Model Ehrenfesta: w którą stronę płynie czas?

Tylko jedno prawo fizyki odróżnia przeszłość od przyszłości: II zasada termodynamiki. Mówi ona z grubsza tyle, że temperatury z czasem się wyrównują, różnice stężeń też, a bałagan wypiera porządek. Można temu ogólnemu kierunkowi opierać się przez jakiś czas, ale trzeba z zewnątrz czerpać uporządkowanie. Np. żeby żyć, trzeba jeść, a żeby było co jeść, tzn. do wytworzenia cukrów rośliny korzystają ze źródła uporządkowanego promieniowania, jakim jest Słońce. Technicznie mówiąc, potrzeba źródła niskiej entropii. Entropia mierzy nieuporządkowanie – im jest większa, tym większy bałagan. II zasada termodynamiki mówi, że entropia rośnie (dla układu izolowanego).

Prawa mechaniki, elektrodynamiki i wszelkie inne prawa opisujące oddziaływania nie wyróżniają kierunku czasu. Gdy popatrzeć na film z kilkoma poruszającymi się i oddziałującymi cząstkami, nie można poznać, czy film puszczony jest do przodu, czy do tyłu. Chyba że film przedstawia jakieś ogromne zbiorowisko cząstek, np. jajko rozbijane na jajecznicę. Wtedy od razu poznamy, czy film puszczony został prawidłowo, czy wstecz.

Jak to się dzieje, że entropia rośnie, mimo że podstawowe prawa oddziaływania cząstek nie wyróżniają czasu? Na pytanie to odpowiedział Ludwig Boltzmann. Jego uczniem był Paul Ehrenfest, znakomity nauczyciel i przyjaciel Einsteina. Ehrenfest lubił docierać do istoty zagadnienia bez długich rachunków, miał nawet kłopot z uzyskiwaniem właściwej odpowiedzi w wyprowadzeniach podczas wykładów, zwykle gdzieś zgubił jakieś 2\pi albo znak minus. Mimo to jego studenci wspominali go jako wybitnego wykładowcę, dwóch z nich otrzymało Nagrodę Nobla, inny Casimir, też był wybitnym fizykiem.

Ehrenfest obmyślił kiedyś model pokazujący, skąd się bierze nieodwracalność czasu. Wyobraźmy sobie dwa leżące koło siebie psy: Azora i Burka. Na Azorze siedzi N pcheł, Burek jest wolny od pcheł. Co jednostkę czasu zostaje wylosowana w sposób przypadkowy jedna pchła (są one ponumerowane). Wylosowana pchła przeskakuje na drugiego psa. Jasne jest, że z czasem liczby pcheł na obu psach mniej więcej się wyrównają. Wygląda to np. tak (wzięliśmy N=50):

Obraz6

Jak można opisać dochodzenie do „równowagi” w liczbie pcheł na obu czworonogach? W każdej chwili mikrostan naszego układu złożonego z obu psów można scharakteryzować, podając, na którym psie przebywa każda z N pcheł. Mamy tu 2^N takich mikrostanów. Nie możemy w ramach naszego modelu podać żadnej bardziej szczegółowej informacji. Nawet jednak przy pięćdziesięciu pchłach jest to 2^{50}\approx 10^{15} stanów. Zbyt wiele na praktyczne potrzeby. Możemy ograniczyć się do odnotowania jedynie liczby pcheł na Azorze, jak na wykresach. Tak scharakteryzowane stany są zwykle znacznie ciekawsze, bo np. można je łatwo zmierzyć. Kiedy robimy doświadczenie na gazie w zbiorniku, nie obchodzi nas każda cząsteczka z osobna, lecz tylko pewne globalne charakterystyki, jak temperatura (w istocie jest to średnia energia owych cząsteczek, których nie widzimy i nawet nie chcemy oglądać).

Łatwo zauważyć, że w naszym modelu wszystkie mikrostany są jednakowo prawdopodobne: powstają one przez losowanie. Inaczej jest z makrostanami. Jeśli wiemy, że na Azorze siedzi N_A pcheł, to liczba mikrostanów odpowiadających tej sytuacji jest równa liczbie kombinacji:

W=\binom{N}{N_A}=\dfrac{N!}{N_A!(N-N_A)!}.

Inaczej mówiąc, jest to liczba sposobów wybrania podzbioru pcheł na Azorze ze zbioru wszystkich pcheł (pamiętamy, że są one ponumerowane i potrafimy je odróżniać). Jasne jest, że najwięcej sposobów realizacji takiego podzbioru będzie wówczas, gdy pchły rozłożą się po równo (pomijamy przypadek, gdy ich liczba jest nieparzysta i nie mogą się rozłożyć dokładnie po równo). Ale także makrostany w pobliżu tego równego podziału będą dość prawdopodobne. Można obliczyć rozkład prawdopodobieństwa po danej liczbie jednostek czasu. Wygląda on tak:

Pchly_prawdopodobienstwo

Zaczynaliśmy od wszystkich pcheł na Azorze, ale po pewnym czasie układ osiąga równowagę i najbardziej prawdopodobny jest rozkład, w którym połowa pcheł przebywa na Burku albo jakiś do niego podobny. Trzeba pamiętać, że nawet jeśli w jakiejś chwili dokładnie połowa pcheł będzie na Azorze, to stan ten nie utrzyma się na stałe, liczba pcheł będzie się zmieniać w przypadkowy sposób.

Obraz4

Jest oczywiście możliwe, że w pewnej chwili wszystkie pchły znajdą się z powrotem na Azorze, a nawet wiadomo, że tak kiedyś będzie. Nasz model nie ma wbudowanego kierunku czasu, każdy z przebiegów mógłby równie dobrze wydarzyć się w odwrotnej kolejności. Oto wielka tajemnica czasu: czas płynie tak, że zaczynając od sytuacji, gdy wszystkie pchły siedziały na Azorze, po pewnym czasie (najprawdopodobniej) zastaniemy nasz układ w jednym ze stanów bliskich „równowagi”. Czas płynie tak, aby liczba pcheł się wyrównywała. I to właściwie wszystko, co trzeba wiedzieć o II zasadzie termodynamiki. Jeśli odczekamy dostatecznie długo, to (na ogół) zastaniemy układ w jakimś stanie spośród tych najbardziej prawdopodobnych. Czas płynie w określonym kierunku nie z powodu praw fizyki, ale z tego powodu, że nasz świat zaczął się w stanie, gdy wszystkie pchły siedziały na Azorze. Zatem nie prawa fizyki, lecz warunki początkowe. Kolejne „dlaczego” w tej sprawie przenoszą nas aż do Wielkiego Wybuchu i w tym punkcie możemy odpowiedzieć: „nie wiemy”. Jak ktoś lubi wyobrażać sobie Stwórcę, może uznać, że wybrał On bardzo szczególny rodzaj wszechświata.

creator

W przestrzeni stanów równowaga termiczna zajmuje najwięcej miejsca, więc od jeśli zaczniemy od stanu dalekiego od równowagi, to w końcu na nią natrafimy.

equilibrium

(Rysunki Rogera Penrose’a)

Trzy uwagi na koniec:

1. Czemu nie obserwuje się spontanicznego powrotu wszystkich pcheł na Azora? Dlatego, że jest to jeden z 10^{15} stanów, a wszystkie są tak samo prawdopodobne. Gdy weźmiemy za N np. liczbę Avogadro, okaże się, że wieku wszechświata za mało, byśmy doczekali takiej sytuacji.

2. Entropia naszego ukladu jest równa

S=k\ln W.

Jest to najważniejsze odkrycie Boltzmanna. Wynika z niego w szczególności, że entropia nie rośnie zawsze, lecz tylko przeważnie. II zasada termodynamiki obowiązuje nadal, gdy układ jest duży.

(Stała k, zwana stałą Boltzmanna, potrzebna jest, żeby tak zdefiniowana entropia była dokładnie tym samym, czego używano przed Boltzmannem.)

3. Czemu odpowiadają pchły w „poważnej” fizyce? Można sobie wyobrażać spiny \frac{1}{2} w kontakcie z termostatem o bardzo wysokiej temperaturze, żeby zmiany entropii termostatu można było pominąć w rozważaniach.

Reklamy