Max Planck: początek fizyki kwantowej (1900)

Max Planck był profesorem fizyki teoretycznej na uniwersytecie w Berlinie, przed nim katedrę tę zajmował Gustav Kirchhoff, współtwórca analizy widmowej, po Plancku objął ją Erwin Schrödinger, jeden z pionierów mechaniki kwantowej. Widać w tym pewną ciągłość: Kirchhoff pierwszy badał promieniowanie termiczne, Planck wyjaśnił jego podstawową własność, wprowadzając kwanty energii, a Schrödinger należał do tych, którzy dokończyli rewolucji kwantowej w fizyce.

W roku 1900 Planck przekroczył już czterdziestkę, ale najważniejsze w jego życiu naukowym miało się dopiero wydarzyć. Wiadomo, że każde ciało wysyła promieniowanie termiczne, dzięki temu można np. wykrywać w ciemności ludzi albo zwierzęta. Promieniowanie ciała doskonale czarnego to pewien teoretyczny ideał: tak promieniowałoby ciało o stuprocentowej zdolności pochłaniania energii. Najlepszym doświadczalnym modelem takiego ciała jest niewielki otwór w pudełku: fale wpadające do otworu mają niewielkie prawdopodobieństwo wydostania się z niego, wewnątrz pudełka (którego ścianki są utrzymywane w pewnej temperaturze ) mamy promieniowanie elektromagnetyczne w stanie równowagi cieplnej ze ściankami. Oczywiście przez taki otwór część promieniowania będzie się wydostawać na zewnątrz: otwór będzie świecił. Kirchhoff wyjaśnił, że promieniowanie takiego idealnego ciała doskonale czarnego scharakteryzowane jest tylko przez temperaturę, nie zależy od materiału, z którego wykonamy pudełko. W dodatku znając promieniowanie ciała doskonale czarnego, można obliczyć, jak będzie promieniować dowolne ciało rzeczywiste.

Tak wyglądają widma ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur. Czarna krzywa jest przewidywaniem fizyki przedkwantowej: obie zależności nie tylko są różne, ale jeszcze ta krzywa przedkwantowa nieograniczenie rośnie dla krótkich fal. Pole pod krzywą rozkładu widmowego promieniowania ma sens całkowitej mocy wysyłanej przez ciało (z jednostki powierzchni). Wynikałoby więc z tego, że według fizyki dziewiętnastowiecznej każde ciało promieniuje nieskończenie wiele energii w jednostce czasu, co jest oczywiście niemożliwe. Mamy więc tzw. katastrofę w nadfiolecie i problem do wyjaśnienia.

W roku 1900 dzięki nowym pomiarom Heinricha Rubensa i Ferdinanda Kurlbauma stało się jasne, że dotychczasowa fizyka nie nadaje się do opisu obserwowanej krzywej. Max Planck najpierw odgadł równanie opisujące rozkład promieniowania, a następnie pokazał, w jaki sposób można ten rozkład otrzymać teoretycznie. Rzecz wymagała wprowadzenia osobliwego założenia o skwantowaniu energii. Wróćmy do obrazu pudełka wypełnionego promieniowaniem termicznym. Ścianki tego pudełka stale wysyłają oraz pochłaniają fale elektromagnetyczne. Oznacza to, że drgają tam jakieś ładunki: fala elektromagnetyczna wprawia bowiem ładunek w ruch drgający i odwrotnie: każdy drgający ładunek wysyła falę elektromagnetyczną. Z punktu widzenia teorii ścianki pudełka to zbiór oscylatorów czyli układów drgających. Każdy z nich, tak jak wahadło, ma swoją własną częstość drgań. Im wyższa temperatura, tym intensywniej oscylatory drgają. W równowadze termodynamicznej ta sama ilość energii będzie wysyłana i pochłaniana w jednostce czasu. Należałoby więc obliczyć, jaką średnią energię będzie miał oscylator o częstotliwości w zadanej temperaturze. Fizyka klasyczna przewiduje, że każdy oscylator, bez względu na częstość, będzie miał taką samą średnią energię równą , gdzie jest stałą Boltzmanna.

Planck założył natomiast, że oscylatory mogą mieć jedynie energie równe

gdzie jest liczbą naturalną od zera począwszy, a – nową stałą fizyczną, zwaną obecnie stałą Plancka. Jeśli w jakimś wzorze fizyki pojawia się stała Plancka, to znaczy to, że mamy do czynienia ze wzorem kwantowym. Gdyby stała Plancka była równa zero, obowiązywałaby fizyka klasyczna (co oznacza np., że niemożliwe byłyby stabilne atomy). Oczywiście w roku 1900 Max Planck nie wiedział jeszcze, że odkrywa zarysy nowego kontynentu, choć musiał zdawać sobie sprawę, że dotyka czegoś fundamentalnego.

Mając założenie o kwantowaniu, łatwo już obliczyć średnią energię oscylatora. Planck zrobił to, korzystając z pojęcia entropii. Entropia jest wielkością, którą można zdefiniować makroskopowo i w takiej postaci została ona wprowadzona do fizyki. Później Ludwig Boltzmann pokazał, że entropia jest miarą nieuporządkowania. Co to znaczy w przypadku naszego zbioru oscylatorów? Załóżmy, że mamy wielką liczbę oscylatorów o danej częstości. Ponieważ energia jest skwantowana, więc całkowita energia naszego układu musi być równa

gdzie jest jakąś liczbą całkowitą. Entropia związana jest z liczbą sposobów , na jakie można rozmieścić porcji energii między oscylatorów:

Gdzie to stała Boltzmanna. W naszym przypadku problem kombinatoryczny najłatwiej narysować.

(obrazki są z Wikipedii, ale pomysł takiego obliczenia opisali P. Ehrenfest oraz H. Kamerlingh-Onnes)

Mamy dwa rodzaje elementów: przegródek „między” oscylatorami oraz elementarnych energii do rozmieszczenia. Inaczej mówiąc, ze zbioru elementowego musimy wybrać elementów jako koraliki, reszta to przegródki. Liczba możliwości to liczba kombinacji

Im wyższa energia, tym większa liczba kwantów energii („koralików”) i tym więcej sposobów na ich rozmieszczenie – co oznacza że rośnie entropia.

Obliczając na tej podstawie entropię, a następnie wyznaczając energię układu oscylatorów jako funkcję temperatury, otrzymamy dla danego rodzaju oscylatorów

Tego samego wyrażenia użył później Einstein dla drgań atomów w sieci krystalicznej. Jeśli uwzględnimy, że oraz że liczba oscylatorów w przypadku ścianek pudełka 3D rośnie jak , otrzymamy rozkład Plancka:

Jednym z najpiękniejszych przykładów rozkładu Plancka jest kosmiczne promieniowanie tła.

Jest ono z wielką dokładnością opisane krzywą Plancka i ma temperaturę niecałe 3K, co oznacza, że większość energii przypada w nim na mikrofale o długościach milimetrowych. Trudno w tym zakresie prowadzić pomiary z Ziemi, toteż zwykle dokonuje się tego z satelitów. Najdoskonalsza do tej pory aparatura pomiarowa badająca promieniowanie tła nie przez przypadek nazwana została misją PLANCK.

(*) Pokażemy, jak można z entropii znaleźć średnią energię w funkcji temperatury. Klasyczna definicja entropii wiąże jej przyrost z ilością ciepła oraz temperaturą:

Druga równość odnosi się już do przypadku naszych oscylatorów. Musimy więc obliczyć, o ile zmieni się entropia, gdy dostarczymy jakąś niewielką dodatkową energię . Zmiana entropii jest równa

Korzystamy tu z , a także pominęliśmy jedynki jako dużo mniejsze od naszych liczb oraz . Możemy uzyskane wyrażenie wstawić do związku

Odwracając to równanie i pamiętając, że , otrzymujemy wynik (*).

Wyrażenie kwantowe przechodzi w klasyczne, gdy , mamy wtedy:

Wynika to z faktu, że dla wartości funkcję wykładniczą można przybliżyć . Dla małych częstości przybliżenie klasyczne jest prawidłowe, jednak częstości promieniowania nie są ograniczone z góry, więc aby uzyskać poprawną zależność, potrzebny jest wzór kwantowy.

Dodatkowa proporcjonalność do we wzorze Plancka jest sprawą czysto techniczną: w trójwymiarowym pudełku liczba dozwolonych drgań (czyli fal stojących) rośnie jak pole powierzchni kuli.