Grób Archimedesa (212 p.n.e.)

Najwybitniejszy matematyk starożytności, Archimedes, w roku swej śmierci był starym, siedemdziesięciopięcioletnim człowiekiem. Nie znaczy to jednak, że przestały go obchodzić sprawy ojczystych Syrakuz. Już dwa lata oblegali je bez skutku Rzymianie, później opowiadano, że machiny wojenne pomysłu Archimedesa bardzo przyczyniły się do obrony miasta, które w końcu zostało zdobyte podstępem, a nie frontalnym atakiem. Mimo wyraźnego rozkazu konsula Marcellusa wśród zamętu plądrowania i grabieży zginął także uczony. Przedstawiano później często tę scenę chwilowego triumfu siły nad duchem, którego zabić nie sposób.

DeathMosaic

Wyglądało to zapewne tak, jak na tej mozaice. Uczony używał do kreślenia figur specjalnego drobnego piasku, zwanego pulvis – proch, trzymanego w płaskim pojemniku. Nie rysował figur na ziemi. Cyceron pisze:

Wskrzeszę z prochu i przywołam do mierniczego pręta człowieka niepozornego, pochodzącego z tego samego miasta [Syrakuz] (…) mianowicie Archimedesa. Gdy byłem kwestorem, odszukałem jego grób, którego Syrakuzańczycy nie znali i twierdzili, że w ogóle go nie ma; grób zewsząd otoczony ciernistymi krzakami i gęstwiną. Wiedziałem bowiem, że na jego nagrobku wypisanych było kilka wierszy sześciostopowych, które pamiętałem i które mówiły, iż na szczycie nagrobka znajduje się kula i walec. [przeł. J. Śmigaj]

Grobu tego dziś już nie ma. Wynikiem, z którego Archimedes był tak dumny, że kazał go umieścić na swoim nagrobku, było znalezienie objętości oraz pola powierzchni kuli. Wpiszmy kulę w walec, jak poniżej.

426px-Archimedes_sphere_and_cylinder.svg

Objętość kuli to 2/3 objętości walca. Nie jest to twierdzenie oczywiste. W jednym ze swych traktatów, Metodzie, Archimedes sformułował rozumowanie mechaniczne pozwalające obliczyć objętość kuli.

Wyobraźmy sobie, że na nieważkiej dźwigni zawieszamy z jednej strony stożek i kulę, a z drugiej walec o wskazanych wymiarach (kierunek dźwigni pokrywa się z osią walca, jest on na nią niejako „nadziany”). Wszystkie trzy bryły są wykonane z tego samego materiału. Twierdzimy, że dźwignia jest w równowadze. Kiedy to wykażemy, łatwo już będzie ustalić objętość kuli.

archimedes

Dzielimy nasze bryły na wąskie paski jednakowej grubości (czerwone na rysunku). Położenie każdego paska opisać można współrzędną x, która zmienia się we wszystkich trzech przypadkach od 0 do 2r. Wyróżnione paski mają wszystkie przekrój kołowy o promieniach odpowiednio x (stożek), y (kula) oraz 2r (walec). Ich pola powierzchni są proporcjonalne do kwadratu promienia. Do równowagi na dźwigni potrzeba, aby iloczyny objętości paska i poziomej odległości od punktu podparcia dźwigni były jednakowe z obu stron. Ponieważ grubości wszystkich trzech pasków są takie same, więc możemy je zastąpić polami powierzchni, a te kwadratami promieni. Czerwone paski po obu stronach będą w równowadze, jeśli zachodzi równość

(x^2+y^2)2r=(2r)^2 x.

Wartość y^2 znajdujemy z twierdzenia Pitagorasa:

y^2=r^2-(r-x)^2=-x^2+2rx.

Podstawiając tę wartość do pierwszej równości, otrzymujemy tożsamość. A zatem czerwone paski się równoważą i w konsekwencji, złożone z nich bryły także będą w równowadze. Możemy teraz spojrzeć na równowagę całych brył. Stożek ma objętość \frac{1}{3}\pi (2r)^2 2r=\frac{8}{3}\pi r^3. Kula ma szukaną objętość V, walec po prawej stronie ma objętość \pi(2r)^2 2r=8\pi r^3. Stożek i kula mają środki masy w odległości 2r od punktu podparcia dźwigni, środek masy walca znajduje się w połowie jego osi, w odległości r od punktu podparcia. Mamy więc równość

(\frac{8}{3}\pi r^3+V)2r=8\pi r^3\cdot r,

skąd natychmiast znajdujemy objętość kuli V.

Archimedes wiedział także, że pole powierzchni kuli to 2/3 pola powierzchni opisanego na niej walca. Metoda zastosowana powyżej nie była przez niego uważana za ścisłą, lecz za sposób uzyskiwania wyników, które później można udowodnić bardziej precyzyjnie. Bardzo podobną metodę stosował znacznie później, bo już w XVII wieku, włoski matematyk, członek zakonu jezuatów, Bonaventura Cavalieri. Od wyników Archimedesa jest już tylko krok do rachunku całkowego, lecz zrobienie go zajęło ludzkości ponad 1800 lat. Isaac Newton, który pierwszy odkrył rachunek różniczkowy i całkowy, tak wysoko cenił geometrię Greków, że starał się swoje własne odkrycia sformułować na nowo w języku, który byłby zrozumiały dla Archimedesa. Można to uznać za swoisty hołd dla greckiej matematyki, tym cenniejszy, że Newton ze wszystkich ludzi był może najmniej skłonny do pochwał cudzych prac, niemal zawsze wynajdując w nich jakieś słabe strony.

Co to znaczy być wielkim człowiekiem? Przypadek Alberta Einsteina

John G. Kemeny, matematyk, późniejszy współtwórca języka BASIC, był przez rok asystentem Einsteina. Miał 22 lata, kończył właśnie doktorat z podstaw matematyki u Alonzo Churcha w Princeton, i zgłosił się do Einsteina, zapewne wcześniej ktoś go polecił jako zdolnego młodego człowieka. Einstein kazał sobie ze szczegółami opowiedzieć, czego dotyczyła praca Kemeny’ego. Młody człowiek protestował, że nie chce zawracać mu głowy, ale Einstein nalegał. Przez pół godziny rozmawiali o pracy Kemeny’ego, po czym Einstein rzekł: „To teraz ja panu opowiem o mojej pracy”. I tak się zaczęła ich współpraca. Scena ta jest wielce charakterystyczna dla Einsteina, który zawsze wszystkich traktował jednakowo, lekce sobie ważąc atrybuty społecznego prestiżu: stanowiska, urzędy, bogactwo, specjalne stroje, uroczyste ceremonie. Kiedy dziennikarze nie dawali mu spokoju z okazji którychś urodzin, stwierdził, że takie uroczystości są dla dzieci.

Był niezwykle sławny, żaden uczony przed nim nie był postacią tak bardzo rozpoznawalną. Oczywiście, duży udział miały w tym media, które w tym okresie zaczęły posługiwać się obrazem. Dziennikarze robili sensację z tego, że ukończył nową pracę, jak i z tego, że nie nosi skarpetek. Skąd jednak brała się niezmienna i autentyczna fascynacja szerokiej publiczności jego osobą? Większość czytelników prasy niewiele przecież rozumiała z naukowych osiągnięć Einsteina. Wiadomo było tylko, że dotyczą spraw fundamentalnych: pojmowania przestrzeni, czasu, rozchodzenia się światła, wszechświata jako całości. Jego odkrycia sięgały naszych elementarnych pojęć, wydawały się paradoksalne: czas może inaczej płynąć dla różnych obserwatorów, przestrzeń może być nieograniczona, lecz skończona, a każde dwie linie proste gdzieś się przecinają, światło jest przyciągane przez Słońce. Niewątpliwie pobudzało to wyobraźnię, zmieniało sposób widzenia świata, nawet jeśli się nie było naukowcem.

Jednak publiczny wizerunek Einsteina nie ograniczał się do nauki. Był jeszcze Einstein – persona publiczna, człowiek prosty w obejściu, bezpośredni, obdarzony poczuciem humoru, ciepły. Zabierał głos w sprawach, które wydawały mu się ważne: sprzeciwiał się bezmyślnemu hurrapatriotyzmowi niemieckiemu podczas I wojny światowej, po wojnie zabiegał o to, by jego rodaków nie traktować z niewspółmierną surowością. Gdy z Europy wschodniej, w tym z Polski, napływać zaczęli żydowscy uchodźcy, Einstein domagał się dobrego ich traktowania. Prowadził nawet osobny wykład, na który owi Ostjuden mogli uczęszczać, uniwersytet bowiem stawiał przeszkody formalne. Ze wschodniej Europy wywodziło się zresztą świetne grono żydowskich matematyków i fizyków, którzy w większości trafili później do Stanów Zjednoczonych. Einstein dopiero w okresie po I wojnie zaczął się zastanawiać nad swoją żydowską tożsamością, zaczął popierać syjonistów, raczej przez rozum, nigdy nie podzielał bowiem ich religijnego entuzjazmu. Był pacyfistą, dopóki Hitler nie doszedł do władzy i nie zmusił go do rewizji poglądów. Był socjalistą, niepraktykującym w żadnej partii, lecz wierzącym, że społeczeństwa powinny być zorganizowane na zasadach równości i bardziej sprawiedliwego podziału dóbr. W czasach nazizmu jako jeden z pierwszych nie miał złudzeń co do charakteru tego, co nastąpi. Wywoływał u hitlerowców furię, ponieważ jego głos był słyszalny na całym świecie. Pomagał uchodźcom z Niemiec i z Włoch, wystawiał niezliczone opinie i zaświadczenia o pomocy materialnej – niezbędne, aby dostać się do Stanów Zjednoczonych. Także w Stanach Zjednoczonych został zaangażowanym obywatelem, wypowiadającym się na ważne tematy. Charakterystyczny dla jego postawy publicznej był brak interesowności: nie kandydował do niczego ani nie kierowały nim inne motywy niż głębokie wewnętrzne przekonanie. Sądził, że sława naukowa zobowiązuje go do służenia swoim czasem i nazwiskiem (a często także pieniędzmi) wtedy, gdy można komuś pomóc albo gdy jego głos może wpłynąć na postawę innych. Odpisywał na wszystkie listy, które wydawały mu się istotne, zachowywał się tak samo wobec dzieci, jak i prezydentów. Przyjaźnił się z belgijską królową, małego sąsiada w Princeton nauczył jeździć na rowerze. Kolega uczonego z Instytutu Badań Zaawansowanych, Erich Kahler, pisarz i historyk idei, opowiadał, że kiedyś taksówkarz w Nowym Jorku powiedział mu, że sama świadomość, iż na świecie żyje Albert Einstein, sprawia, że czuje się mniej samotny.

Związek między działalnością publiczną a naukową nie był u Einsteina przypadkowy. W jego pojęciu wybitny uczony powinien być zarazem dobrym człowiekiem. Zachwycał się młodym Nielsem Bohrem, kiedy go poznał osobiście: że taki wybitny naukowo i że jest szlachetnym człowiekiem. Bolało go, gdy działo się inaczej, nieważne czy teraz, czy kiedyś. Niedługo przed śmiercią zwierzał się, że bolała go małostkowość Galileusza, który ignorował i lekceważył osiągnięcia Keplera.

Max_Liebermann_Portrait_Albert_Einstein_1925

Rysunek Maksa Liebermanna. „Obraz bardziej przypominał jego niż mnie, co mu zresztą wyszło na dobre”.

Był uczonym, który zawsze czuł pewne wyrzuty sumienia na myśl, że zajmuje się sprawami tak abstrakcyjnymi i odległymi od codzienności. Często mawiał, że nauką najlepiej zajmować się po godzinach pracy – człowiek zachowuje wówczas całe prawo do błędów i nie czuje presji uzyskiwania ciągle oryginalnych wyników. Dla niego praca naukowa była mierzeniem się z problemami zasadniczymi, przedsięwzięciem obarczonym ogromnym ryzykiem niepowodzenia. Inna działalność go po prostu nie interesowała.

Nadużywa się słowa geniusz w odniesieniu do Einsteina. Nie był on jakimś nadczłowiekiem, supermózgiem przerastającym nawet najwybitniejszych swoich kolegów o klasę. Z pewnością Wolfgang Pauli albo Paul M. Dirac nie byli gorzej wyposażeni umysłowo. Jednak pod względem osiągnięć Einstein ustępuje może tylko Isaakowi Newtonowi. Lew Landau miał ranking fizyków w skali logarytmicznej (każde przesunięcie o jednostkę oznaczało wielokrotny spadek możliwości intelektualnych). Newton miał 0; Einstein 0,5; Dirac, Heisenberg i Bohr: 1 (sobie Landau przyznawał 2 – a był wybitny nawet jak na noblistę). Oczywiście, to tylko rodzaj zabawy. Liczą się najróżniejsze cechy jakościowe umysłu, a nie jakaś abstrakcyjna sprawność.

Siłą Einsteina i jego obsesją była jedność fizyki, poszukiwanie coraz ogólniejszych zasad, wyszukiwanie sprzeczności między różnymi teoriami. To on pierwszy postawił na porządku dziennym kwestię istnienia jednej wszechobejmującej teorii fizycznej, teorii wszystkiego, jak się to później utarło nazywać. Sam Einstein pisał o tym kiedyś do swego przyjaciela Paula Ehrenfesta, starając się go pocieszyć, gdyż Ehrenfest był nadmiernie krytyczny wobec swoich możliwości naukowych (co zapewne było jedną z przyczyn jego samobójstwa). „Istnieją tacy, którzy mają dobrego nosa do zasad podstawowych [Prinzipienfuchser] i wirtuozi (…) – pisał – wszyscy trzej [razem z Bohrem – J.K.] należymy do tego pierwszego rodzaju i nie mamy (a na pewno my dwaj) talentu wirtuoza. (…) Efekt spotkania z wybitnym wirtuozem (Born albo Debye): zniechęcenie. Działa to zresztą podobnie w drugą stronę”. Rzeczywiście Einstein i Ehrenfest (a także Bohr) rzadko prowadzili długie obliczenia, a jeśli już to robili, to często się mylili. Ich przewaga była w tym, że z góry potrafili sobie wyobrazić, jaki powinien być wynik, byli intuicjonistami. O pracy Bohra na temat linii widmowych Einstein wypowiedział się, że to „najwyższy stopień muzykalności w dziedzinie myśli” [przeł. J. Bieroń]. Einstein całkiem świadomie nie interesował się szczegółowym opracowaniem pewnych idei, nawet gdy pochodziły od niego. Stwierdził np., że ciepło właściwe w bardzo uproszczonym modelu kryształu powinno spadać wraz z temperaturą. I to mu wystarczyło. Zbadanie bardziej rozbudowanych modeli, lepiej odpowiadających obserwacjom, zostawił kolegom Peterowi Debye’owi i Maksowi Bornowi. Einsteina interesowało kwantowanie, a nie szczegółowe zachowanie różnych kryształów. Jego praca od lat dwudziestych wyglądała najczęściej tak, że miał jakiegoś kompetentnego matematyka do pomocy. Byli to zwykle ludzie po doktoratach, czasem niedługo przed profesurą. Oni wykonywali większość obliczeń, Einstein decydował, co robić dalej. Mówi się czasem, że byli to asystenci Einsteina – bardzo buntował się przeciw takiemu określeniu Leopold Infeld. Z pewnością w wielu przypadkach ich wkład był poważny, ale niemal zawsze były to prace Einstein+X, gdzie X nie był uczonym klasy powiedzmy Landaua (jedynym wyjątkiem była krótka praca z Paulim). Nastawienie na podstawowe zasady towarzyszyło Einsteinowi od samego początku, rzadko też korzystał z wyników eksperymentalnych: albo były one stare i znane (jak ciepło właściwe diamentu albo obrót peryhelium Merkurego), albo ich jeszcze wcale nie było.

Einstein nie był też rasowym matematykiem (w odróżnieniu od Isaaka Newtona czy Edwarda Wittena). Teorie matematyczne interesowały go tylko o tyle, o ile mogły mu się przydać. Ponieważ jednak nie miał czysto matematycznej wyobraźni, więc jego prace w drugiej połowie życia w pewnym sensie nie mogły się udać. Stracił bowiem intuicyjne oparcie w fizyce, a zajął się teoriami, których zasada konstrukcyjna była czysto matematyczna, formalna. Wyszła z tego fizyka matematyczna – czyli coś w rodzaju świnki morskiej (ani świnka, ani morska). Oczywiście, wyostrzam sytuację, te nieudane prace Einsteina wystarczyłyby komu innemu na całkiem przyzwoitą karierę. Są one nieudane jedynie w tym sensie, że nie będziemy się o nich uczyć w podręcznikach.

Einstein w „Scientific American“ (1950)

Einstein był pierwszym uczonym, który doświadczył siły mediów, za jego czasów były to głównie gazety i radio, choć występował też trochę w telewizji pod koniec życia. Ponieważ był sławny, kilkakrotnie o jego nowych pracach pisała światowa praca, np. „New York Times“. Dziennikarze wietrzyli sensację i opatrywali swe doniesienia nagłówkami w rodzaju: Einstein na progu nowego odkrycia, albo: Einstein atakuje teorię kwantową.

EPR_NYT_05-04-1935

W pierwszym przypadku, w roku 1929, Pruska Akademia Nauk musiała zrobić dodruk artykułu Einsteina, zamiast zwykłych kilkuset egzemplarzy, rozeszło się 4000, a angielski dom towarowy Selfridges umieścił sześć stron pracy w oknie wystawowym. W drugim przypadku, winę ponosił jego współpracownik, Boris Podolsky, któremu Einstein nie omieszkał zmyć głowy.

W odróżnieniu od swoich następców trzymał się jednak zasady, aby nie ogłaszać prac za pomocą gazet. Dziś komunikaty medialne zastępują czasem same prace, jak stało się z wystąpieniem Stephena Hawkinga parę tygodni temu. Hawking ogłosił, że rozwiązał problem, który trapił go od czterdziestu lat: co się dzieje z informacją połykaną przez czarną dziurę. Zaproszeni dziennikarze już czekali, media na świecie obiegła wiadomość, że oto genialny fizyk rozwiązał jeden z najważniejszych problemów. Naprawdę jednak współpracownicy Hawkinga, Malcolm Perry i Andrew Strominger, nie sądzą, jak się wydaje, aby problem był już rozwiązany, a praca, o której mowa, jest na razie niekwantowa i dopiero się pisze. Fizycy niezwiązani z tą pracą raczej nie widzą żadnego przełomu i zapewne go nie będzie. Hawking podtrzyma wizerunek wizjonera-geniusza, za jakiś czas wszyscy zapomną.

Inną stosowaną dziś szeroko praktyką jest popularyzowanie bardzo spekulatywnych teoriach, niemających cienia potwierdzenia, w taki sposób, jakby wszystko zostało już przesądzone. Wprowadza to w błąd niespecjalistów. Człowiek mógłby pomyśleć, że np. wieloświat albo jedenastowymiarowa czasoprzestrzeń teorii strun to naukowy fakt. Skrajnym przykładem takiego postępowania był artykuł w „Świecie nauki“ w roku 2004 o krajobrazie teorii strun. Autorzy, bardzo wybitni uczeni zresztą, piszą tam:

W krajobrazie stworzonym przez teorię strun jest miejsce na niezliczone wszechświaty. Każda z niemal nieskończenie wielu (być może nawet 10^{500}) składających się nań dolin odpowiada pewnemu zestawowi praw obowiązujących w wielkim bąblu przestrzeni.

Dopiero pod koniec znajdziemy tam słowa:

Z obrazem, który przedstawiliśmy wiąże się wiele wątpliwości. Przede wszystkim nie udało się jeszcze sformułować precyzyjnie teorii strun.

Dodać możemy, że po 11 latach sytuacja wcale się nie poprawiła. Nadal są to czyste spekulacje, może ciekawe, lecz wciąż oczekujące na jakikolwiek ślad zgodności z doświadczeniem.

Znajdując się w podobnej sytuacji, Einstein, bądź co bądź praojciec spekulatywnych teorii, napisał w roku 1950 w „Scientific American“:

Co do mojej ostatniej pracy teoretycznej, to nie sądzę, by usprawiedliwione było szczegółowe jej przedstawianie wobec szerokiego kręgu czytelników zainteresowanych nauką. Powinno się to robić jedynie w przypadku teorii, które zostały dostatecznie potwierdzone przez doświadczenie.

Warto może przytoczyć fragment owego artykułu:

Co zatem popycha nas do wymyślania teorii za teorią? Czemu w ogóle wymyślamy teorie? Odpowiedź na to drugie pytanie jest prosta: ponieważ sprawia nam przyjemność „rozumienie”, tzn. sprowadzanie zjawisk za pomocą operacji logicznych do czegoś już znanego bądź (pozornie) oczywistego. Nowe teorie konieczne są w pierwszym rzędzie wówczas, gdy napotykamy fakty, które nie mogą zostać „wyjaśnione” przez teorie dotychczasowe. Jest także drugi, bardziej subtelny, choć nie mniej ważny powód. Jest nim dążenie do unifikacji i uproszczenia założeń teorii jako całości (np. Macha zasada ekonomii, rozumiana jako zasada logiczna).

Istnieje pasja rozumienia, tak jak istnieje pasja do muzyki. Pasja ta jest raczej zwykła u dzieci, lecz u większości ludzi zanika z wiekiem. Bez tej pasji nie byłoby matematyki ani nauk przyrodniczych. Co jakiś czas na nowo pasja rozumienia doprowadzała do iluzji, iż człowiek zdolny jest zrozumieć świat obiektywny w sposób racjonalny, za pomocą czystej myśli, bez podstaw empirycznych – krótko mówiąc: dzięki metafizyce. Wierzę, że każdy prawdziwy teoretyk jest czymś w rodzaju poskromionego metafizyka, bez względu na to jak bardzo sam się uważa za umysł czysty lub „pozytywistyczny”. Metafizyk wierzy, iż to, co jest logicznie proste, jest także rzeczywiste. Poskromiony metafizyk wierzy, że choć nie wszystko, co jest logicznie proste, zostało wcielone w doświadczaną przez nas rzeczywistość, to jednak całość zmysłowego doświadczenia może zostać „zrozumiana” za pomocą systemu pojęciowego zbudowanego na założeniach o wielkiej prostocie. Sceptyk powie, że jest to „wiara w cuda”. Niewątpliwie tak, lecz taka wiara w cuda została w zdumiewającym stopniu potwierdzona rozwojem nauki.

Dobrym przykładem jest rozwój atomizmu. W jaki sposób Leukippos powziął tak śmiałą ideę? Gdy woda zamarza staje się lodem – czymś pozornie całkiem odmiennym od wody – czemu więc stopienie się lodu tworzy coś, co wydaje się nieodróżnialne od wody na początku? Leukippos jest zaintrygowany i szuka „wyjaśnienia”. Dochodzi do wniosku, że w tych przemianach „istota” bytu wcale się nie zmieniła. Może byt składa się z niezmiennych cząstek i zmiana sprowadza się tylko do zmiany ich przestrzennego rozmieszczenia. Czy to samo nie może być prawdą w odniesieniu do wszystkich przedmiotów materialnych, które przejawiają wciąż od nowa niemal identyczne własności?

Idea ta nie została zupełnie zapomniana podczas długiej hibernacji myśli zachodniej. Dwa tysiące lat po Leukipposie [Daniel] Bernoulli zastanawia się, czemu gaz wywiera ciśnienie na ścianki naczynia. Czy należy to „wyjaśnić” wzajemnym odpychaniem cząstek gazu w sensie mechaniki Newtonowskiej? Hipoteza taka wydaje się absurdem, ponieważ ciśnienie gazu zależy od temperatury, jeśli wszystkie pozostałe warunki pozostaną niezmienione. Założenie, że Newtonowskie siły oddziaływań zależą od temperatury, sprzeczne jest z duchem mechaniki Newtona. Ponieważ Bernoulli zna koncepcję atomistyczną, więc musi dojść do wniosku, że atomy (albo cząsteczki) zderzają się ze ściankami i w ten sposób wywierają ciśnienie. Wystarczy więc tylko przyjąć, że atomy są w ruchu; jak inaczej uwzględnić zmiany temperatury? (…)

Przykład ten zilustrować ma dwie rzeczy. Idea teoretyczna (jak w tym przypadku atomizm) nie powstaje oddzielnie i niezależnie od doświadczenia; nie może też być z doświadczenia wywiedziona za pomocą procedury czysto logicznej. Powstaje dzięki aktowi twórczemu. Kiedy już mamy tego rodzaju ideę, postąpimy słusznie, trzymając się jej, póki nie prowadzi nas do wniosków, których nie daje się utrzymać.

Einstein omawia swoją motywację do zbudowania jednolitej teorii pola, mówi trochę o jej ostatniej wersji, zauważając:

Sceptyk powie: „Może to nawet i prawda, że ten układ równań jest rozsądny z punktu widzenia logiki. Lecz nie dowodzi to, iż opisuje przyrodę”. Masz rację, drogi sceptyku. Tylko doświadczenie może przesądzić o prawdziwości. Coś jednak osiągnęliśmy, jeśli udało nam się sformułować sensowne i precyzyjne pytanie.

Zanim zaśniesz, pomyśl, jak wiele zawdzięczasz Ptolemeuszowi

Każdy z nas, żyjących, jest dzieckiem szczęścia: nasze drzewo genealogiczne nie miało żadnych luk – inaczej nie przyszlibyśmy na świat. Odziedziczyliśmy jednak znacznie więcej niż geny: stoi za nami cała cywilizacja, korzystamy z dorobku pokoleń ludzi przemyślnych, inteligentnych, czasami genialnych. Od teorii promieniowania Einsteina przez pierwsze lasery w latach sześćdziesiątych dwudziestego wieku aż do odtwarzaczy Blue-ray i skanerów kodów paskowych w sklepie czy w bibliotece prowadzi droga długa, lecz możliwa do prześledzenia. Na szczęście nie musimy sami tej drogi powtarzać, korzystamy z gotowych wytworów, sprawdzonych technologii, podręczników udostępniających wiedzę kolejnym pokoleniom. Podobnie jest z tysiącem innych przedmiotów, wynalazków, odkryć. Cóż bardziej naturalnego?

Jeśli cofniemy się w czasie dostatecznie daleko, postęp wiedzy przestaje być w jakimś momencie oczywisty. Nasza cywilizacja naukowo-techniczna zaczęła się w XVII wieku na zachodzie Europy i stopniowo rozprzestrzeniła (w różnym stopniu) na resztę świata. Poprzednie wieki przynosiły bardzo powolny postęp, jeśli w ogóle go przynosiły. Kiedy upadło imperium rzymskie, przez całe wieki działo się w chrześcijańskiej części Europy bardzo niewiele dobrego. Cesarz Karol I nie potrafił nawet pisać i choć na starość mozolnie ćwiczył na woskowych tabliczkach, nie udało mu się jednak tej sztuki opanować. Przez wieki odsetek ludzi potrafiących pisać był znikomy, a przecież od czytania i pisania do twórczego uprawiania nauki jest jeszcze parę szczebli do pokonania. Dopiero po długiej, mniej więcej tysiącletniej przerwie Europa przyswoiła sobie dorobek nauki greckiej. Kopernik przy całej swej oryginalności był zaledwie uczniem Ptolemeusza i jego islamskich kontynuatorów.

Jednym z najważniejszych wątków w historii nauki była teoria ruchów planet, dziedzina na pozór mało praktyczna i odległa od zastosowań. Kto wie jednak, czy to nie teoria astronomiczna Ptolemeusza przesądziła o sukcesie zachodnioeuropejskiej nauki. Bez Ptolemeusza nie byłoby Kopernika, bez Kopernika trudno wyobrazić sobie Newtona, a bez Newtona całej reszty. To oczywiście tylko skrót rozumowania, ale można by je rozbudować. Zagadnienie ruchów planet wymagało dokładnych obserwacji i najlepszych dostępnych technik matematycznych od trygonometrii aż do analizy matematycznej i teorii równań różniczkowych.

Derek J. de Solla Price, amerykański historyk nauki, uważał, iż to właśnie astronomia Klaudiusza Ptolemeusza sprawiła, że nauka rozwinęła się w Europie, a nie np. w Chinach czy wśród Majów:

Można więc zaryzykować twierdzenie, że ta zwarta teoria stanowi intelektualne plateau naszej kultury – wysokie plateau, występujące wyłącznie u nas. We wszystkich dziedzinach nauki wszystkich innych kultur nie ma niczego, co mogłoby zaćmić tę wczesną, a tak wyrafinowaną i zaawansowaną próbę czysto matematycznego wyjaśnienia przyrody. Gdybyśmy mieli wskazać na jakiś cud w naszej historii intelektualnej, to nie wiadomo, czy nie tu właśnie należałoby szukać źródła naszej nowożytnej nauki. [Węzłowe problemy historii nauki, przeł. H. Krahelska, s. 15]

Dzieło Ptolemeusza, znane jako Almagest, było w istocie podsumowaniem długiej tradycji. Tak samo zresztą jak Elementy Euklidesa – druga najważniejsza książka naukowa Greków. Teksty się wówczas przepisywało, siłą rzeczy zostawały więc te najlepsze, przekazujące najbardziej uporządkowaną wiedzę, nikomu by się nie chciało opłacać kopisty dla powielenia rzeczy miernych. Almagest zawiera opis ruchu planet: możemy obliczyć za jego pomocą, gdzie danego dnia o danej godzinie będą się znajdować która planeta. I wynik będzie całkiem dokładny, jak na obserwacje przeprowadzane gołym okiem. Jest to więc kompletna szczegółowa teoria ruchów ciał niebieskich. Dzisiejsi inżynierowie, którzy modelują matematycznie np. przepływy powietrza wokół skrzydeł samolotu, kontynuują tę tradycję. Wiemy teraz, że za pomocą modeli matematycznych opisać można mnóstwo różnych zjawisk. Przyroda jest matematyczna, ale także i ekonomia czy nauki społeczne korzystają z matematyki.

Były dwie tradycje astronomiczne w tej części świata: babilońska i grecka. Klaudiusz Ptolemeusz opisał, ale także i rozwinął tradycję grecką. Babilończycy posługiwali się ciągami liczb, byli rachmistrzami. Ich astronomia była całkiem precyzyjna, ale przypominała długi wydruk wyników jakiegoś programu komputerowego bez użycia grafiki. Babilończycy obliczyli np. bardzo dokładnie wartość \sqrt{2}, ale to Grecy udowodnili, iż jest to liczba niewymierna. Dla nich był to stosunek długości przekątnej kwadratu do jego boku. Także ruch planet Grecy opisali w sposób geometryczny. Podstawą był ruch po okręgu. Wyobrażano sobie np., że roczny ruch Słońca zachodzi po okręgu. Hipparch zmierzył jednak długości astronomicznych pór roku: żadna z nich nie trwała równe ćwierć roku. Poradził sobie z tym w taki sposób, że uznał, iż Słońce porusza się wprawdzie po okręgu ruchem jednostajnym, ale Ziemia położona jest w pewnej odległości od środka okręgu. Znalazł odpowiednie parametry, żeby wszystko się zgadzało. Jego model zastosował potem niemal bez zmian Mikołaj Kopernik: zamienił tylko miejscami Ziemię i Słońce.

hipparch

Zobaczmy np., jak Ptolemeusz opisywał ruch planety takiej, jak Mars (analogiczne modele działają dla pozostałych dwóch planet górnych: Saturna i Jowisza). Mars zazwyczaj porusza się względem gwiazd z zachodu na wschód, ale od czasu do czasu, wtedy, gdy jest najjaśniejszy zmienia kierunek ruchu. Wygląda to tak.

marsretro

Jasne jest, że tutaj nie wystarczy taki prosty model jak w przypadku Słońca. Spójrzmy na to najpierw z perspektywy heliocentrycznej, do której jesteśmy przyzwyczajeni. (Pomijamy dalej fakt, że płaszczyzny orbit Ziemi i Marsa są lekko nachylone, nie popełniamy dużego błędu, płaszczyzny te przecinają się pod kątem mniejszym niż 2^{\circ}, Ptolemeusz miał osobną teorię dla opisania tego tzw. ruchu w szerokości.) Mamy dwa wektory opisujące ruch Marsa \vec{r}_M i Ziemi \vec{r}_Z. Końce obu tych wektorów zakreślają elipsy, ale są one w praktyce bardzo bliskie okręgom. To, co obserwujemy, to kierunek od Ziemi do Marsa (starożytni astronomowie niewiele wiedzieli o odległościach). Możemy zapisać wektor od Ziemi do Marsa jako różnicę:

\vec{R}=\vec{r}_M-\vec{r}_Z=\vec{r}_M+(-\vec{r}_Z)

ptolemeusz

Druga równość zilustrowana jest na rysunku z prawej strony. To jest właśnie model Ptolemeusza. Widać, że jeśli okręgi stanowią dobre przybliżenie orbit, model taki będzie działać. Duży okrąg nazwano później deferentem, mały – epicyklem. Z historycznego punktu widzenia największą zaletą modelu Ptolemeusza okazała się możliwość przejścia do heliocentryzmu, czyli od obrazka z prawej strony do obrazka z lewej. Gdybyśmy nie mieli geometrycznych przedstawień, byłoby to znacznie trudniejsze. Dokładnie biorąc, model Ptolemeusza zawierał jeszcze dwa szczegóły, które znacznie poprawiały zgodność z obserwacjami. Ziemia była nieco odsunięta od środka deferentu – inaczej mówiąc, Słońce było odsunięte od środka okręgu (orbity Marsa na lewym rysunku). Drugim szczegółem – i to jest wkład samego Ptolemeusza – jest ruch niejednostajny po deferencie. W obrazie kopernikańskim odpowiadałoby to niejednostajnemu ruchowi po orbicie, rzeczywiście planeta bliżej Słońca porusza się szybciej, to skutek zasady zachowania momentu pędu, jak podczas piruetów na lodzie: ręce wzdłuż ciała skutkują szybszym wirowaniem. Jak jednak Grek z II w.n.e., dysponując tylko prostą trygonometrią, mógł opisać taki ruch niejednostajny? Ptolemeusz przyjął, że istnieje wewnątrz deferentu pewien punkt E taki, że obserwowany z niego ruch środka epicykla jest jednostajny. Założenie to krytykowały później niezliczone pokolenia astronomów, z Kopernikiem włącznie, ale sprawdza się ono znakomicie w praktyce.

Tutaj można zobaczyć model Ptolemeuszowy dla Marsa w ruchu (warto włączyć ślad planety: Trail on, żeby zobaczyć, jak skomplikowany jest ten ruch z ziemskiego układu odniesienia, skomplikowane spirale zakreślane przez planetę nigdy się nie powtarzają)

Klaudiusz Ptolemeusz mógłby świetnie się nadawać na portret na T-shircie, nie wiemy jednak, jak wyglądał. Nie znamy nawet jego imienia: Klaudiusz Ptolemeusz to jego nomen i cognomen, czyli dwa człony nazwiska. Żył w II w. w Aleksandrii, która nieco przypominała dzisiejszy Hong Kong albo Nowy Jork: wielkie, kosmopolityczne, bogate miasto, nieszczędzące pieniędzy na naukę. Prawdopodobnie był Grekiem, obywatelem Rzymu. Swoje wcześniejsze dzieła dedykował Syrusowi, o którym wiadomo jeszcze mniej: może był to jego nauczyciel, a może kochanek.