Grób Archimedesa (212 p.n.e.)

Najwybitniejszy matematyk starożytności, Archimedes, w roku swej śmierci był starym, siedemdziesięciopięcioletnim człowiekiem. Nie znaczy to jednak, że przestały go obchodzić sprawy ojczystych Syrakuz. Już dwa lata oblegali je bez skutku Rzymianie, później opowiadano, że machiny wojenne pomysłu Archimedesa bardzo przyczyniły się do obrony miasta, które w końcu zostało zdobyte podstępem, a nie frontalnym atakiem. Mimo wyraźnego rozkazu konsula Marcellusa wśród zamętu plądrowania i grabieży zginął także uczony. Przedstawiano później często tę scenę chwilowego triumfu siły nad duchem, którego zabić nie sposób.

DeathMosaic

Wyglądało to zapewne tak, jak na tej mozaice. Uczony używał do kreślenia figur specjalnego drobnego piasku, zwanego pulvis – proch, trzymanego w płaskim pojemniku. Nie rysował figur na ziemi. Cyceron pisze:

Wskrzeszę z prochu i przywołam do mierniczego pręta człowieka niepozornego, pochodzącego z tego samego miasta [Syrakuz] (…) mianowicie Archimedesa. Gdy byłem kwestorem, odszukałem jego grób, którego Syrakuzańczycy nie znali i twierdzili, że w ogóle go nie ma; grób zewsząd otoczony ciernistymi krzakami i gęstwiną. Wiedziałem bowiem, że na jego nagrobku wypisanych było kilka wierszy sześciostopowych, które pamiętałem i które mówiły, iż na szczycie nagrobka znajduje się kula i walec. [przeł. J. Śmigaj]

Grobu tego dziś już nie ma. Wynikiem, z którego Archimedes był tak dumny, że kazał go umieścić na swoim nagrobku, było znalezienie objętości oraz pola powierzchni kuli. Wpiszmy kulę w walec, jak poniżej.

426px-Archimedes_sphere_and_cylinder.svg

Objętość kuli to 2/3 objętości walca. Nie jest to twierdzenie oczywiste. W jednym ze swych traktatów, Metodzie, Archimedes sformułował rozumowanie mechaniczne pozwalające obliczyć objętość kuli.

Wyobraźmy sobie, że na nieważkiej dźwigni zawieszamy z jednej strony stożek i kulę, a z drugiej walec o wskazanych wymiarach (kierunek dźwigni pokrywa się z osią walca, jest on na nią niejako „nadziany”). Wszystkie trzy bryły są wykonane z tego samego materiału. Twierdzimy, że dźwignia jest w równowadze. Kiedy to wykażemy, łatwo już będzie ustalić objętość kuli.

archimedes

Dzielimy nasze bryły na wąskie paski jednakowej grubości (czerwone na rysunku). Położenie każdego paska opisać można współrzędną x, która zmienia się we wszystkich trzech przypadkach od 0 do 2r. Wyróżnione paski mają wszystkie przekrój kołowy o promieniach odpowiednio x (stożek), y (kula) oraz 2r (walec). Ich pola powierzchni są proporcjonalne do kwadratu promienia. Do równowagi na dźwigni potrzeba, aby iloczyny objętości paska i poziomej odległości od punktu podparcia dźwigni były jednakowe z obu stron. Ponieważ grubości wszystkich trzech pasków są takie same, więc możemy je zastąpić polami powierzchni, a te kwadratami promieni. Czerwone paski po obu stronach będą w równowadze, jeśli zachodzi równość

(x^2+y^2)2r=(2r)^2 x.

Wartość y^2 znajdujemy z twierdzenia Pitagorasa:

y^2=r^2-(r-x)^2=-x^2+2rx.

Podstawiając tę wartość do pierwszej równości, otrzymujemy tożsamość. A zatem czerwone paski się równoważą i w konsekwencji, złożone z nich bryły także będą w równowadze. Możemy teraz spojrzeć na równowagę całych brył. Stożek ma objętość \frac{1}{3}\pi (2r)^2 2r=\frac{8}{3}\pi r^3. Kula ma szukaną objętość V, walec po prawej stronie ma objętość \pi(2r)^2 2r=8\pi r^3. Stożek i kula mają środki masy w odległości 2r od punktu podparcia dźwigni, środek masy walca znajduje się w połowie jego osi, w odległości r od punktu podparcia. Mamy więc równość

(\frac{8}{3}\pi r^3+V)2r=8\pi r^3\cdot r,

skąd natychmiast znajdujemy objętość kuli V.

Archimedes wiedział także, że pole powierzchni kuli to 2/3 pola powierzchni opisanego na niej walca. Metoda zastosowana powyżej nie była przez niego uważana za ścisłą, lecz za sposób uzyskiwania wyników, które później można udowodnić bardziej precyzyjnie. Bardzo podobną metodę stosował znacznie później, bo już w XVII wieku, włoski matematyk, członek zakonu jezuatów, Bonaventura Cavalieri. Od wyników Archimedesa jest już tylko krok do rachunku całkowego, lecz zrobienie go zajęło ludzkości ponad 1800 lat. Isaac Newton, który pierwszy odkrył rachunek różniczkowy i całkowy, tak wysoko cenił geometrię Greków, że starał się swoje własne odkrycia sformułować na nowo w języku, który byłby zrozumiały dla Archimedesa. Można to uznać za swoisty hołd dla greckiej matematyki, tym cenniejszy, że Newton ze wszystkich ludzi był może najmniej skłonny do pochwał cudzych prac, niemal zawsze wynajdując w nich jakieś słabe strony.

3 myśli nt. „Grób Archimedesa (212 p.n.e.)

    • Pierwszy był Newton, wiele lat później był Leibniz, jeszcze trochę później Leibniz opublikował, po czym Newton uznał, że skoro ktoś ma wyniki podobne do jego własnych, to musi być oszustem, a Royal Society mu tę tezę podżyrowało. Ale Newton był pierwszy. Zresztą Leibniz, choć wybitny, był o o ligę niżej od Newtona (żaden wstyd, bo Einstein też był niżej, może o pół ligi…)

      Lubię

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s