Czemu warto czytać o Einsteinie?

W lutym 2016 roku ogłoszono odkrycie fal grawitacyjnych docierających z kosmosu. Po raz
kolejny potwierdziła się w ten sposób teoria grawitacji Alberta Einsteina. Mimo że od śmierci uczonego minęło przeszło sześćdziesiąt lat, wciąż docierają do nas nowe konsekwencje jego odkryć: soczewkowanie grawitacyjne, kondensacja Bosego-Einsteina, a teraz fale grawitacyjne stają się narzędziem dla nowych pokoleń badaczy. Ten bodaj najsłynniejszy uczony wszech czasów wniósł ogromny wkład do fizyki: fotony, pierwsze zastosowania idei kwantów, względność czasu, równoważność masy i energii, teoria grawitacji, która zmieniła nasz sposób myślenia o wszechświecie – nie jest to wyczerpująca lista jego osiągnięć. Jednak nie tylko one sprawiły, że miliony ludzi tak interesowały się jego życiem i poglądami.
Przebył długą drogę od zbuntowanego ucznia porzucającego gimnazjum do siwowłosego mędrca, którego zna cały świat. Był człowiekiem odważnym i bezkompromisowym, zabierał głos w obronie wolności, zwalczał nacjonalizm i rasizm, zachowując przy tym poczucie humoru i dystans do własnej osoby. Jego niezależny charakter narażał go stale na kłopoty: po studiach on jeden spośród swego rocznika długo nie mógł znaleźć pracy, nie chciała go żadna uczelnia ani szkoła. Pierwszą stałą posadę znalazł w biurze patentowym w Bernie. Przepracował tam siedem lat i w tym czasie powstała znaczna część jego dorobku naukowego. Także później nie stał się typowym profesorem, rzadko prowadził wykłady, nie miał doktorantów, chętnie współpracował z inżynierami, był współautorem wielu patentów. Niemal dwadzieścia lat spędził w Berlinie, gdzie jego żydowskie pochodzenie i lewicowe poglądy często ściągały na niego niewybredne ataki antysemitów i „dobrych Niemców”. Kiedy Adolf Hitler został kanclerzem i zaczął bezwzględnie podporządkowywać sobie kraj, Einstein publicznie oświadczył, że będzie „żył wyłącznie w państwie, w którym na pierwszym miejscu stoją wolności obywatelskie, tolerancja i równość obywateli wobec prawa. Niestety, nie jest to rzeczywistość obecnych Niemiec”. Zerwał wszelkie oficjalne więzi z ojczyzną i zaangażował się w pomoc ludziom zmuszonym do jej opuszczenia. Resztę życia spędził w Stanach Zjednoczonych, pracując w coraz większym osamotnieniu nad jednolitą teorią pola i zabierając od czasu do czasu głos w sprawach publicznych. Także i tutaj jego poglądy nie wszystkim się podobały: FBI Johna Edgara Hoovera zgromadziło grube teczki donosów i podsłuchów, szukając jakichś śladów antyamerykańskiej działalności uczonego.
Pracując nad swą nigdy nieukończoną jednolitą teorią pola, mawiał: „Wielkość naukowa jest w zasadzie kwestią charakteru. Najważniejsze to nie iść na zgniłe kompromisy”. Do końca pozostał nonkonformistą, nie pozował na nadczłowieka i choć mylił się wielokrotnie, zarówno w sprawach naukowych, jak i obywatelskich, były to zawsze błędy uczciwe i popełnione w dobrej wierze.

Reklamy

Augustin Fresnel: piękna matematyka dyfrakcji (1818)

Stanisław Lem stwierdził kiedyś: „Nikt nic nie czyta, a jeśli czyta, to nic nie rozumie, a jeśli nawet rozumie, to nic nie pamięta”. Zjawisko to zresztą stare jak świat, w gruncie rzeczy różne informacje przypominają elementy puzzli: bez nich nie da się złożyć obrazka, ale one same nie wystarczą, bo trzeba jeszcze je odpowiednio dopasować. Każdy, kto się czegoś uczył, zauważył pewnie, że jeśli uda nam się coś dobrze zrozumieć, stworzyć pewną logiczną strukturę z tego, czego się uczyliśmy, to trudno to potem zapomnieć. Łatwo się zapomina fragmenty, które nigdy nam do niczego nie pasowały albo pasowały dość luźno.

Historycy mają skłonność sądzić, że jeśli X czytał albo choć posiadał w bibliotece tekst Y, to znaczy, że Y wpłynął na X. Często zresztą X sam nie wie, czy Y na niego wpłynął. Na uniwersytecie w Getyndze, będącym matematycznym centrum Niemiec, sto lat temu mówiło się o „nostryfikacji” idei czy pomysłów. Znane nawet było pojęcie „samonostryfikacji”, gdy ktoś wpadał na pomysł kiedyś już przez niego samego opublikowany. Einstein latem roku 1915 wygłosił tam cykl wykładów o swej teorii grawitacji, sądząc, że jest zakończona. Jesienią zauważył, że równania pola grawitacyjnego powinny być inne i zaczął nad nimi gorączkowo pracować, tym intensywniej, że w Getyndze David Hilbert zajął się tym samym tematem – groziła więc Einsteinowi „nostryfikacja” ze strony jednego z najlepszych matematyków tamtych czasów. Ostatecznie to Einstein pierwszy zapisał prawidłowe równania teorii grawitacji, można powiedzieć, że wszystko się skończyło szczęśliwie, bo włożył wiele trudu w zbudowanie tej teorii i należała mu się taka finałowa satysfakcja.

Augustin Fresnel był z zawodu inżynierem drogowym, nadzorował rozmaite budowy na prowincji. Może nie zająłby się poważniej fizyką, która go interesowała, lecz o której nie wiedział zbyt wiele, gdyby nie Napoleon. Wielki cesarz powrócił właśnie z zesłania na Elbie i próbował odbudować imperium, co jak wiemy skończyło się bitwą pod Waterloo. Fresnel jako polityczny przeciwnik cesarstwa stracił posadę i miał dużo wolnego czasu, który spędzał w rodzinnej wiosce matki, Mathieu w regionie Calvados, pod nadzorem policji. Z pomocą miejscowego kowala zbudował przyrządy do obserwacji optycznych, kropla miodu służyła mu za soczewkę. Znał matematykę. Czytał trochę Thomasa Younga, ale że nie znał angielskiego, niezbyt chyba wiele od niego zaczerpnął. Nie będziemy dociekać, ile dokładnie wziął od Younga, w każdym razie posunął się znacznie dalej niż angielski przyrodnik, tworząc matematyczną teorię światła jako fal i sprawdzając ją za pomocą świetnych eksperymentów. Kilka lat później został przyjęty do paryskiej Akademii Nauk. Słabowity przez całe życie, zmarł na gruźlicę w 1827 roku, niedługo po swoich trzydziestych dziewiątych urodzinach – żył więc tak samo długo jak Chopin, Słowacki i Riemann, którzy cierpieli na tę chorobę.

fresnel-1

W roku 1818 Fresnel przedstawił matematycznie prawidłową teorię ugięcia światła na nieprzezroczystej półpłaszczyźnie. Podstawą tej teorii jest zasada Huygensa: każdy punkt czoła fali traktujemy jak nowe źródło fal, które rozchodzą się we wszystkich kierunkach. W punkcie obserwacji, np. w jakimś punkcie ekranu, sumują się drgania przychodzące od każdego punktu fali. Łatwo opisać, jak to będzie wyglądać, gdy mamy tylko dwie fale dochodzące do danego punktu. Obserwujemy wówczas sumę drgań (wtedy nie wiedziano, co tam właściwie drga, my dziś wiemy, że są to pola elektryczne oraz magnetyczne).

fresnelDrganie można przedstawić jako rzut obracającego się wektora o pewnej długości. Na rysunku wektory te obracają się przeciwnie do wskazówek zegara z prędkością kątową

\omega=\dfrac{2\pi}{T},

gdzie T jest okresem fali (i drgania w danym punkcie), \omega nazywa się częstością kołową. Złożenie dwóch drgań o takiej samej częstości będzie sumowaniem dwóch obracających się wektorów. Ponieważ oba obracają się tak samo, możemy obrazek unieruchomić i dodawać te wektory tak, jak się dodaje wektory – według reguły równoległoboku albo (dolny rysunek) rysując je jeden za drugim. Wynik będzie taki sam, ale tą drugą techniką możemy dodać tyle wektorów, ile zechcemy.

Widzimy, że wynik dodawania zależy tylko od różnicy fazy \varphi między dwoma drganiami.

Rozpatrzmy teraz falę płaską padającą na nieprzezroczystą półpłaszczyznę AB, punkty B, D, E i C współtworzą czoło fali biegnącej z lewej strony z dalekiego źródła. Możemy odpowiadające im drgania zapisać jako strzałki, wszystkie mają tę samą fazę – ustawiliśmy je pionowo.

f30-07_tc_bigRysunek 30.7 z wykładów Feynmana (kto czuje niedosyt, może zajrzeć do podrozdziału 30-6 w t. 1)

Załóżmy, że interesuje nas natężenie światła w pewnym punkcie P. Fala docierająca do tego punktu z E musi przebyć odległość s, nieco większą niż odległość ekranu b:

fresnel1Z trójkąta prostokątnego na rysunku i z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy

(b+\Delta)^2=b^2+2b\Delta+\Delta^2=b^2+h^2.

Różnice odległości \Delta, które mogą być dla nas ważne, są porównywalne z długością fali światła, a więc są znacznie mniejsze niż typowa odległość ekranu, możemy więc pominąć \Delta^2 w porównaniu do 2b\Delta, otrzymujemy wówczas:

\Delta=\dfrac{h^2}{2b}.

Dodając przyczynki od różnych punktów czoła fali, możemy przyjąć, że amplitudy fal cząstkowych są jednakowe: dodajemy więc wektory tej samej długości. Nie możemy natomiast pominąć faz. Różnica fazy między falą z E i falą z D będzie równa

\varphi=2\pi\dfrac{\Delta}{\lambda}=\dfrac{\pi h^2}{b\lambda}\sim h^2.

Zsumowanie nieskończenie wielu fal cząstkowych to obliczenie całki – coś, co Fresnel jako dobry inżynier z początku XIX wieku potrafił. Możemy uzyskać jakościowe wyobrażenie o wyniku, dodając bardzo wiele jednakowych strzałek. Zaczynamy od punktu D leżącego najbliżej punktu obserwacji P. Gdy przesuwamy się wyżej, faza rośnie proporcjonalnie do h^2: w wyniku powstanie spirala zwijająca się od punktu D w prawo i w górę, spirala ta zawija się coraz gęściej wokół pewnego punktu.

f30-08_tc_big(Rysunek 30-8 z wykładów Feynmana)

Podobnie będzie z wektorami z fragmentu BD naszego czoła fali, będzie im odpowiadać fragment spirali od B_P do D. Całkowite drganie odpowiadające punktowi obserwacji P dane będzie wektorem B_{P\infty} na rysunku. Jeśli nasz punkt obserwacji będzie leżał w cieniu, jak Q na rysunku, dodawać będziemy tylko fale cząstkowe od B_Q w górę i nasz wektor wypadkowy będzie miał koniec w punkcie \infty, im dalej w cień, tym bardziej spada natężenie światła. Po jasnej stronie półpłaszczyzny w punkcie R: musimy wystartować w B_{R} na lewym zwoju spirali i zakończyć gdzieś na prawym zwoju, co w rezultacie da wektor w przybliżeniu od lewego centrum spirali do jakiegoś punktu w pobliżu centrum prawego: długość wektora będzie się (niemal) okresowo zmieniać. Kwadrat długości naszego wektora to natężenie światła, czyli to co zwykle rejestrujemy. Obliczony ściśle wynik wygląda następująco:

FresnelFresnel_diffraction_of_straight_edge_density_plotwikimedia commons, autor: Gisling

Oś y wykresu leży na krawędzi szczeliny, na lewo mamy część „zacienioną”, na prawo – „jasną”, oś x wyskalowana jest w jednostkach \sqrt{b\lambda/2} (dla żółtego światła o \lambda=0,6 \mu m i odległości ekranu b=3,3 m będzie to skala w milimetrach. Wahania natężenia widać jako prążki. Tak wygląda granica cienia, jeśli się jej dokładniej przyjrzeć i jeśli fala padająca ma dobrze określoną fazę, np. oświetlamy naszą półpłaszczyznę laserem. Można to zrobić i bez lasera (jak Fresnel w XIX wieku), ale wówczas źródło fal musi być dostatecznie małe.

CornuSpiral1Elegancka spirala, którą otrzymaliśmy wyżej nazywa się spiralą Cornu. Fresnel obliczył całki, które są tu potrzebne, samo przestawienie graficzne jest późniejsze.

Najłatwiej zastosować tutaj wzór Eulera: nasza płaszczyzna jest wówczas płaszczyzną zespoloną, a dodawanie wektorów jest dodawaniem liczb zespolonych. Napiszmy jeszcze wzór na zespoloną sumę drgań S (kwadrat jej modułu to natężenie światła):

S=\int\limits_{-a}^{\infty} e^{i\frac{\pi h^2}{b\lambda}} dh,

a to odległość DB. Część rzeczywista i urojona tej liczby wyraża się przez tzw. całki Fresnela, funkcje wprowadzone do nauki i obliczone po raz pierwszy przez naszego uczonego.

B. P. Abbott et al.: Odkrycie fal grawitacyjnych (11 lutego 2016)

Grupa uczonych z projektów LIGO i VIRGO poinformowała o pierwszej bezpośredniej obserwacji fal grawitacyjnych. Autorów jest bardzo wielu, dobrze mieć w takiej sytuacji nazwisko z samego początku alfabetu: praca będzie bowiem cytowana tysiące razy jako B.P. Abbott et al. (Pełna lista autorów w artykule.)

Obserwacji dokonały niezależnie od siebie dwa laboratoria LIGO w Stanach Zjednoczonych: w Hanford w stanie Washington oraz w Livingston w stanie Louisiana. Są one odległe o 3000 km, dzięki czemu można coś powiedzieć o kierunku, z którego dobiegł sygnał. Tak wygląda interferometr w Hanford, drugi jest podobny.

lho_aerial_photoW zasadzie urządzenia te są ogromnymi interferometrami Michelsona w kształcie litery L, w których fala świetlna rozdzielana jest na dwie części biegnące w prostopadłych ramionach, na ich końcu obie fale odbijają się i wracają z powrotem do punktu wyjścia. Dzięki interferencji tych powracających fal można bardzo precyzyjnie mierzyć drobne przesunięcia zwierciadeł na końcach litery L.

large (1)
W rzeczywistości światło biegnie wielokrotnie wzdłuż każdego z ramion, powiększając tę odległość 4 km trzysta razy. Wykres przedstawia czułość obu detektorów, mierzoną wielkością jest odkształcenie \Delta L/L. Widzimy, jak niewiarygodnie mała jest ta wielkość: właśnie dlatego fale grawitacyjne wykryto dopiero teraz, po dziesiątkach lat ulepszania aparatury. Przy tak wielkiej precyzji problemem są wszelkie wstrząsy, sztuka ich unikania oraz odfiltrowywania z danych została rozwinięta do perfekcji: dlatego też praca zamieszczona wczoraj w „Physical Review Letters” ma tak wielu autorów (reprezentują oni ponad setkę instytucji naukowych).

Co właściwie odkryto? Otóż 14 września 2015 roku o godzinie 9:50:45 czasu Greenwich detektory zarejestrowały następujące odkształcenia:

large (2)

U góry są zarejestrowane w dwóch ośrodkach odkształcenia (jednostka wynosi 10^{-21}!). Na prawym wykresie zostały one nałożone na siebie po przesunięciu w czasie. Oba detektory zakołysały się nieznacznie: trochę tak, jak kołysze się łódka, gdy dotrze do niej fala wywołana przepływającym statkiem. Mamy w istocie dwie łódki (detektory), więc fala dociera do nich niejednocześnie, ale wciąż jest to ta sama fala. Pod wynikami eksperymentów jest ich rekonstrukcja metodami numerycznymi, o czym za chwilę. „Wodą” w tych eksperymentach jest sama przestrzeń. Ogólna teoria względności opisuje czasoprzestrzeń jako pewien dynamiczny ośrodek, nie ma w nim sił grawitacji, są tylko odkształcenia czasoprzestrzeni. Fale grawitacyjne są takim szczególnym odkształceniem, które może przenosić energię i rozchodzić się podobnie do fal elektromagnetycznych. Fale te mogą mieć dwie polaryzacje + oraz x, oznaczenia są dość oczywiste, gdy popatrzymy na rysunki. Przedstawiają one, jak deformowałby się pierścień mas punktowych pod wpływem przechodzącej fali grawitacyjnej (fala biegnie prostopadle do płaszczyzny rysunku, fale grawitacyjne są poprzeczne).

GravitationalWave_PlusPolarizationGravitationalWave_CrossPolarization

https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_wave

Widzimy więc, że detektory będą najwrażliwsze na fale biegnące prostopadle do płaszczyzny L. Odległości mas w detektorach nieznacznie się zmieniły, z przyczyn technicznych nie mamy pierścienia koralików a tylko dwa prostopadłe odcinki.

Z jednej strony wykrycie fal grawitacyjnych jest ogromnym sukcesem technik doświadczalnych, przez pół wieku wielu ludzi pracowało nad ich doskonaleniem, aż do tego pierwszego pomiaru, niewątpliwie wkrótce nastąpią następne. Ale jest i druga strona tej historii: postęp w rozumieniu teorii Einsteina. Niecałe sto lat temu, 22 czerwca 1916 roku, przedstawił on pierwszą pracę na ten temat w Pruskiej Akademii Nauk. Dwa lata później, poprawił pewne błędy w tej pracy i obliczył szybkość tracenia energii związaną z promieniowaniem fal grawitacyjnych. Nikt wówczas nawet nie myślał o wykryciu takich fal, nie było nawet pewności, czy wnioski Einsteina są prawdziwe, on sam zakwestionował je w latach trzydziestych, choć później się z tego wycofał. Przedmiot wzbudzał jednak pewne kontrowersje. Już po śmierci Einsteina wyjaśniono kwestię istnienia czarnych dziur. Rozwinęły się też numeryczne metody pozwalające badać, co dzieje się z takimi obiektami, gdy zbliżą się zanadto do siebie (zbliżają się, ponieważ wypromieniowują fale grawitacyjne). Powstaje wówczas jedna duża czarna dziura. Właśnie takie zjawisko zostało zaobserwowane przez uczonych z LIGO.

large

Dopiero nałożenie precyzyjnych symulacji numerycznych na obserwowane dane pozwala zrozumieć, co zaobserwowano. Były to ostatnie chwile przez złączeniem się dwóch dużych czarnych dziur w jedną większą. Ich masy wynosiły 36 i 29 mas Słońca, po połączeniu masa czarnej dziury równa jest 62 mas Słońca. Energia wypromieniowana w postaci fal grawitacyjnych szacowana jest na około 3 masy Słońca (E=mc^2). Zjawisko to zaszło bardzo daleko od nas, ponad miliard lat świetlnych, było jednak tak gwałtowne, że można je było zaobserwować na Ziemi. Ponieważ rozwinięte zostały zarówno metody eksperymentalne, jak i sztuka numerycznych symulacji, możemy być pewni, że niebawem badania takie staną się rutynowym narzędziem astrofizyków. Einstein zasłużył na kolejną Nagrodę Nobla, podobnie jak ludzie, którzy rozwijali te projekty, niewątpliwie posypią się za to odkrycie nagrody. Można ubolewać, że zapewne otrzymają je głównie szefowie projektów, ale każdy z autorów wczorajszej pracy będzie miał co opowiadać wnukom.

Projekty takie jak LIGO są kosztowne, słysząc o tym, wielu ludzi niezwiązanych z nauką zadaje pytanie o cel i sens takich wydatków. Co nam przyjdzie z wiedzy o czarnych dziurach odległych o miliard lat świetlnych? Wbrew pozorom nauka podstawowa ma aspekty praktyczne: w projektach tego rodzaju ludzkość ćwiczy rozmaite możliwości. Kamery CCD najpierw miały zastosowania w astronomii, zanim trafiły do popularnych aparatów cyfrowych, magnetyczny rezonans jądrowy czy pozytonowa tomografia emisyjna pozwalają zdiagnozować choroby i ratują ludzkie życie itd. itp. Trudne eksperymenty naukowe poszerzają granice tego, co w ogóle jest możliwe technicznie. Dla mnie badania takie mają też inny, może nawet ważniejszy aspekt. Wyraził to trafnie amerykański fizyk Robert R. Wilson, który jako młody człowiek pracował w Projekcie Manhattan, a w latach sześćdziesiątych zabiegał o zbudowanie akceleratora w słynnym potem ośrodku Fermilab. W roku 1969 Wilson przepytywany był przed komisją Kongresu na temat celowości budowy dużego akceleratora cząstek. Senator John Pastore zapytał go, czy akcelerator taki wzmocni bezpieczeństwo kraju. Usłyszał, że nie. Po kilku następnych pytaniach idących w tym samym kierunku, Robert Wilson stwierdził, że projekt nie ma wprawdzie bezpośredniego wpływu na obronność kraju, przyczynia się jednak do tego, iż warto jest go bronić. 

 Dane pochodzą z pracy: B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 – Published 11 February 2016

Od Eulera do Feynmana: Po co nam liczba e?

Ilu matematyków potrzeba do wkręcenia żarówki? Odpowiedź: -e^{i\pi}.

feynman e i pi

Piętnastoletni Richard Feynman zapisał w swoim notatniku:

Najbardziej niezwykła równość w matematyce

e^{i\pi}+1=0.

Rzeczywiście, mamy tu trzy liczby: podstawę logarytmów naturalnych e, stosunek długości okręgu do średnicy \pi oraz jednostkę urojoną i. Pokażemy, co wyróżnia liczbę e, wprowadzoną w sposób systematyczny i nazwaną przez Leonharda Eulera. Przyjrzymy się funkcji wykładniczej e^{x} w dwóch przypadkach: dla x rzeczywistego oraz czysto urojonego – w tym drugim przypadku funkcja staje się okresowa, co jest na pierwszy rzut oka zaskakujące.

exponents

W dziedzinie rzeczywistej funkcja e^x jest „najprostszą” funkcją wykładniczą. Na wykresie zaznaczona jest linią niebieską. Na czym polega jej prostota (albo naturalność)? Po pierwsze można każdą inną funkcję wykładniczą zapisać za jej pomocą, zatem inne są nam właściwie niepotrzebne. Po drugie zachowuje się ona najprościej w okolicy x=0. Oczywiscie każda funkcja wykładnicza ma w tym punkcie wartość 1. Chodzi jednak o nachylenie, z jakim krzywa przecina oś Oy. Z wykresu widać, że to nachylenie względem osi Ox może być dowolne (oprócz 90º). Naturalna funkcja wykładnicza ma tangens nachylenia równy 1. Oznacza to, że dla małych wartości x mamy

e^x\approx 1+x. \mbox{ (*)}

Dla porównania, przy podstawie 10, otrzymamy:

10^x\approx 1+2,3026x.

Widzimy, czemu matematycy nie chcą używać innych podstaw funkcji wykładniczej niż e. Funkcję tę możemy zdefiniować jako szereg, czyli nieskończoną sumę:

e^x=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots.

Nawet jeśli nie znamy analizy, wiadomo, jak używać takiego szeregu: gdy chcemy poznać wartość funkcji, musimy zsumować dostatecznie dużo jego wyrazów. Ile wyrazów – to zależy od wymaganej dokładności oraz od wartości x.

Tak wygląda obliczanie wartości liczby e.

Istnieje także inny, bardziej praktyczny sposób zdefiniowania liczby e. Wyobraźmy sobie, że oddajemy złotówkę na lokatę ze stopą oprocentowania 10% na 10 lat. Ile będziemy mieli na koncie po 10 latach? Naiwna odpowiedź brzmi 2 zł (bo 10% razy 10 lat daje 100%). W rzeczywistości musimy uwzględnić kapitalizację odsetek, tzn. fakt, że co pewien czas obliczana jest nowa wartość naszej lokaty i następne odsetki oblicza się już od tej nowej wartości. Jeśli kapitalizacja odsetek następuje co roku, wartość naszej lokaty po 10 latach równa będzie

\left(1+\dfrac{1}{10}\right)^{10}\approx 2,5937.

A gdyby kapitalizować odsetki 10 razy w roku (oczywiście za każdym razem stopa będzie 10 razy mniejsza)? Wówczas wartość naszej lokaty będzie równa

\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^{100}\approx 2,7048.

W tym miejscu uważny Czytelnik zauważy, iż nasze zadanie prowadzi najwyraźniej do liczby e.

Bardziej rozbudowany przykład liczbowy.

Gdybyśmy kapitalizowali odsetki w sposób ciągły, pod koniec lokaty będziemy mieli na koncie e zł. Możemy uważać tę wartość za granicę następującego ciągu:

e=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \mbox{ (**)}.

Wynika stąd, że w przybliżeniu 1% wzrostu przez 100 lat albo 5% wzrostu przez 20 lat, albo 10% wzrostu przez 10 lat dadzą w przybliżeniu ten sam wynik końcowy: e. Błąd będzie tym mniejszy, im mniejsza jest stopa procentowa. Istnieje podobna reguła dla wzrostu dwukrotnego: iloczyn stopy procentowej i liczby okresów powinien równać się około 70%. Czyli np. wzrost gospodarczy 7% rocznie przez 10 lat daje podwojenie PKB. (Reguła 70% to naprawdę reguła 69,3%, chodzi o to, że e^{0,693}\approx 2).

Przejdźmy teraz do argumentów czysto urojonych. Funkcja e^{it} jest okresowa, czego na pierwszy rzut oka nie widać w jej definicji za pomocą szeregu (wstawiliśmy x=it):

z(t)=e^{it}=1+\dfrac{it}{1!}+\dfrac{(it)^2}{2!}+\dfrac{(it)^3}{3!}+\ldots.

Spróbujmy popatrzeć na tę funkcję okiem fizyka, traktując t jako czas, a wartość funkcji jako współrzędne punktu na płaszczyźnie zespolonej. Łatwo obliczyć moduł liczby z(t), tzn. odległość punktu od początku układu. Jeśli z(t)=a+bi, to mamy

|z(t)|^2=a^2+b^2=(a+bi)\cdot(a-bi)=zz^{\star},

gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z definicji liczby zespolonej sprzężonej do danej liczby: różni się ona znakiem przy części urojonej. W naszym przypadku otrzymamy:

|z(t)|^2=zz^{\star}=e^{it}\cdot e^{-it}=e^{0}=1.

Zatem koniec wektora z(t) będzie leżał na okręgu jednostkowym. Obliczmy prędkość ruchu punktu z(t). Prędkość średnia w przedziale czasu (t, t+h) będzie równa

v(t)=\dfrac{z(t+h)-z(t)}{h}=\dfrac{e^{i(t+h)}-e^{it}}{h}=e^{it}\dfrac{e^{ih}-1}{h}.

Zauważmy, że działania takie jak dodawanie, odejmowanie liczb zespolonych oraz dzielenie przez liczbę rzeczywistą h odbywa się zgodnie z regułami działań na wektorach (w tym przypadku dwuwymiarowych). Jeśli czas h będzie krótki, to w ostatnim ułamku możemy zastosować (*) dla przypadku x=ih i otrzymamy ostatecznie

v(t)=iz(t).

Łatwo zauważyć, że mnożenie liczby zespolonej przez i oznacza obrót wektora o 90º w lewo na płaszczyźnie:

i(a+bi)=-b+ai.

Moduł obliczonej przez nas prędkości równy jest 1. Sytuację przedstawia rysunek.

euler

Okres ruchu to długość okręgu podzielona przez prędkość, czyli 2\pi. Promień wodzący punktu o współrzędnych z(t) tworzy kąt proporcjonalny do czasu. Ponieważ z(0)=1, więc kąt ten po prostu równy jest t. W zapisie zespolonym punkt na okręgu jednostkowym ma przy takim kącie t postać (stosujemy definicje funkcji sinus i cosinus na okręgu jednostkowym):

\cos t+i\sin t=z(t)=e^{it}.

Wzór ten zwany jest wzorem Eulera. Wstawiając t=i\pi, otrzymujemy równość, od której zaczęliśmy i która tak zachwyciła młodego Feynmana. Wzór Eulera jest niezwykle użyteczny w rozpatrywaniu fal, drgań, a także w trygonometrii, funkcje wykładnicze są bowiem bardzo proste w użyciu. Powiedzmy, że potrzebujemy wyrażenia na \sin 2\alpha. Wystarczy podnieść do kwadratu wzór Eulera, a dostaniemy szukane wyrażenie oraz przy okazji wyrażenie na \cos 2\alpha:

e^{i2\alpha}=\cos 2\alpha+ i\sin 2\alpha.

(e^{i\alpha})^2=(\cos \alpha+i\sin \alpha)^2=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+i 2\sin \alpha\cos \alpha.

Porównując prawe strony obu wyrażeń otrzymujemy dwie tożsamości trygonometryczne. Wzór Eulera musiał szczególnie podobać się Feynmanowi, bo przydaje się w praktycznych zastosowaniach. Feynman już wtedy starał się rozumieć, „jak działa” matematyka, to znaczy, jak można obliczyć najróżniejsze rzeczy. Nieprzypadkowo w Los Alamos kierował zespołem wykonującym obliczenia numeryczne, wiadomo było, że jest w tej dziedzinie pomysłowy, stosował np. równoległe przetwarzanie danych, żeby było szybciej (za procesory służyli ludzie z kalkulatorami elektrycznymi). Gdyby wysadzić go na bezludnej wyspie, odtworzyłby bez trudu sporą część różnych tablic funkcji i całek. Można zresztą założyć, że w wersji skróconej miał je wszystkie w głowie: zakładał się, że obliczy dowolne wyrażenie z dokładnością 10% w ciągu minuty, jeśli tylko samo zadanie można sformułować w dziesięć sekund. I niemal zawsze wygrywał.

Nieco więcej ścisłości.

Łatwo sprawdzić, że definicja e^z za pomocą szeregu jest prawidłowa, tzn. szereg jest zbieżny absolutnie dla wszystkich wartości z. Tak zdefiniowana funkcja spełnia też prawo mnożenia funkcji wykładniczych:

e^{z+u}=e^{z}e^{u}.

Mamy bowiem

e^{z+u}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(z+u)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n-k} \dfrac{z^{k}u^{n-k}}{k!(n-k)!}  =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{z^k u^{m}}{k!m!} .

Korzystając z dwumianu Newtona możemy też uzasadnić granicę (**). Rozwijając dwumian, otrzymamy jako k-ty wyraz

\dfrac{n!}{k!(n-k)!n^k}=\dfrac{n(n-1)\ldots (n-k+1)}{n^k}\dfrac{1}{k!}.

Pierwszy ułamek dąży do 1, przy n dążącym do nieskończoności, zostaje więc suma wynikająca z rozwinięcia w szereg e^1.

 

Werner Heisenberg, zasada nieoznaczoności i istnienie atomów (1927)

W roku 1925 dwudziestotrzyletni Werner Heisenberg zaproponował nową mechanikę dla cząstek mikroświata. Był to początek prawdziwej rewolucji w fizyce, największej do tej pory. Można było wziąć podręcznik, wyszukać jakiś problem klasycznej mechaniki i rozwiązać go nowymi metodami. Niemal zawsze wynik taki znajdował zastosowanie w świecie atomów i cząsteczek, pozwalając zrozumieć zjawiska dotąd zupełnie niezrozumiałe.Heisenberg,Werner_1926

 

Problemem nowej teorii była interpretacja fizyczna (w jakimś sensie stanowi ona zresztą problem do dziś). Pod koniec marca 1927 roku Werner Heisenberg opublikował pracę O poglądowej treści kinematyki i mechaniki kwantowej. Znalazła się w niej słynna zasada nieoznaczoności: w przypadku cząstki kwantowej nie możemy przyjąć, że znamy jednocześnie jej położenie i prędkość. Każdą z tych wielkości z osobna możemy zmierzyć z dowolną dokładnością, ale tracimy wówczas informację o drugiej.

  1. Zilustrujemy to najpierw przykładem, który Heisenberg podał nieco później.
  2. W następnej kolejności rozpatrzymy mikroskop Heisenberga z 1927 roku.
  3. Pokażemy też, jak zasada nieoznaczoności pozwala zrozumieć fundamentalny fakt doświadczalny: stabilność atomów – w myśl fizyki klasycznej takie układy powinny być nietrwałe.
  1. W mechanice klasycznej (niekwantowej), aby obliczyć, co się stanie z pewnym ciałem, np. kamieniem, który rzucamy, należy znać jego położenie oraz prędkość w pewnej chwili. Oczywiście, trzeba znać siły działające na nasze ciało. Warunki początkowe plus siły pozwalają, przynajmniej w zasadzie, obliczyć, co się stanie w chwilach późniejszych albo, co się z naszym kamieniem działo w chwilach wcześniejszych – mechanika nie rozróżnia przeszłości i przyszłości w taki sposób jak my: przeszłość pamiętamy, przyszłości jeszcze nie ma. Heisenberg starał się sformułować swoją teorię, używając jedynie wielkości, które można zmierzyć. Sądził np., że takie pojęcie jak tor elektronu nie ma sensu empirycznego i w związku z tym nie należy sobie wyobrażać, iż elektrony w atomie jakoś się poruszają w sposób klasyczny. Louis de Broglie zaproponował kilka lat wcześniej, aby traktować elektron jako falę o długości

     \lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv},

    gdzie h jest stałą Plancka, p – pędem, czyli iloczynem masy m i prędkości v. Fala o ustalonym kierunku i wartości pędu, to fala płaska. Wiemy, że jeśli fala taka przejdzie przez szczelinę, ulegnie ugięciu.electron diffraction

     

     

     

    Przejście przez szczelinę o szerokości d możemy potraktować jak pomiar współrzędnej: znamy położenie elektronu z dokładnością do szerokości szczeliny. Nie możemy jednak określić dokładnie pędu naszego elektronu w kierunku poziomym. Krzywa dyfrakcyjna na rysunku oznacza rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w różnych punktach. Pęd w kierunku poziomym jest statystycznie rozmyty. Wielkość jego rozmycia, to zgodnie z tym, co pisaliśmy o dyfrakcji:

    \Delta p=p\sin\theta=p\dfrac{\lambda}{d}.

    Mnożąc nieoznaczoność poziomej współrzędnej przez nieoznaczoność poziomego pędu, otrzymujemy:

    \Delta x\Delta p= \lambda p=h.

    Co oznacza ten związek? Jeśli dokładniej chcemy znać wartość współrzędnej x, to musimy za to zapłacić większym rozmyciem pędu, i na odwrót: dokładna znajomość pędu oznacza, że fala elektronu jest płaska, czyli nieskończenie szeroka w kierunku poziomym (przed wejściem do szczeliny) – nic wówczas nie wiemy o położeniu elektronu. Stan kwantowy charakteryzuje się więc tym, że zarówno współrzędna, jak i pęd muszą być rozmyte. Mówimy tu o szerokości rozkładów prawdopodobieństwa: w ściślejszym sformułowaniu należy z lewej strony pomnożyć odchylenia standardowe współrzędnej oraz pędu. Nie dziwmy się, że fizycy z lat dwudziestych ubiegłego wieku mieli trudności w zrozumieniu zachowania elektronów. Rozkład prawdopodobieństwa narysowany powyżej obowiązuje także w przypadku, gdy przez szczelinę przechodzi zawsze tylko pojedynczy elektron. Z jakichś powodów przechodzi on więc przez całą szczelinę jednocześnie, chociaż przyłapać go możemy zawsze tylko w konkretnym punkcie. Zachowanie się cząstki kwantowej w pobliżu przeszkody oddaje dobrze poniższy rysunek Charlesa Addamsa, rysownika zupełnie niezwiązanego z fizyką.
    YAGO600SPAN

  2. Rozpatrzmy jeszcze przykład mikroskopu Heisenberga – jest to Gedankenexperiment – doświadczenie pomyślane, nie interesujemy się techniczną wykonalnością, lecz zasadami fizyki. Załóżmy, że chcemy zmierzyć położenie elektronu oraz jego pęd w kierunku poziomym. Aby elektron zobaczyć, musimy go oświetlić. Nasz przedmiot (elektron) musi znajdować się praktycznie w ognisku obiektywu mikroskopu. mikroskop1Najmniejszy kąt możliwy do rozdzielenia przez nasz mikroskop, to kąt znaleziony przez Airy’ego, mamy więc

     \Delta x=f \alpha=1,22 f\dfrac{\lambda}{D},

    Przyjęliśmy, że \alpha jest nieduży (znacznie mniejszy od jednego radiana, wówczas wartości sinusa i tangensa kąta można zastąpić jego wartością w radianach); f jest ogniskową, D – średnicą obiektywu. Ponieważ oba te parametry soczewki są mniej więcej zbliżonej wielkości, więc najmniejsza odległość przedmiotów, jakie możemy rozdzielić jest rzędu długości fali. Dlatego używa się mikroskopów elektronowych: jeśli elektrony mają znaczny pęd, to zgodnie ze wzorem de Broglie’a ich długość fali jest niewielka i mamy szansę dostrzec mniejsze szczegóły niż za pomocą mikroskopu optycznego. Heisenberg wyobraził sobie mikroskop, w którym używamy promieniowania \gamma o bardzo małej długości fali, wtedy nieoznaczoność współrzędnej może być odpowiednio mniejsza. Co jednak z pędem? Nasz elektron zderza się z fotonem, w zderzeniu tym zachowany jest pęd, zatem mierząc pędu fotonu w kierunku poziomym, możemy znaleźć pęd elektronu. Aby foton wpadł do obiektywu, musi poruszać się w odpowiednim kierunku. mikroskop2To z kolei oznacza, że pozioma składowa jego pędu jest znana z dokładnością

    \Delta p=p\sin\theta\approx p\dfrac{D}{2f}.

    Mnożąc obie nieoznaczoności, otrzymamy

    \Delta x\Delta p=0,61\lambda p\approx h.

  3. Zastosujemy zasadę nieoznaczoności do wyznaczenia wielkości atomu wodoru. Możemy sobie wyobrażać, że mamy nieskończenie ciężki proton, który przyciąga elektron. Energia potencjalna elektronu jest wówczas równa

    V=-\dfrac{e^2}{r},

    gdzie e^2 zawiera ładunek elementarny i stałą z prawa Coulomba, tzn. e^2={q_e}^2/{4\pi\epsilon_0}. Energia potencjalna w funkcji odległości wygląda jak na wykresie.coulomb

    Im bliżej protonu znajdzie się elektron, tym mniejsza będzie jego energia potencjalna. Każdy układ fizyczny, jeśli go zostawić w spokoju, przejdzie do stanu o najniższej możliwej energii. W tym przypadku nie ma najmniejszej energii: studnia potencjału nie ma dna, więc nasz elektron powinien spaść na proton. Znaczyłoby to, że nie mamy atomu wodoru. Rzeczywiście, z punktu widzenia fizyki niekwantowej, nawet jeśli umieścimy elektron na kołowej orbicie wokół protonu, zacznie on wysyłać promieniowanie elektromagnetyczne, ponieważ ruch przyspieszony generuje takie fale. Unoszą one energię i nasz elektron powinien skończyć na protonie. Zasada nieoznaczoności pozwala tego uniknąć. Załóżmy, że r i p oznaczają typowe wartości nieoznaczoności odległości i pędu. Mamy wtedy

    rp\approx h\mbox{, zatem } \dfrac{1}{r}\approx \dfrac{p}{h}.

    Typowe wartości odległości oraz pędu powinny być takiego samego rzędu, dlatego opuściliśmy symbole \Delta. Całkowita energia równa jest sumie energii kinetycznej i potencjalnej:

    E=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac{e^2}{r}=\dfrac{1}{2m}p^2-\dfrac{ e^2}{h} p.

    Wyrażenie to jest funkcją kwadratową zmiennej p. Wykresem tej funkcji jest parabola, współrzędne jej wierzchołka pozwalają nam znaleźć zarówno wartość najmniejszej energii, jak i wartość odpowiadającej jej odległości r_0:

    E=-\dfrac{me^4}{2\hbar^2}\mbox{, } r_0=\dfrac{\hbar^2}{me^2}.

    Oczywiście, w takim oszacowaniu nie otrzyma się dokładnych wartości. Nasze wyniki mogą się różnić o jakieś czynniki liczbowe typu \pi^2. Nieco w tych wzorach oszukałem, wstawiając wartości \hbar=h/{2\pi}, wtedy wszystko się zgadza. Energia wychodzi równa -13,6 eV (oznacza to, że trzeba elektronowi dostarczyć 13,6 eV, aby miał energię równą zero: odpowiada to jonizacji). Odległość elektronu 0,5 Å – jest to jakaś średnia odległość, atom ma średnicę rzędu 10^{-10} \mbox{ m}. Nie o dokładne liczby jednak chodzi, lecz o pewien mechanizm: gdyby elektron stale przebywał bardzo blisko protonu, co daje niską energię potencjalną, musiałby mieć duży pęd, a to oznacza dużą energię kinetyczną. Stan o najmniejszej energii jest więc swoistym kompromisem, który minimalizuje energię.

Albert Einstein o Hitlerze (1935)

W roku 1933 i latach następnych Adolf Hitler był w Niemczech niewątpliwie „człowiekiem roku”. Choć nigdy nie zdobył samodzielnej większości parlamentarnej, rządził, nie oglądając się na takie regulaminowe szczegóły. Zresztą opozycja najpierw była podzielona, później poparła go prawicowa DNVP, a jeszcze później rozwiązał wszystkie partie. Trudno dziś zrozumieć, co tak uwodzicielskiego miały wygłaszane przez niego paranoiczne brednie. Prawdopodobnie miliony ludzi pragnęły odreagować swoje własne upokorzenia i swoje własne niepowodzenia – Hitler był do nich podobny, lecz umiał to przekuć w sukces i władzę. Niemcy mieli kompleks osaczenia: wokół był zły świat, który dybał na ich dobrostan, nie pozwalał poszerzyć granic i miał pretensje o jakieś zbrodnie wojenne w Belgii. Zresztą wróg czyhał także wewnątrz: Żydzi knuli, spiskowali i manipulowali biednymi prostolinijnymi Niemcami.

„Berliner Illustrirte Zeitung”, która kiedyś zamieściła portret Einsteina, teraz miała nowych bohaterów.

ALBERT EINSTEIN (1879-1955). American (German-born) theoretical physicist. On the cover of 'Berliner Illustrirte Zeitung,' 1919.

BIZ-10.9.1933_a

Trudno wyobrazić sobie kogoś mniej podatnego na stadne emocje niż Einstein. Nie dlatego gardził Hitlerem, że był słynnym uczonym, którego nic w Niemczech nie trzymało. Gdyby nie odniósł sukcesu naukowego i pozostał nikomu nieznanym urzędnikiem biura patentowego, myślałby tak samo.

Każdy, komu sprawia przyjemność maszerowanie w szeregu przy dźwiękach muzyki, już przez to samo wywołuje we mnie uczucie pogardy; jedynie przez przypadek obdarzono go wielką mózgownicą, gdyż mlecz pacierzowy wystarczyłby najzupełniej na jego potrzeby. Ową hańbiącą plamę na honorze cywilizacji należałoby usunąć jak najprędzej. O jakże nienawidzę tego bohaterstwa na komendę, bezmyślnej przemocy i bogoojczyźniactwa [Vaterlenderei, słówko Nietzschego – J.K.]

A to jego niepublikowany tekst o Hitlerze. Nie został opublikowany prawdopodobnie dlatego, że mógłby zaszkodzić krewnym w Niemczech albo jego siostrze mieszkającej w faszystowskich Włoszech.

Ku wiecznemu wstydowi Niemiec rozgrywa się w sercu Europy groteskowy i tragiczny spektakl; nie przynosi on chwały wspólnocie narodów, które zwą się cywilizowanymi!

Przez wieki naród niemiecki poddawany był indoktrynacji przez niekończący się szereg nauczycieli i sierżantów od musztry. Niemców zmuszano do ciężkiej pracy i uczenia się wielu rzeczy, wpajając im jednocześnie ślepe posłuszeństwo, wojskową dyscyplinę i brutalność. Powojenna demokratyczna konstytucja Republiki Weimarskiej pasowała do obywateli Niemiec mniej więcej tak samo, jak szaty wielkoluda na Tomcia Palucha. Potem nadeszły inflacja i kryzys, i wszyscy żyli w strachu i napięciu.

Zjawił się Hitler, człowiek o miernych zdolnościach umysłowych, nienadający się do żadnej użytecznej pracy, zionący zawiścią i żółcią na wszystkich, których natura i okoliczności obdarzyły hojniej niż jego. Wywodząc się z dołów klasy średniej, miał na tyle dużo klasowej pychy, by nienawidzić nawet klasy pracującej walczącej o większą równość w poziomie życia. Najbardziej ze wszystkiego znienawidził jednak kulturę i wykształcenie, na zawsze mu niedostępne. W swym desperackim pragnieniu władzy odkrył, iż jego przemówienia, tak mętne i przesiąknięte nienawiścią, przyjmowane są z dzikim aplauzem przez tych, których sytuacja i orientacja podobne były do jego własnej. Pozbierał te ludzkie szumowiny na ulicach i w piwiarniach i zorganizował wokół siebie. W taki sposób rozpoczął karierę polityczną.

Tym jednak, co przesądziło o jego przywództwie, była nieprzejednana nienawiść do wszystkiego, co zagraniczne, a zwłaszcza jego odraza do bezbronnej mniejszości, niemieckich Żydów. Ich wrażliwość intelektualna wywoływała u niego niepokój, uznawał ją – do pewnego stopnia słusznie – za niegermańską.

Bezustanne tyrady przeciwko tym dwóm «wrogom» pozwoliły mu zdobyć poparcie mas, którym obiecywał wspaniałe triumfy i złoty wiek. Sprytnie wykorzystał do swoich celów odwieczne niemieckie zamiłowanie do dyscypliny, rozkazów, ślepego posłuszeństwa i okrucieństwa. W taki sposób został Führerem.

Pieniądze płynęły obficie do jego skarbca, w niemałej części od klas posiadających, bo te widziały w nim narzędzie, mogące zapobiec społecznemu i ekonomicznemu wyzwoleniu narodu, które zaczęło się w Republice Weimarskiej. Grał przed ludźmi, wykorzystując romantyczną i pseudopatriotyczną frazeologię, do której zostali przyzwyczajeni w okresie poprzedzającym wojnę światową, a także oszustwo o rzekomej wyższości rasy aryjskiej czy nordyckiej, które jest mitem wymyślonym przez antysemitów do realizacji ich złowieszczych celów. Jego rozszczepiona osobowość sprawia, iż nie można stwierdzić, w jakim stopniu on sam wierzy w ów nonsens, który wciąż propaguje. Jednakże ci, którzy się wokół niego zgromadzili albo którzy wypłynęli na powierzchnię na fali nazizmu, to w przeważającej części zatwardziali cynicy, dokładnie świadomi fałszu stosowanych przez siebie metod.

Tymczasem koledzy Einsteina, tacy jak Max Planck, starali się dbać o naukę niemiecką (nieco skurczoną po wyjeździe Żydów), wszystko inne traktując jako nienależące do ich obowiązków. Tutaj widzimy Maksa Plancka na rocznicowym zebraniu Kaiser-Wilhelm Gesellschaft w 1936 roku.

planck 25 lat KWG 1936

Można powiedzieć, że bez Einsteina wszystko szło nawet lepiej: Instytut Fizyczny tego towarzystwa po Einsteinie miał nowego dyrektora Petera Debye’a, który nareszcie zdobył fundusze na wzniesienie budynku dla tej placówki – częściowo pochodziły z Ministerstwa Lotnictwa, częściowo zaś z Fundacji Rockefellera. Holender z pochodzenia, wybitny fizyk, Debye, jak się zdaje, nie był nazistą, starał się być apolityczny; nawet gdy wyjechał później do Stanów Zjednoczonych, urządził to tak, że był tylko urlopowany z Instytutu i pozostawiona w Berlinie córka pobierała jego wynagrodzenie.

Po wojnie Otto Hahn zaproponował Einsteinowi członkostwo w nowym Max-Planck-Gesellschaft, założonym po likwidacji Kaiser-Wilhelm-Gesellschaft.

„Postawa niemieckich intelektualistów – rozpatrywanych jako klasa – nie była lepsza niż motłochu” – odpisał mu Einstein, uzasadniając odmowę. Nie zezwalał też na wznowienia swoich książek w Niemczech.