Dlaczego w nocy jest ciemno?


Nie wszystkie dane kosmologiczne pochodzą z wyspecjalizowanej aparatury wartej miliardy. Trywialna (z pozoru) obserwacja, że w nocy jest ciemno, ma pewną wartość naukową. Rzecz znana jest jako paradoks ciemnego nieba albo paradoks Olbersa, mimo że znana była wcześniej, a także rozpatrywana później.

Pierwszy zapewne zwrócił na tę kwestię uwagę Johannes Kepler. W jego czasach pojawiła się koncepcja nieskończonego wszechświata głoszona przez Giordana Bruna. utrzymywał on, że gwiazdy są odległymi słońcami i, jak wiemy, został spalony w roku 1600 na Campo de’ Fiori w Rzymie ku chwale chrześcijaństwa i heretykom ku przestrodze. Bruno nie był astronomem, raczej filozofem-wizjonerem, ale sądzimy dziś, że nawet filozofów nie powinno się palić. Keplerowi bardzo nie podobała się wizja Bruna, nieskończoność budziła w nim odrazę jako chaos. Jego kosmos miał kształt kuli, a gwiazdy ułożone były w cienkiej sferze. Słońce było od nich znacznie większe (na rysunku brakuje planet i nie są zachowane proporcje: układ planetarny wraz ze Słońcem znajdował się wewnątrz wielkiej powłoki kulistej z niewielkimi gwiazdami). Argument Keplera był taki: gdyby wszechświat był nieskończony, a gwiazdy były takie jak nasze Słońce, to niebo musiałoby być jasne. Ergo: kosmos jest skończony, gwiazd jest wiele, lecz liczba ich jest ograniczona i są znacznie mniejsze od Słońca.

stars_dark_kepler

Ściślejszą postać nadali temu paradoksowi Edmond Halley i Heinrich Olbers. Nie będziemy wchodzić w historyczne detale, ale z grubsza argument byłby taki: W nieskończonym wszechświecie wzrok nasz napotyka bliżej lub dalej powierzchnię jakiejś gwiazdy (chyba że jedne gwiazdy chowają się za innymi i ułożone są w jakiś szczególnie przemyślny sposób, np. fraktalnie).
To tak jakbyśmy rozglądali się wokół, znajdując się w nieskończonym lesie.

harrison_3

(Rysunek pochodzi z książki E. Harrisona, Cosmology)

Jasność powierzchniowa gwiazdy nie zależy od odległości: jej tarcza jest mniejsza, lecz na jednostkę powierzchni przypada tyle samo energii. Inaczej mówiąc, powinniśmy na całym niebie widzieć powierzchnie różnych gwiazd, a więc coś podobnego do tarczy Słońca. Niebo powinno całe oślepiająco świecić.

Dlaczego nie świeci?
Proste pomysły w rodzaju jakiejś pochłaniającej materii po drodze z dalekich gwiazd do nas niczego nie załatwiają, bowiem materia taka z czasem powinna się ogrzać i świecić równie jasno jak gwiazdy.

Lord Kelvin obliczył, jaki ułamek \alpha powierzchni nieba będą zajmowały gwiazdy, jeśli nasz zasięg wzroku jest równy R. Przyjmujemy, że w jednostce objętości wszechświata znajduje się n gwiazd, a każda z nich ma pole przekroju S. Mamy wówczas

\alpha=nSR. \mbox{ (*)}

Gdybyśmy zażądali \alpha=1 (całe niebo świeci), to odległość R okazuje się ogromnie wielka np. R=10^{22} lat świetlnych albo nawet R=10^{30} lat świetlnych.

Liczby te pozwalają dostrzec rozwiązanie paradoksu: tylko światło wysłane po Wielkim Wybuchu może dotrzeć do nas. Oznacza to, że R_{\star}\approx 10^{10} lat świetlnych (nie przejmujemy się ekspansją wszechświata, wskutek której widzimy kilkakrotnie dalej, co nie zmieni istotnie wyniku). Wobec tego co najwyżej

\alpha\approx\dfrac{R_{\star}}{R}=10^{-12}

powierzchni nieba zajmują gwiazdy. Niebo jest ciemne, ponieważ żyjemy w stosunkowo młodym wszechświecie.

Można ten wynik otrzymać inaczej: gdyby całkowitą energię wszechświata przypadającą na każdy cm^3 zamienić na energię promieniowania, to miałoby ono temperaturę około 30 K – a więc daleko do 6000 K, jakie ma powierzchnia Słońca.

W istocie istnieje coś w rodzaju tła nieba: jest to kosmologiczne promieniowanie tła. Ze wszystkich stron dociera do nas mniej więcej takie samo promieniowanie, odpowiadające temperaturze niecałych 3 K, przypada ono głównie na milimetrowe długości fal).

Planck_CMB_node_full_image_2

(Dane misji PLANCK)

Skala barw na wykresie odpowiada niewielkim odchyleniom od średniej. Są one niezmiernie ważne, gdyż informują, jaki był wszechświat, gdy owo promieniowanie powstało, tzn. ok 400 000 lat po Wielkim Wybuchu. Jest to najstarszy obraz wszechświata.

Nazywane ono bywa także promieniowaniem reliktowym, bo jest śladem po tamtej odległej epoce. Nietrudno zrozumieć jego pochodzenie. Wszechświat rozszerzał się i jednocześnie stygł. W pewnej chwili składał się głównie z protonów, elektronów i fotonów. Naładowane cząstki silnie reagują na promieniowanie: pod jego wpływem same wysyłają promieniowanie, energia jest więc rozpraszana na wszystkie strony. Ośrodek złożony z oddzielnych protonów i elektronów (tzw. plazma) jest nieprzezroczysty. Gdy temperatura jeszcze się obniżyła, elektrony i protony połączyły się w atomy wodoru. Gaz atomów jest przezroczysty – tak samo jak powietrze. Wobec tego fotony przestały się zderzać z atomami i te fotony możemy obserwować do dziś (z atomów powstała cała reszta). W momencie rozprzęgania fotonów i pozostałej materii temperatura wynosiła około 3000 K – niebo świeciło jak powierzchnia gwiazdy, nie miał jednak kto tego oglądać. Reszta jest bardzo prosta: wszechświat od tamtej chwili powiększył się liniowo 1000 razy w każdym kierunku. Fale świetlne o długościach rzędu 1 μm też się powiększyły 1000 razy i stały falami milimetrowymi, które obserwujemy. Z poświaty widzialnej zrobiła się więc mikrofalowa. I to jest drugi powód ciemnego nieba: gdyby nawet wszechświat nie miał początku, lecz się rozszerzał, niebo byłoby ciemne.

(*) Ułamek nieba zasłoniętego tarczami gwiazd można obliczyć następująco. Rozważmy powłokę kulistą o promieniu r i grubości \Delta r. Jej objętość równa się 4\pi r^2\Delta r (=pole powierzchni sfery razy grubość).

stars_dark

Mnożąc to przez n, otrzymamy liczbę gwiazd w naszej powłoce, a mnożąc jeszcze przez S – łączne pole powierzchni przesłanianej przez gwiazdy. Wobec tego wkład naszej powłoki do zakrycia nieba wynosi

\Delta\alpha=\dfrac{ 4\pi r^2\Delta rnS}{ 4\pi r^2}=nS\Delta r.

Sumując wkłady od powłok od zera aż do pewnego promienia R, otrzymujemy wynik (*). Łatwo go zrozumieć: n ma wymiar 1/m^3, S ma wymiar m^2, R ma wymiar m – tylko mnożąc te trzy wielkości, dostaniemy wynik bezwymiarowy (\alpha to ułamek powierzchni, więc jest bezwymiarowe); oczywiście \alpha powinna być proporcjonalna do wszystkich trzech wielkości.

Albert Einstein: Najszczęśliwsza myśl i światło w polu grawitacyjnym (1911)

Siedziałem sobie właśnie w biurze patentowym w Bernie, gdy nieoczekiwanie przyszła mi do głowy pewna myśl: człowiek spadający swobodnie nie będzie odczuwał własnego ciężaru. Byłem doprawdy wstrząśnięty. Ta prosta myśl wywarła na mnie ogromne wrażenie i stała się impulsem do stworzenia teorii grawitacji” [A. Einstein, Einstein w cytatach. Pełne wydanie, przeł. M. Krośniak, s. 356.]

Czego dotyczył ów wstrząs? Einstein pisał w tym czasie (koniec roku 1907) artykuł przeglądowy o teorii względności, opublikowanej ledwie dwa lata wcześniej. Już Galileusz zauważył, że w polu grawitacyjnym wszystkie ciała spadają jednakowo (z dokładnością do oporu powietrza) – tego właśnie miał dotyczyć słynny eksperyment ze zrzucaniem kul z krzywej Wieży w Pizie (najprawdopodobniej zresztą apokryficzny). W prawach Newtona pojęcie masy pojawia się w dwóch różnych sytuacjach; raz w II zasadzie dynamiki:

a=\dfrac{F}{m_i},

a drugi raz w prawie powszechnego ciążenia:

F_g=\dfrac{GM_g m_g}{r^2}.

Dla przejrzystości oznaczyłem je innymi indeksami: m_i – to masa bezwładnościowa (inercyjna), m_g – masa grawitacyjna. Ponieważ oba rodzaje masy wchodzą do różnych praw, więc można je mierzyć niezależnie od siebie. Wiadomo, że oba te rodzaje masy są równe, tzn. są do siebie proporcjonalne, a ich jednostki zostały tak wybrane, żeby nie komplikować całej sprawy. Wskutek tej równości, gdy podstawimy siłę grawitacyjną F_g wywieraną na masę m_g do II zasady, to obie masy się skrócą i przyspieszenie nie będzie od niej zależeć.

Gdy nasz układ odniesienia porusza się z przyspieszeniem (np. hamujący autobus), odczuwamy działanie siły bezwładności równej -m\vec{a} (minus informuje, że zostaniemy podczas hamowania popchnięci do przodu, nie do tyłu). Jeśli jednak oba rodzaje masy są zawsze ściśle równe, to sił grawitacyjnych nie sposób odróżnić od sił bezwładności. Pasażer zamknięty w statku kosmicznym swobodnie orbitującym wokół Ziemi nie czuje jej pola grawitacyjnego, bo spada z przyspieszeniem równym przyspieszeniu grawitacyjnemu, zatem odczuwa on tylko ich różnicę, równą zeru. Ogólnie biorąc, pasażer taki nie może odróżnić, jaka część jego przyspieszenia pochodzi od grawitacji, a jaka wynika stąd, że jego statek kosmiczny porusza się z przyspieszeniem. Ta prosta obserwacja doprowadziła Einsteina z czasem do wniosku, że sił grawitacji nie ma: jest tylko zakrzywiona czasoprzestrzeń określająca, jak będą poruszać się cząstki. Ponieważ chodzi o pewną własność geometryczną, więc automatycznie każda cząstka, czy z pierza, czy z mięsa, będzie poruszać się tak samo (póki nie ma innych oddziaływań niż grawitacyjne). W ten sposób równość obu mas została wbudowana w teorię zamiast stanowić anomalię.

W roku 1911 Einstein starał się zwrócić uwagę astronomów, że światło powinno uginać się w silnym polu grawitacyjnym, np. przechodząc blisko Słońca. Grawitacja równoważna jest przyspieszeniu, zatem obie sytuacje na rysunkach powinny być równoważne. Na górnym nie ma pola grawitacyjnego, ale nasza kabina porusza się z pewnym przyspieszeniem w górę. Na drugim mamy pole grawitacyjne o takiej samej wartości skierowane w dół.

einstein_bendingPasażer musi w obu przypadkach zaobserwować to samo. Znaczy to, że będzie widział, jak promień światła zakrzywia się w kierunku pola grawitacyjnego. Możemy powiedzieć, że światło jest przyciągane grawitacyjnie. W pracy Einsteina ugięcie to obliczone jest dla przypadku fali, z wykorzystaniem zasady Huygensa. Naprawdę nie ma jednak znaczenia, czy wyobrażamy sobie światło jako cząstki, czy jako fale. Otrzymamy takie samo ugięcie, jakiego doznałaby newtonowska cząstka przebiegająca z prędkością c (prędkość światła w próżni) w pobliżu Słońca. Kąt ten okazuje się równy

\varphi=\dfrac{2GM}{c^2 r}=\dfrac{2r_s}{r}, \mbox{(*)}

gdzie G to stała grawitacyjna, M – masa Słońca, a r najmniejsza odległość promienia od środka Słońca. Można ten wynik zapisać, łącząc wszystkie stałe w wielkość r_s – tak zwany promień Schwarzschilda. Dla Słońca wynosi on około 3 km (gdyby masę Słońca upchnąć w kuli o takim promieniu, otrzymalibyśmy czarną dziurę). Ponieważ odległość r musi równać się przynajmniej promieniowi Słońca, więc kąt ten jest niewielki i równy maksymalnie 0,85 sekundy kątowej.

W następnych latach Einstein starał się tą sprawą zainteresować astronomów. Poniżej jego list do George’a Hale’a z Obserwatorium na Mount Wilson w Kalifornii.

Einstein_letter-2Einstein prawdopodobnie nie słyszał, iż efekt taki był już rozważany na przełomie XVIII i XIX wieku, gdy wierzono jeszcze w Newtonowskie cząstki światła. Dokładnie taki sam wynik uzyskał Henry Cavendish – pierwszy człowiek, który widział, jak przyciągają się masy (chodzi o przyciąganie między masami w laboratorium, nie o przyciąganie czegoś przez Ziemię). Niezależnie od niego obliczył to także Georg von Soldner.

Einsteinowi udało się tą kwestią zainteresować także Erwina Freundlicha, młodego astronoma z Berlina. Freundlich zaczął organizować wyprawę na Krym, aby zmierzyć efekt podczas całkowitego zaćmienia Słońca w roku 1914. Einstein organizował pieniądze na tę wyprawę, gotów był nawet w razie potrzeby wyłożyć 2000 marek z własnych oszczędności (dwie jego miesięczne pensje, wysokie). Jednak na Krymie, jak to na Krymie, akurat wybuchła wojna (tym razem światowa), ekipę aresztowano, pomiarów nie wykonano.

Największe zaskoczenie spotkało go jednak rok później. Odkrył bowiem ze zdumieniem, że jego wynik jest dokładnie dwa razy za mały! Należało bowiem uwzględnić zakrzywienie przestrzeni (zwykłej, trójwymiarowej). Ostatecznie pomiary wykonano w roku 1919, a Einstein zdobył tym światowy rozgłos, żył potem długo i dość szczęśliwie.

1919nyt_head

 

(*) Newtonowską wartość kąta ugięcia można obliczyć za pomocą całki (nudne) albo pamiętając, że w ruchu ciała niebieskiego orbita jest jedną z krzywych stożkowych: elipsą, parabolą albo hiperbolą (to nasz przypadek), lecz koniec wektora prędkości we wszystkich trzech sytuacjach zakreśla łuk okręgu. Można powiedzieć, że w przestrzeni prędkości wszystkie ciała niebieskie krążą po okręgach.

Moment pędu J cząstki o jednostkowej masie przemnożony przez krótki czas \Delta t równy jest

J\Delta t=|\vec{r}\times\vec{v}\Delta t|=|\vec{r}\times\vec{r'}|=r^2 \Delta \theta,

einstein_moment

w ostatniej równości zastąpiliśmy sinus kąta wartością tego kąta. Wynika stąd, że

\Delta t=\dfrac{r^2}{J}\Delta \theta.

Z definicji przyspieszenia mamy:

\Delta \vec{v}=\vec{a}\Delta t=-\dfrac{GM}{r^2}\hat{r}\dfrac{r^2}{J}\Delta\theta=-\dfrac{GM}{J}\hat{r}\Delta\theta.

Oznaczyliśmy przez \hat{r} jednostkowy wektor zwrócony od Słońca, minus informuje, że cząstka jest przyciągana (Nb. można to samo rozumowanie zastosować do rozpraszania Rutherforda). Ostatnia równość oznacza, że dla równych kątów \Delta\theta przyrosty prędkości są takie same co do wartości i obracają się razem z \hat{r}. Wektor prędkości zatacza łuk okręgu.

einstein_elipsa

W przypadku hiperbolicznego toru nie otrzymuje się całego okręgu.

einstein_bending1

Z rysunku widać, że

\dfrac{\varphi}{2}\approx \dfrac{h}{c}=\dfrac{GM}{Jc}=\dfrac{GM}{rc^2}.

W naszym przypadku prędkość jest praktycznie cały czas równa c, możemy więc uważać, iż J=rc.

Naprawdę fakt, że koniec wektora prędkości zatacza okrąg, czyli że hodograf jest okręgiem, wystarczy również do wykazania, iż tor ruchu musi być krzywą stożkową. To drobne, choć ciekawe odkrycie (mówię o hodografie) zawdzięczamy Williamowi Rowanowi Hamiltonowi, temu od kwaternionów.