Albert Einstein każe Bogu grać w kości (1916)

Słynne jest powiedzenie Einsteina, że Bóg nie gra w kości – chodziło mu o to, że prawa rządzące najmniejszymi, elementarnymi cząstkami powinny być przyczynowe. Prawami takimi są zasady dynamiki Newtona: jeśli znamy położenie i prędkość różnych ciał dziś, to w zasadzie moglibyśmy obliczyć, co się z tymi ciałami stanie w przyszłości. Pierre Simon de Laplace sformułował to następująco:

Inteligencja, która by w danej chwili znała wszystkie siły, które działają w przyrodzie, oraz wzajemne położenia bytów ją tworzących i była przy tym dostatecznie dostatecznie rozległa, by te dane poddać analizie, mogłaby w jednej formule zawrzeć ruch największych ciał wszechświata i najmniejszych atomów: nic nie byłoby dla niej niepewne i zarówno przyszłość, jak przeszłość byłyby dostępne dla jej oczu. Umysł ludzki daje słabe pojęcie owej inteligencji, której doskonałość osiągnąć potrafił jedynie w astronomii. [Théorie analytique des probabilités (1812)]

Otóż Einstein jako najwybitniejszy fizyk XIX wieku (podobnie jak Jarosław Iwaszkiewicz nazwany został, nie bez pewnej racji, najwybitniejszym polskim pisarzem dziewiętnastowiecznym) wierzył w słowa Laplace’a, technicznie rzecz ujmując, sądził, że równania różniczkowe mogą ściśle opisać rzeczywistość. Był w tym spadkobiercą Laplace’a i Jamesa Clerka Maxwella oraz całej plejady wybitnych fizyków wieku pary i elektryczności.

Jednak już sam Laplace zastanawiał się nad zdarzeniami przypadkowymi, w cytowanej książce podał klasyczną definicję prawdopodobieństwa, której każdy się uczył. Fizycy zastosowali prawdopodobieństwa do opisu obiektów zbyt złożonych, aby znać szczegóły ich ruchu, jak np. gaz doskonały. Nie musimy znać szczegółów zderzeń wszystkich cząstek w gazie, wystarczy, jeśli znamy pewne charakterystyki średnie, np. średnią energię. Metodę tę rozwinął zwłaszcza Ludwig Boltzmann, a także Josiah Willard Gibbs w Stanach Zjednoczonych oraz Albert Einstein.

W ostatnich latach wieku XIX odkryto radioaktywność niektórych pierwiastków, a Ernest Rutherford podał prawo rozpadu promieniotwórczego: liczba pozostałych jąder maleje wykładniczo z czasem t, tzn. po pewnym czasie \tau pozostaje połowa jąder, po następnym czasie \tau połowa tej połowy, czyli 1/4 itd. Wygląda to tak:

Halflife-sim

Animacja z Wikipedii, z lewej strony na początku mamy 4 atomy, z prawej 400, u góry wyświetla się liczba półokresów rozpadu.

A matematycznie można zapisać następująco:

N=N_0 2^{-\dfrac{t} {\tau} }=N_0 \exp{(-\lambda t)}.

Przez N_0 oznaczona jest początkowa liczba jąder. Ostatnia równość jest tożsamościowa: możemy po prostu zapisać naszą funkcję w obu tych postaciach, jeśli odpowiednio wybrać stałą rozpadu \lambda. Gdy przyjrzymy się przez chwilę animacji powyżej, nasuwa się pytanie: skąd dane jądro wie, kiedy ma się rozpaść? Ponieważ wszystko wskazuje, że jądra rozpadają się niezależnie od siebie, więc oznacza to, iż prawdopodobieństwo przeżycia czasu t przez dowolne jądro równe jest

p(t)=2^{-\dfrac{t}{\tau} }=\exp{(-\lambda t)}.

Jest to bardzo dziwne prawo: znaczy bowiem, że każde jądro, niezależnie od tego, jak długo już istnieje, ma ciągle takie same prawdopodobieństwo rozpadu w nadchodzącym przedziale czasu. To jak gra w ruletkę: jeśli nawet 10 razy z rzędu wypadło czerwone, to za jedenastym razem prawdopodobieństwo, że i tym razem wypadnie czerwone jest wciąż takie samo jak przedtem. Każde zakręcenie koła ruletki rozpoczyna cykl od nowa i jego wynik nie zależy od tego, co wypadło poprzednio. Prawdopodobieństwo rozpadu jądra w małym przedziale czasu (t, t+\Delta t) jest równe

p(t)-p(t+\Delta t)=\exp{(-\lambda t)}-\exp{(-\lambda (t+\Delta t))}=\\ \\p(t)(1-\exp{(-\lambda \Delta t)}\approx p(t)\lambda \Delta t.

Jest ono iloczynem prawdopodobieństwa dotrwania do chwili t i prawdopodobieństwa rozpadu w krótkim czasie \Delta t. Zatem prawdopodobieństwo rozpadu (pod warunkiem, że w chwili t że jądro nadal istnieje) jest proporcjonalne do długości przedziału \Delta t i nie zależy wcale od tego, jak długo już obserwujemy tę sytuację:

p_{rozpadu}=\lambda\Delta t.

Inaczej mówiąc, prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę czasu jest stałe i równe \lambda. Kiedy Rutherford podał prawo rozpadu promieniotwórczego, zastanawiano się nad tym, że wygląda ono tak, jakby rozpad nie miał konkretnej przyczyny. Nie potrafiono w każdym razie wskazać takiej przyczyny. Nie znaczy to bynajmniej, że rozpad danego jądra nie nastąpi. Sytuacja przypomina grę w rosyjską ruletkę: bierzemy rewolwer bębenkowy i ładujemy kulę do jednej komory, po czym kręcimy komorą, aż zatrzyma się w przypadkowym położeniu. Przykładamy sobie do głowy i naciskamy spust: albo przeżyliśmy, albo nie. Jeśli tak, to możemy ten zabieg powtarzać, aż w końcu nam się uda. Można pokazać, że przypadku rosyjskiej ruletki średnia liczba prób będzie równa 6 (jest to liczba komór w bębenku). Wcale to jednak nie znaczy, że konkretny gracz nie przetrwa np. 24 prób. Nie jest to bardzo prawdopodobne, ale jest możliwe.

I tu dochodzimy do pracy Einsteina z roku 1916. Pół roku wcześniej podał on równania teorii grawitacji, zrobił parę mniejszych prac i zajął się oddziaływaniem promieniowania z materią. Trzy lata wcześniej Niels Bohr ogłosił swój model atomu. Wynikało z niego, że każdy atom powinien mieć pewien zbiór określonych – skwantowanych – energii. Rozpatrzmy atomy pewnego rodzaju, a w nich dowolną parę stanów o dwóch różnych energiach E_1 < E_2. Jeśli nasze atomy znajdą się w zbiorniku z promieniowaniem o temperaturze T, to liczba atomów w stanie o wyższej energii będzie mniejsza niż tych w stanie o niższej energii:

\dfrac{N_2}{N_1}=\dfrac{\exp{(-\dfrac{E_2}{kT}})}{\exp{(-\dfrac{E_1}{kT}})}=\exp{(-\dfrac{E_2-E_1}{kT})}.

Stała k zwana jest stałą Boltzmanna, a sam rozkład liczby atomów od energii także nazywany jest rozkładem Boltzmanna. Co oznacza taka równowaga cieplna? Ano tyle, że czasem nasz atom w stanie E_1 pochłonie promieniowanie i przejdzie do stanu E_2, a czasem na odwrót (wtedy energia zostanie oddana w postaci promieniowania). W równowadze oba procesy powinny zachodzić z taką samą szybkością.

emisja

Einstein założył – i to jest punkt zasadniczy – że możliwe są procesy jak na rysunku: dwa pierwsze oznaczają przejścia między poziomami wymuszone promieniowaniem – tzw. absorpcję i emisję wymuszoną. Prawdopodobieństwa tych procesów na jednostkę czasu będą równe iloczynowi odpowiedniej stałej B oraz gęstości energii promieniowania u(\nu). Mamy tu jeszcze jeden proces: emisję spontaniczną. Jej prawdopodobieństwo na jednostkę czasu jest równe A_{2\rightarrow 1} – tutaj prawo jest takie samo jak w rozpadzie promieniotwórczym. Wiedząc to wszystko, możemy zapisać ilość przejść 1\rightarrow 2 oraz 2\rightarrow 1 na jednostkę czasu:

N_1 B_{1\rightarrow 2}u(\nu)=N_2 B_{2\rightarrow 1}u(\nu)+N_2 A_{2\rightarrow 1}.

Obliczamy stąd funkcję u(\nu) i porównujemy ze znanym rozkładem Plancka:

u(\nu)=\dfrac{A_{2\rightarrow 1}}{B_{1\rightarrow 2}\exp{(\frac{E_2-E_1}{kT})}-B_{2\rightarrow 1}}=\dfrac{8\pi h\nu^3}{c^3}\dfrac{1}{\exp{(\frac{h\nu}{kT})}-1}.

Łatwo z tej równości wysnuć pewne wnioski nt. zależności między współczynnikami A, B. Np. zgodność obu równań jest możliwa tylko wówczas, gdy

E_2-E_1=h\nu.

Niels Bohr założył słuszność takiego równania, tutaj pojawia się ono jako wniosek. Nie będziemy wchodzić w szczegóły. Rzec można, Einstein obliczył maksimum tego, co było możliwe bez mechaniki kwantowej. Jedenaście lat później P.A.M. Dirac pokazał, jak wartości einsteinowskich współczynników wynikają z teorii kwantowej. Równania Einsteina prawidłowo opisują oddziaływanie atomów i promieniowania. Np. działanie lasera opiera się na emisji wymuszonej, opisywanej współczynnikiem B_{2\rightarrow 1}. Nie znaczy to, że Einstein zbudował laser, ale z pewnością zrozumiałby, gdyby jakiś mądry ET opisał mu taki wynalazek.

Dlaczego Einstein każe tu Bogu grać w kości? Współczynnik emisji spontanicznej musi być niezerowy i taki też zazwyczaj jest w przyrodzie (chyba że są powody, aby jakieś przejście było niemożliwe, np. ze względu na symetrię). To wszystko znaczy, że atom w wyższym stanie energetycznym kiedyś przejdzie do stanu niższego: tak samo jak gracz w rosyjskiej ruletce kiedyś się zastrzeli. Tyle że w przypadku atomu nikt nie pociąga za spust. Nie ma żadnej doświadczalnie możliwej do wykrycia przyczyny tego przejścia. Okazało się, że te współczynniki Einsteina to wszystko, co możemy wiedzieć i nie ma żadnej lepszej teorii, która by nam powiedziała, kiedy dany atom wyśle foton albo kiedy dane jądro się rozpadnie. Einstein w roku 1916 jeszcze nie rozumiał, że osiągnął granicę możliwości fizyki. Nigdy się z tym zresztą nie pogodził, stając się pogodnym dziwakiem w oczach kolegów i pracując wytrwale nad teorią, która by usunęła te probabilistyczne rozważania raz na zawsze. Jak wiemy, nigdy mu się to nie udało, dziś chyba mało kto wierzy, aby przedsięwzięcie tego rodzaju było wykonalne. Laplace i Einstein nie mieli racji, Bóg najwyraźniej gra w kości.

Gehrcke, Einstein i Gerber: kto objaśnił ruch peryhelium Merkurego?

W roku 1859 współodkrywca Neptuna, Urbain Le Verrier, zauważył, że ruch Merkurego odbiega od teoretycznych przewidywań. Chodziło o niewielki efekt: 38” na stulecie – jednak astronomia była tak precyzyjna w obserwacjach oraz obliczeniach, że rozbieżność ta wydawała się niepokojąca. Gdyby Merkury przyciągany był wyłącznie przez sferyczne Słońce, to jego orbita powinna być elipsą, a więc krzywą zamkniętą. Oczywiście, Merkury nie jest jedyną planetą w Układzie Słonecznym: Wenus, Ziemia itd. powinny go także przyciągać. Jeśli wypadkowa siła działająca na planetę (w tym przypadku Merkurego) odbiega nieco od Newtonowskiego prawa

F\sim \dfrac{1}{r^2},

to elipsa będzie się powoli obracać w przestrzeni. Nb. wiadomo, że tylko siła grawitacyjna oraz proporcjonalna do odległości prowadzą do zamkniętych torów, w każdym innym przypadku tory poruszających się ciał nie będą zamknięte: po obiegu ciało nie wraca w to samo miejsce.

Le Verrier obliczył wkłady przyciągania poszczególnych planet do obrotu eliptycznej orbity Merkurego (mówi się też o precesji orbity, obrocie peryhelium albo obrocie linii apsyd – czyli długiej osi orbity. Przedstawiają się one następująco (w sekundach kątowych na stulecie):

Wenus

280,6

Ziemia

83,6

Mars

2,6

Jowisz

152,6

Saturn

7,2

Uran

0,1

Łącznie 526,7

Przyczynki te wyglądają rozsądnie: największe pochodzą od Wenus – czyli planety najbliższej Merkurego oraz od Jowisza, który jest najmasywniejszy. Ziemia ma wielkość zbliżoną do Wenus, ale jest od Merkurego dalej, więc jej wkład jest mniejszy niż Wenus. Obserwowany ruch peryhelium Merkurego jest jednak równy 565 sekund kątowych. Skąd się bierze różnica?

Mogła ona pochodzić od jakiegoś efektu nieuwzględnionego w obliczeniach, np. Słońce nie jest dokładnie kuliste i siła grawitacji zmienia się nieco inaczej z odległością. Mogłaby też istnieć jakaś nieduża planeta bliżej Słońca niż Merkury: taką planetę trudno byłoby wykryć, bo zawsze przebywałaby na niebie w pobliżu Słońca. Jak pisałem, za fałszywe odkrycie tej planety przyznano nawet Legię Honorową. Wyjaśnienia tego rodzaju ostatecznie jednak upadły. Problem został rozwiązany w listopadzie 1915 roku przez Alberta Einsteina. Jego teoria grawitacji przewiduje w tym przypadku pojawienie się pewnej dodatkowej siły przyciągającej, która maleje jak czwarta potęga odległości od Słońca. Zatem orbita Merkurego powinna się obracać (bo tylko ścisłe prawo 1/r^2 gwarantuje niezmienne elipsy) i rozbieżność została wyjaśniona.

Einstein przez resztę życia wspominał te chwile, kiedy udało mu się wyjaśnić ową anomalię Merkurego. „Przez kilka dni nie mogłem dojść do siebie z radosnego podniecenia” – pisał do swego przyjaciela, Paula Ehrenfesta. Obliczenie to było wówczas jedynym obserwacyjnym potwierdzeniem ogólnej teorii względności. Drugie jej przywidywanie – ugięcie promieni świetlnych w pobliżu Słońca – miało się potwierdzić w roku 1919. Dla Einsteina jednak liczyła się ta pierwsza chwila, potem już nigdy nie miał wątpliwości, że jego teoria jest prawdziwa.

I tu pojawia się w naszej historii Ernst Gehrcke, szanowany specjalista od optyki, eksperymentator, trochę filozof-kantysta, człowiek niewątpliwie inteligentny, lecz umysł paranoiczny i zderanżowany, jak to się kiedyś z francuska mówiło. Otóż Gehrcke nie potrafił pogodzić się z teorią względności, już z tą pierwszą, szczególną, potem jego niechęć przeszła na teorię ogólną i na wszystko w ogóle, co Einstein robił. Zgłaszał on zastrzeżenia np. wobec paradoksu bliźniąt w teorii względności (który zresztą nie jest żadnym paradoksem). Przy okazji ruchu peryhelium Gehrcke wynalazł pracę sprzed niemal dwudziestu lat, w której uzyskano taki sam wynik, jaki uzyskał Einstein. Autorem był nieżyjący już Paul Gerber, nauczyciel gimnazjalny ze Stargardu Szczecińskiego. Gehrcke zasugerował, że Einstein musiał znać ten wynik i dlatego wyszło mu to samo.

W obu pracach wzór na obrót peryhelium był taki sam. Jednak nauka nie polega na odgadywaniu odpowiedzi – to nie teleturniej. Odpowiedź musi być nie tylko prawidłowa, ale także musi wynikać z innych założeń teorii. W przypadku Einsteina ruch Merkurego wynika jednoznacznie z teorii, nie ma tu żadnego miejsca np. na wprowadzenie dowolnych stałych albo dowolnych wyrażeń. Praca Gerbera była natomiast czystą spekulacją, i to niezbyt pomysłową. Po prostu wprowadził on zupełnie ad hoc nowe wyrażenie na potencjał grawitacyjny, który miał u niego zależeć od prędkości. Dla każdego nieuprzedzonego badacza musiało być jasne, że praca Gerbera niczego nie wnosiła, w najlepszym razie byłaby trafnym odgadnięciem prawdy, ale nie była nawet tym. Obliczenia Einsteina szły od zupełnie innej strony i Gehrcke to wiedział. Sęk w tym, że on sam też chyba nie myślał, że Einstein korzystał z pracy Gerbera. Chodziło mu po prostu o zdyskredytowanie Einsteina jako naukowca. Insynuacje są skuteczne: zawsze ktoś się nabierze, ludzie zaczną mieć wątpliwości. Gehrcke teorie Einsteina uważał za zbiorową psychozę, z której ludzie się kiedyś obudzą. Aby tę chwilę przyspieszyć, pracowicie kolekcjonował wszelkie informacje i wycinki prasowe nt. Einsteina. Żadna obsesyjna kochanka nie wytrwałaby tyle lat w uczuciu, co ten nienawistnik. Kolekcja ta została udostępniona w internecie. Przez całe swe długie życie starał się Gehrcke ze wszystkich sił zwalczać teorię względności. Jak się zdaje, jego motywy nie były nawet antysemickie, to była po prostu czysta nienawiść – coś dobrze znanego w epoce internetu. Gehrcke stał się jedną z centralnych postaci całego ruchu antyrelatywistów.

wazeck

Diagram z książki Mileny Wazeck, Einstein’s Oponents. Nie chodziłu tu o sprzeciw naukowy, jak np. Einsteina wobec mechaniki kwantowej. Ludzie ci starali się po prostu wszelkimi metodami zdyskredytować Einsteina jako uczonego, człowieka, często miało to także podtekst antysemicki, ruch ten był zresztą międzynarodowy, sporo uczestników pochodziło ze Stanów Zjednoczonych, zawsze podatnych na różne rodzaje naukowych humbugów.

Skąd brało się zainteresowanie opinii publicznej abstrakcyjną w końcu teorią czasu i przestrzeni? Czy gdyby Einstein nie był Żydem, miałby tak samo wielu oponentów? Czy jego zachowanie (nie lubił przepraszać, że żyje) jeszcze bardziej prowokowało różnych pokręconych psychicznie osobników?