniczym i budzącym obrzydzenie szaleństwie, o sadystycznych, chorobliwych typach ludzi, którzy obłąkańczymi i bezwstydnymi środkami osiągnęli swój cel absolutnej, nie tolerującej żadnej krytyki władzy (…) Przy tym niesłychany entuzjazm mas, które wierzą, że rzeczywiście tego chciały (…) Do tego bicie dzwonów i upojenie wzniosłością. Znowu się sądzi, że jesteśmy wielkim narodem. Wojnę, klęskę ogłasza się za niebyłe ich skutki zostały zniwelowane namiastką wojny, którą nazywa się rewolucją… (przeł. I. i E. Naganowscy).

Nawet słynnemu pisarzowi niełatwo przyszło publiczne krytykowanie reżimu i ociągał się z tym dość długo. Większości Niemców nie przychodziło to nawet do głowy.

Działo się to w kraju wielkich artystów, pisarzy, uczonych. Do roku 1933 jedna trzecia wszystkich naukowych nagród Nobla trafiła w ręce Niemców. Było to dwa razy więcej niż dla następnych w kolejności Brytyjczyków. Prymat nauki niemieckiej był zupełnie bezsporny. Prawdopodobnie tak czy inaczej nie udałoby się im zachować tej dominującej pozycji, nadchodziła bowiem era Stanów Zjednoczonych, nadeszłaby jednak później i nie w takiej skali, gdyby Niemcy sami nie amputowali sobie głowy. Wśród uczonych wygnanych czy w jakiś sposób wypchniętych z Niemiec było siedmiu noblistów, dwudziestu dalszych otrzymało tę nagrodę w przyszłości. Do tego doszły tysiące mniej znanych, lecz wspaniałych badaczy, przeważnie Żydów, choć nie zawsze, sytuacje osobiste tych ludzi były bardzo różne. Chyba nawet ci, co zostali w Niemczech i udawali, że nic się nie stało, jak Max Planck, nie rozumieli, że to już jest koniec i ich nauka nigdy się z tego nie podniesie. Była w tym okrutna asymetria: niemieccy Żydzi w większości czuli się Niemcami i nie wyobrażali sobie życia w innym kraju (Einstein był tu wyjątkiem), ich „czyści rasowo” koledzy na ogół nie widzieli w tym exodusie nic zatrważającego, nawet jeśli prywatnie było im żal dotychczasowych kolegów czy nawet przyjaciół. Byli mentalnie gotowi na jakąś formę rozprawy z Żydami i „rozwiązania problemu żydowskiego”. Poglądy tego rodzaju były popularne w wielu krajach, u nas np. atakowano Tuwima, że nie umie pisać po polsku i w jego wierszach słychać rzekomo rasową obcość.

J. Schmidhuber zrobił wykresy ukazujące, jak wielka nauka, reprezentowana tu przez noblistów, przenosiła się za ocean (wykresy są kumulatywne, czyli podsumowują cały XX wiek aż do danego roku).

sci630

Widać, ile znaczy dobra tradycja i jak trudno ją zastąpić nawet znacznymi nakładami finansowymi. Amerykanie przygotowywali grunt pod swoje sukcesy już w XIX wieku, w okresie międzywojennym mieli znakomitych eksperymentatorów, w latach trzydziestych transatlantykami napłynęły nowe idee.

Także język angielski zaczął dominować w nauce stosunkowo niedawno – w co dziś trudno uwierzyć. Oczywiście, do jego dominacji przyczynili się także Anglicy, których rola wcale się nie zmniejszyła, mimo że stracili w tym czasie imperium.

scilang630

Nie mam rzecz jasna dowodów, ale podejrzewam, że bez nazistowskiego szaleństwa i II wojny światowej, którą wywołali niesprowokowani, Niemcy odgrywaliby dziś znacznie większą rolę na wszystkich polach od gospodarki po kulturę i naukę. Gdyby tylko potrafili być nieco bardziej racjonalni i gdyby nie rządziły nimi resentymenty…

Co Einstein sądził o Hitlerze

Jak Johannes Kepler odkrył eliptyczny kształt orbity Marsa? (1605)

Kepler był pierwszym liczącym się naukowo zwolennikiem teorii heliocentrycznej. Otaczał wielką czcią postać Mikołaja Kopernika, ale astronomię zbudował właściwie na nowo. Zawiłą drogę do odkrycia tego, co dziś nazywamy dwoma pierwszymi prawami Keplera, opisał w legendarnie trudnej książce Astronomia nova. Dotyczyła ona głównie ruchu Marsa, częściowo także Ziemi. Uczony miał do dyspozycji wieloletnie precyzyjne obserwacje Tychona Brahego. Na ich podstawie zbudował teorię, która dorównywała im dokładnością, był to największy krok od czasów starożytnych Greków. Bez tak precyzyjnej teorii trudno sobie wyobrazić odkrycie prawa ciążenia przez Isaaca Newtona. Sam Newton sądził, iż Kepler wiedział, że orbity planet są owalne, a odgadł, że są one eliptyczne. W jakimś stopniu miał rację: nawet obserwacje Tychona, najlepsze, jakie kiedykolwiek zgromadzono, były zbyt mało dokładne, aby precyzyjnie wyznaczyć kształt orbity szukając jej punkt po punkcie. Odkrycie było więc wynikiem konfrontowania rozważań teoretycznych i obserwacji.
W praktyce dzięki pomysłowym metodom postępowania Kepler potrafił z dużą dokładnością wyznaczyć kierunek Słońce-Mars w zależności od czasu oraz z mniejszą dokładnością odległości planety od Słońca w różnych chwilach. Jego zdaniem Mars poruszany jest przez jakąś siłę emanującą ze Słońca. A właściwie wyobrażał sobie nawet dwie takie siły, pamiętajmy, że mechanika była wciąż na etapie arystotelesowskim: siła ciągnie albo popycha – ciało się porusza, siła przestaje działać – ciało staje. Była to dynamika przesuwanej szafy. Mimo to lepsza była taka dynamika niż żadna. Przed Keplerem, a i po nim, wyobrażano sobie ruchy planet jako coś całkowicie odmiennego od mechaniki ziemskich przedmiotów. Dla Kopernika Słońce było centralną latarnią w świecie, a nie źródłem siły.
Kepler przyjął, że ruch Marsa wokół Słońca zachodzi po krzywej zamkniętej. Najprościej było przyjąć, że jest nią okrąg o umownym promieniu równym 1. Musimy jednak wtedy Słońce odsunąć od środka okręgu o pewną wielkość znaną z obserwacji, tzw. mimośród orbity. W przypadku Marsa \mbox{AS}=e \approx 1/11.

mars 1 area law

Wiadomo też z obserwacji, że planeta porusza się szybciej, gdy jest bliżej Słońca. Z takim ruchem niejednostajnym Kepler zmierzył się jako pierwszy. Intuicyjnie wydawało mu się to zrozumiałe, że z mniejszej odległości Słońce oddziałuje silniej, a więc porusza szybciej naszą planetą (Wyobrażał sobie, że Słońce wiruje wokół osi i niejako zagarnia planety swoim polem siłowym, toteż ucieszył się, kiedy odkryto wirowanie Słońca wokół osi). Uprościmy rozważania na ten temat, zakładając tzw. prawo pól, czyli dziś II prawo Keplera. W trakcie swej wojny z Marsem (jak sam ją określał w alegorycznym duchu epoki) astronom stosował także różne inne przybliżenia, które dla uproszczenia pominiemy. Prawo pól mówi, że pole powierzchni zakreślonej przez promień wodzący Marsa, czyli np. powierzchni SCM jest proporcjonalne do czasu. Np. pole wycinka SM’C jest mniej więcej równe polu BAC, czyli ćwiartce koła. Znaczy to, że Mars znajdzie się w tym położeniu po jednej czwartej obiegu. Po połowie obiegu znajdzie się oczywiście w punkcie najbliższym Słońca (peryhelium).
Na przebycie łuku orbity CM planeta potrzebuje czasu t, który spełnia następującą proporcję

\dfrac{t}{T}=\dfrac{\mbox{pole MAC}+\mbox{pole SAM}}{\pi}\Rightarrow t=\beta+e\sin\beta.

Przyjęliśmy umownie, że okres obiegu Marsa T=2\pi. Jest to tzw. równanie Keplera. Kąt \beta nazywa się anomalią mimośrodową. Nie jest to wprawdzie ten kąt, który może wprost zainteresować astronoma i który można wyznaczyć z obserwacji (choć nie wprost – trudno umieścić się na Słońcu!). Istotnym obserwacyjnie kątem jest MSC, tzw. anomalia prawdziwa. Z rysunku widać, że anomalię tę można wyznaczyć w sposób trygonometryczny. Mając \beta, możemy więc znaleźć czas i położenie planety. Równanie Keplera jest przestępne, nie można podać prostego wyrażenia na funkcję \beta(t), był to jeden z kłopotów Keplera, a potem wszystkich następnych astronomów, gdyż równanie Keplera obowiązuje także dla orbity eliptycznej. Od teraz będziemy zakładać prawo pól dla każdego kształtu orbity. Kiedy zastosuje się je do Marsa, anomalie prawdziwe (czyli kąty widziane ze Słońca) różnią się od obserwowanych mniej więcej tak:

mars circular errors

(rysunek wg pracy H. Martynki)

Różnice nie są wielkie, lecz w miarę wyraźne. Kepler znał tylko kilka punktów tej krzywej, nie miał do dyspozycji żadnych narzędzi obliczeniowych, nawet logarytmy były nieznane, każde mnożenie, dzielenie itd. trzeba było mozolnie wykonywać krok po kroku. Obserwacje Tychona pozwalały na błędy rzędu jednej albo dwóch minut kątowych (bez użycia teleskopu nie da się zresztą rozróżnić mniejszych kątów, patrz George Biddell Airy: Jak drobne szczegóły można dostrzec przez teleskop? Nasze oko ograniczone jest średnicą źrenicy, a także gęstością komórek światłoczułych na siatkówce). Kepler sprawdził także, że orbita Marsa powinna być odrobinę spłaszczona. Rzecz jednak w tym, że nie szukał jedynie odpowiedniej krzywej, ale chciał także, żeby jej kształt wynikał jakoś z mechaniki. Wpadł na pomysł dość dziwaczny dla nas, ale uzasadniony tradycją astronomii: na dużym kole (deferencie) obraca się małe koło (epicykl). Można taką konstrukcją zastąpić okrąg rozważany wyżej.

mars2 ekscent

Odcinek CM jest stale równoległy do SA. Można albo sobie wyobrażać ruch po czerwonym okręgu albo po dwóch czarnych, wynik będzie ten sam. Nowy pomysł Keplera polegał na tym, aby epicykl nadal obracał się jednostajnie, ale ruch planety miał być niejednostajny: w rezultacie kąt NXM będzie większy niż kąt NSC i wypadkowa krzywa stanie się spłaszczonym nieco owalem. Jednostajny obrót epicykla uważał Kepler za możliwy fizycznie (wymagało to jakiejś dodatkowej siły wywołującej ten obrót, ale tak czy owak potrzebował dwóch różnych sił: jednej wywołującej krążenie wokół Słońca oraz drugiej na przemian zbliżającej i oddalającej planetę od Słońca).

mars oval

Owal też nie spełnił zadania. Kepler miał kłopoty z obliczeniem jego kształtu, choć zadanie nie jest szczególnie trudne, gdy zastosować trygonometrię w zapisie algebraicznym albo prosty rachunek całkowy – narzędzia te nie były mu dostępne, bo ich jeszcze nie było. Błędy w anomaliach prawdziwych okazały się teraz równie duże co poprzednio, miały jednak inne znaki.

mars errors oval

(rysunek wg pracy H. Martynki)

Wskazywało to na zbytnie spłaszczenie owalu w stosunku do rzeczywistości. Owal miał rzeczywiście kształt jajka (ovum), choć w praktyce jajo to nie różniło się wiele od elipsy i w jakimś momencie Kepler zaczął je przybliżać elipsą. Nie zauważył, że prawo pól zastosowane do różnych elips oznacza, że planety tak się poruszające znajdują się w każdej chwili na jednej linii prostopadłej do osi NMM’. Zatem jeśli błękitna elipsa daje położenie M’, a okrąg położenie N i oba są z przeciwnym błędem, to rozwiązaniem powinna być elipsa pośrednia między tymi dwiema (okrąg to też elipsa).

mars 3 ellipses

W każdym z tych przypadków słuszne jest równanie Keplera, które wypisaliśmy wyżej. Kepler szukał jednak wyjaśnienia fizycznego: owal miał jakieś uzasadnienie, inna elipsa nie bardzo. Bez epicykla i bez okręgu znalazł się w kropce. Wrócił do odległości. Owal był nieco węższy w kierunku prostopadłym do osi (linia łącząca położenie najbliższe i najdalsze od Słońca, u nas pozioma). Między okręgiem a owalem zostawał cienki sierp, lunula – jak go określił.

mars lunulae1

Astronom wiedział, że prawdziwy tor planety mieści się gdzieś pośrodku. Obserwowane odległości nie przesądzały jednak gdzie dokładnie. Wczesną wiosną 1605 roku zauważył dość szczególne prawo, które pasowało do obserwacji i tego, co wiedział.

mars click

Najpierw przyjrzyjmy się niebieskiemu trójkątowi SKA. Kepler wiedział, że kąt na rysunku równy jest dla Marsa \varphi=5^{\circ} 18'. Przy takim kącie SK=1,00429, a więc do jedynki dodana jest mniej więcej połowa szerokości lunuli. Tymczasem odległość SM powinna być równa wówczas 1. Czyli tam, gdzie orbita jest najwęższa, od okręgu należałoby ująć mniej więcej 0,00429. Prawo, które zaproponował, przedstawione jest na rysunku. Zamiast odległości SN należało w każdym punkcie wziąć odległość ND – była to więc reguła, o ile należy skrócić promień w stosunku do promienia wodzącego SN (N leży na okręgu). Zapisane trygonometrycznie prawo to ma rzeczywiście prostą postać

r=1+e\sin\beta.

Można było mieć nadzieję, że tak proste prawo wynika jakoś z mechaniki. Miało ono zastąpić ów nieszczęsny epicykl, który sprawił mu mnóstwo zachodu. Brakowało jeszcze ustalenia, w którym kierunku należy odłożyć ową odległość r. W końcu zauważył, że prawidłowy rysunek wygląda następująco.

mars kepler ellipse

Można wykazać, że odkładając odległość DN jako SM (obie zaznaczone są na niebiesko), otrzymujemy punkt M leżący na elipsie. Spośród wszystkich elips, które mają taką samą długość dużej półosi, wybieramy dzięki tej konstrukcji taką, że Słońce znajduje się w jej ognisku (sam astronom nie zauważył tego w pierwszej chwili). Nie jest to oczywisty sposób na skonstruowanie elipsy, ale jest on prawidłowy. Zapisane przez nas równania oraz łatwy do wyznaczenia z rysunku kąt anomalii prawdziwej dają nam równania ruchu planety w postaci parametrycznej, gdzie \beta jest parametrem. Zauważmy, że linia AN nie celuje ku planecie, lecz ku pewnemu punktowi na pomocniczym okręgu. Konstrukcja jest dość zawiła, ale nie da się tego zrobić dużo prościej, to ruchy planet są skomplikowane.
W rzeczywistości orbity Marsa rozpatrywane przez Keplera bardzo mało się od siebie różnią. Na rysunku przedstawiłem przypadek e=0,4, mimośrody planet nie są tak duże. Widzimy, dlaczego starożytne teorie oparte na okręgach działały tak dobrze.

mars e equal04

(rysunek wg pracy H. Martynki)

A tak poprawiła się dokładność przewidywań w teorii Keplera w porównaniu z efemerydami przed nim.

marspos

Dane O. Gingericha

Dla porządku zapiszę jeszcze wzory dla anomalii prawdziwej v, czyli kąta MSC na rysunku wyżej. Rzutując SM na prostą SC, otrzymujemy:

r\cos v=e+\cos\beta.

Rzutując SM na prostą NM, otrzymujemy:

r\sin v=\sqrt{1-e^2}\sin\beta,

gdzie \sqrt{1-e^2} jest stosunkiem długości małej osi elipsy do dużej. Łatwo stąd otrzymać także biegunowe równanie elipsy, lepiej znane niż wzór Keplera na r. Mnożąc obie strony wzoru z \cos v przez e oraz dodając do obu stron 1, mamy:

1+er\cos v=e^2+(1+e\cos\beta)=e^2+r.

Wyznaczając r, dostajemy równanie elipsy

r=\dfrac{1-e^2}{1-e\cos v}.

W podręcznikach cosinusy mają inne znaki, ponieważ my trzymamy się historycznego sposobu liczenia kątów od aphelium, a obecnie liczy się od perihelium: \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha. Owal Keplera ma równanie

r=\dfrac{1-e^2}{\sqrt{1-2e\cos v+e^2}}.

Od igły Buffona do metody Monte Carlo: statystyczne wyznaczenie liczby pi oraz wielkości mrowiska

Jean Marie Leclerc, hrabia de Buffon, był obok swego rówieśnika ze Szwecji Carla Linneusza najsławniejszym naturalistą drugiej połowy XVIII wieku. Za jego życia ukazało się trzydzieści sześć tomów historii naturalnej, a jeszcze kilka po jego śmierci z pozostawionych przez uczonego materiałów. W młodości nic nie zapowiadało, że zdolny jest do tak gigantycznej pracy. Studiował nauki przyrodnicze i Newtona zamiast poświęcić się prawu i być jak ojciec, adwokat parlamentu Burgundii oraz poborca podatku od soli. W Angers zabił w pojedynku chorwackiego oficera i musiał uciekać. Podróżował dłuższy czas po Europie razem z Evelynem Pierrepontem, drugim diukiem Kingston-upon-Hall, potem osiadł w Paryżu i zaczął starać się o przyjęcie do Akademii Nauk. Bardziej od zasług naukowych liczyły się kontakty, Buffon napisał jednak oryginalną, choć nietrudną pracę dotyczącą pewnej gry hazardowej, le jeu du franc-carreau. Polegała ona na tym, aby upuszczać przypadkowo monetę na posadzkę z drobnych płytek. Liczyło się, czy moneta mieści się całkowicie wewnątrz jednej z płytek, czy przecina jakieś granice między nimi. Buffon zastanawiał się, jak duże muszą być monety w stosunku do długości boku kwadratowej płytki, aby gra taka była sprawiedliwa. Przedstawił też jej prostszą odmianę: rzucamy w sposób przypadkowy igły długości l na podłogę z desek o szerokości d i sprawdzamy, czy igła przecina linię oddzielającą deski. Znów można zadać pytanie, przy jakim stosunku l/d gra będzie sprawiedliwa.

BuffonsNeedle

http://demonstrations.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem/

Okazuje się, że prawdopodobieństwo przecięcia którejś linii równe jest

p=\dfrac{2}{\pi}\dfrac{l}{d}.

Wzór ten słuszny jest dla l\le d.Buffon ogłosił swe rozważania, po czterdziestu z górą latach, w roku 1777, w długiej rozprawie Essai d’arithmétique morale (arytmetyka moralna to rachunek prawdopodobieństwa). Dla kogoś, kto przełożył na francuski Traktat o fluksjach Isaaca Newtona, nie było to trudne zagadnienie. W roku 1812 Pierre Simon de Laplace zwrócił uwagę, że jeśli znamy stosunek długości igły do odległości linii, możemy eksperymentalnie wyznaczyć wartość liczby \pi. Np. na rysunku powyżej wylosowano 100 rzutów i igła przecina linię 66 razy oraz l=d. Wartość liczby \pi oszacowana na podstawie tego eksperymentu równa jest

\pi=\dfrac{2}{0,66}\approx 3,03

 My pokażemy, jak znaleźć to prawdopodobieństwo, nie korzystając z żadnych całek. Jeśli igła dowolnej długości l pada losowo na układ równoległych linii, to może je przeciąć pewną skończoną liczbę razy. Załóżmy, że zliczamy liczby przecięć dla kolejnych rzutów.

buffon1

Wartość oczekiwana liczby przecięć równa jest

E(l)=p_1+2p_2+3p_3+\ldots.

 Prawdopodobieństwo, że przecięć będzie k oznaczyliśmy p_k, suma zawiera tyle składników, ile trzeba dla danej długości igły. Jeśli podzielimy naszą igłę na dwie części o długościach l=l_1+l_2, to można ustalić zawsze, która część przecina daną linię.

buffon1_5

Jeśli przecięcia obu części będziemy zliczać oddzielnie, a następnie je zsumujemy, wynik nie może być inny niż przed podzieleniem igły:

E(l)=E(l_1)+E(l_2).

Moglibyśmy podzielić igłę na dowolną liczbę kawałków, łatwo widać, że E(cl)=cE(l) dla dowolnych wymiernych wartości c. Funkcja E(l) jest rosnąca, możemy więc napisać

E(l)=E(1)l=cl.

Wyznaczenie E(l) sprowadza się więc do znalezienia stałej c, która jest niezależna od długości igły.

Wyobraźmy sobie, że nasza igła to kawałek drutu, który zaginamy, jak na rysunku. Wartość oczekiwana liczby przecięć nadal będzie sumą wartości oczekiwanych liczby przecięć obu części. Inaczej mówiąc, wygięcie drutu nie zmieni wartości oczekiwanej całkowitej liczby liczby przecięć.

buffon2

A skoro tak, to możemy wyobrazić sobie, że rzucamy jakieś wielokąty foremne i obliczamy wartość oczekiwaną całkowitej liczby przecięć wielokąta z liniami prostymi. Nadal powinna to być ta sama funkcja E(l).

buffon2_5

Aby znaleźć wartość stałej c rozpatrzymy zamiast wielokątów ich graniczny przypadek czyli okrąg o średnicy d. Okręgi takie przecinają nasze linie proste dokładnie w dwóch punktach.

buffon3

Możemy więc napisać równość

2=E(d\pi)=d\pi E(1) \Rightarrow E(l)=\dfrac{2l}{\pi d}.

Obliczyliśmy w ten sposób wartość oczekiwaną liczby przecięć dla dowolnej igły. Co to ma wspólnego z prawdopodobieństwem pojedynczego przecięcia? Jeśli nasza igła jest krótsza niż odległość linii, to może przeciąć najwyżej jedną z nich, a więc E(l)=p_1.

Nietrudno zauważyć, że nasze obliczenie sprowadza się do ustalenia stosunku dwóch pól powierzchni z rysunku, czyli inaczej mówiąc do obliczenia pola powierzchni między sinusoidą a osią odciętych.

buffon0Można sobie wyobrazić bardziej bezpośredni sposób obliczenia pola powierzchni i tym samym liczby \pi. Wyobraźmy sobie kwadrat i załóżmy, że losujemy w sposób całkowicie przypadkowy punkty wewnątrz tego kwadratu. Jeśli w kwadrat wpiszemy okrąg, to niektóre z nich znajdą się wewnątrz okręgu, inne na zewnątrz.

MonteCarlo1000

Na rysunku wylosowano 1000 punktów, 773 leżą wewnątrz okręgu, zatem

\dfrac{\pi}{4}\approx\dfrac{773}{1000}\Rightarrow \pi\approx 3,092

Obliczenie to stanowi prosty przykład działania metody Monte Carlo. Jest ona dość powolna, bo trzeba wygenerować wiele punktów, aby wynik był w miarę dokładny. Zauważmy jednak, że moglibyśmy w ten sposób zmierzyć pole pod dowolną krzywą, czyli mówiąc inaczej, obliczyć dowolną całkę. Metodę tę zaproponował w roku 1946 Stanisław Ulam, pracujący wówczas w Los Alamos. Dzięki pierwszemu komputerowi ENIAC można już było generować liczby losowe. Podczas rekonwalescencji po chorobie Ulam, specjalista od metod probabilistycznych, a do tego wielki miłośnik gier i hazardu, układał sobie pasjanse Canfielda i zaczął zastanawiać się, jak obliczyć w tym przypadku prawdopodobieństwo sukcesu. Było to trudne, ale można by np. wymodelować pewną liczbę gier i oszacować prawdopodobieństwo na podstawie częstości sukcesów. Razem z Johnem von Neumannem zastosowali po raz pierwszy metodę Monte Carlo do obliczeń dyfuzji neutronów.

Ciekawe zastosowania rozumowania typu igły Buffona można napotkać w biologii. Wyobraźmy sobie płaski obszar wypukły o polu powierzchni S. Zamiast igieł mamy dwa zestawy łuków krzywych. Ich całkowita długość to l_1 oraz l_2. Jeśli będziemy losowo umieszczać krzywe obu rodzajów w naszym obszarze, to średnia liczba przecięć między krzywymi obu rodzajów dana jest wzorem analogicznym do wzoru Buffona:

E=\dfrac{2l_1l_2}{\pi S}.

Możemy np. posłużyć się tą zależnością do statystycznego wyznaczenia pod mikroskopem długości pewnej krzywej (np. kawałka korzenia rośliny). Umieszczamy losowo w naszym obszarze badaną krzywą wraz z odcinkami prostej o ustalonej długości. Teraz wystarczy obliczyć, ile razy badana krzywa przecina się z odcinkami prostoliniowymi, co jest znacznie prostsze niż śledzenie za konkretną krzywą (wyobraźmy sobie, że mamy do zbadania tysiące takich korzeni).

root

Niech N będzie liczbę przecięć, zaś H całkowitą długością wylosowanych odcinków, wówczas długość krzywej równa jest

R=\dfrac{\pi NS}{2H}.

Zależność ta (oraz rysunek) pochodzą z klasycznej pracy E.I. Newmana, A Method of Estimating the total length of root in a SampleJournal of Applied Ecology, t. 3, (May, 1966), s. 139-145. Wzór Newmana można też wykorzystać do znalezienia pola powierzchni S, gdy znane są pozostałe wielkości. Sugerowano, że algorytmu tego rodzaju używają mrówki, szacując, czy jakieś miejsce nadaje się na nowe mrowisko. Dwa zestawy krzywych byłyby w tym przypadku dwoma trasami tej samej mrówki-zwiadowcy: liczyłaby ona, ile razy pierwsza trasa i druga się przecinają (trasy są znaczone feromonami, zakłada się, że mrówka reaguje na swoje indywidualne feromony). Nie potrafię ocenić, czy to dobra hipoteza, z pewnością ciekawa. Szczegóły można znaleźć w pracy: E.B. Mallon, N.R. Franks, Ants estimate area using Buffon’s needle, „Proc. R. Soc. London” B, t. 267 (2000) s. 765-770.