Yitang Zhang: pary liczb pierwszych (2013)

Chińskie malarstwo tuszem to szczególna technika wymagająca wielkiej koncentracji. Tusz wsiąka w papier i nic nie daje się poprawić, nie można też czekać, cały obraz musi zostać namalowany w ciągu kilku minut. Dlatego artysta najpierw długo zastanawia się nad tym, co i jak chce namalować, obmyśla pociągnięcia pędzla, by potem kilkoma szybkimi precyzyjnymi ruchami wykonać obraz. Jego celem nie jest oddanie wszystkich szczegółów, lecz uchwycenie istoty danej rzeczy.

il_fullxfull.138487743

Obraz ze strony http://imgkid.com/chinese-ink-wash-painting.shtml

Yitang Zhang jest matematykiem, zdolnością długotrwałej koncentracji przypomina wybitnych chińskich malarzy. Przeważnie pracuje spacerując. Niewiele przy tym pisze, właściwie dopiero wtedy, gdy ułoży mu się w głowie jakaś całość warta zapisania.

W kwietniu 2013 roku redakcja „Annals of Mathematics”, jednego z najbardziej prestiżowych pism matematycznych, otrzymała sensacyjną pracę z teorii liczb podpisaną przez niemal nieznanego autora o nazwisku Yitang Zhang. W tym roku pismo to otrzymało 915 prac, z czego tylko 37 zostało przyjęte do druku. Redaktor pisma szybko ustalił, że autor umieścił już kilka lat wcześniej jeden artykuł na arXiv.org, ale praca ta miała luki i nigdy nie została opublikowana w recenzowanym czasopiśmie. Zhang nie jest młody, zrobił doktorat w 1991 roku w Purdue University i potem nic nie publikował. Nie wyglądało to zachęcająco, ale sama praca wyglądała na poważną. Oczywiście, nie da się tak od razu ustalić, czy jakiś skomplikowany dowód jest prawdziwy, wymaga to dokładnego przejrzenia przez specjalistów, którzy wiedzą, co może się okazać prawdziwe, a co nie, i którzy sprawdzą pracę krok po kroku. Nawet bardzo kompetentni matematycy, zwłaszcza kiedy pracują sami, przeoczają czasem jakąś trudność (Andrew Wiles za pierwszym razem ogłosił dowód twierdzenia Fermata z istotną luką, która okazała się całkiem poważna). Praca została wysłana do recenzentów: Henryka Iwańca z Rutgers University i Johna Friedlandera z University of Toronto. Tak się złożyło, że obaj recenzenci spotkali się na tydzień w Princeton i z rosnącym zaciekawieniem zaczęli czytać pracę Zhanga, najpierw sprawdzając główne punkty, potem coraz dokładniej. Po kilku tygodniach zarekomendowali publikację jako pierwszorzędny wynik.

Jak wiele twierdzeń z teorii liczb, także to udowodnione przez Zhanga łatwo opisać, choć niezmiernie trudno udowodnić. Chodzi o liczby pierwsze. Z konstrukcji prostego sita Eratostenesa widać, że gdy przesuwamy się w górę zbioru liczb naturalnych, coraz rzadziej będziemy natrafiać na liczby pierwsze; każda liczba ma bowiem więcej potencjalnych podzielników. Wiadomo jednak, że bardzo wiele liczb pierwszych występuje w bliźniaczych parach, różniąc się o 2: (3,5), (5,7), (11, 13) itd. Pojawia się pytanie, czy par takich jest nieskończenie wiele? Wiadomo także, że jest wiele par liczb pierwszych różniących się o 4, o 6 itd. Można i dla takich par zadać pytanie, czy jest ich nieskończenie wiele? Zhang pokazał, że istnieje parzysta liczba naturalna N<7\cdot 10^7, dla której istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych postaci (x,x+N). Daleko wprawdzie do N=2, ale wynik ten wzbudził sensację, ponieważ nikt się nie spodziewał, że dowód jest możliwy bez jakiegoś zasadniczego przełomu. Zaskoczeni byli także ci, których prace Zhang wykorzystał w swoim dowodzie – jak m.in. Henryk Iwaniec i John Friedlander. Zhang pokazał, że można zajść znacznie dalej, niż sądzili najlepsi eksperci. W dodatku zrobił to pracując sam i samodzielnie wyrabiając sobie pojęcie o sytuacji: zwykle liczący się w branży specjaliści znają się, komunikują, dyskutują, uzgadniają poglądy, słuchają swoich wykładów, spotykają się na konferencjach i seminariach – to wszystko bardzo pomaga. Samodzielne wyrabianie sobie poglądów jest niesamowicie pracochłonne, ludzie zwykle nie mają na to czasu poza swoją wąską specjalnością.

Yitang_Zhang

Zdjęcie: Wikipedia

Yitang Zhang umie pracować sam, chyba nawet nie potrafi inaczej. Urodził się w roku 1955 w Chinach, kiedy miał 15 lat został zesłany z matką na prowincję, żeby uprawiać rolę, jego ojciec, profesor elektrotechniki, także został zesłany, ale do innej części kraju. Studiować zaczął, mając 23 lata. Po studiach znalazł się w Stanach Zjednoczonych, gdzie zrobił doktorat. Jego promotor Tzuong-Tsieng Moh z uniwersytetu Purdue stwierdził, że Zhang nie zwracał się do niego o pomoc w znalezieniu pracy, toteż mu jej nie szukał. To, co się działo dalej, trudno nazwać karierą naukową czy w ogóle jakąkolwiek karierą. Zhang pracował w różnych dziwnych miejscach jak motel w Kentucky czy bar z kanapkami sieci Subway (zajmował się tam wprawdzie głównie księgowością, ale czasem musiał także robić kanapki). W końcu zatrudniono go na uniwersytecie New Hampshire, gdzie uczył rachunku różniczkowego i całkowego. Przypominano mu tam od czasu do czasu, że jeśli nie będzie miał publikacji, to straci etat.

Ciąg dalszy jest jak z naukowej bajki o Kopciuszku. Posypały się zaproszenia z najlepszych ośrodków matematycznych świata: z uniwersytetu Harvarda, z Princeton. Zhang otrzymał szereg nagród, w tym grant Fundacji MacArthura w roku 2014: oznacza to, że przez najbliższe pięć lat nie musi się martwić, z czego będzie żył. Zresztą i uniwersytet New Hampshire awansował go na profesora.

Dziwna historia nietuzinkowego człowieka, który nie zmieścił się w systemie, choć wiadomo, że mieszczą się w nim rozmaite miernoty (mówimy oczywiście tylko o USA). Imponujący spokój ducha. Zaskakuje także wiek uczonego. Matematycy, jak skrzypkowie, przeważnie najlepsi są młodzi. Isaac Newton pisał (odnosząc to także do siebie): „żaden stary człowiek (wyjąwszy doktora Wallisa) nie lubi matematyki”. Yitang Zhang, obok Johna Wallisa, także i pod tym względem należy do wyjątków. Dzięki innym matematykom, korzystającym z pracy Zhanga, wiadomo już, że najmniejsza liczba N, dla której istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych postaci (x,x+N) jest nie większa niż 246.

Ładne artykuły o Zhangu zamieściły „The New Yorker”, a także „Quanta”.

Reklamy

Max Planck: początek fizyki kwantowej (1900)

Max Planck był profesorem fizyki teoretycznej na uniwersytecie w Berlinie, przed nim katedrę tę zajmował Gustav Kirchhoff, współtwórca analizy widmowej, po Plancku objął ją Erwin Schrödinger, jeden z pionierów mechaniki kwantowej. Widać w tym pewną ciągłość: Kirchhoff pierwszy badał promieniowanie termiczne, Planck wyjaśnił jego podstawową własność, wprowadzając kwanty energii, a Schrödinger należał do tych, którzy dokończyli rewolucji kwantowej w fizyce.

Max Planck

W roku 1900 Planck przekroczył już czterdziestkę, ale najważniejsze w jego życiu naukowym miało się dopiero wydarzyć. Wiadomo, że każde ciało wysyła promieniowanie termiczne, dzięki temu można np. wykrywać w ciemności ludzi albo zwierzęta. Promieniowanie ciała doskonale czarnego to pewien teoretyczny ideał: tak promieniowałoby ciało o stuprocentowej zdolności pochłaniania energii. Najlepszym doświadczalnym modelem takiego ciała jest niewielki otwór w pudełku: fale wpadające do otworu mają niewielkie prawdopodobieństwo wydostania się z niego, wewnątrz pudełka (którego ścianki są utrzymywane w pewnej temperaturze T) mamy promieniowanie elektromagnetyczne w stanie równowagi cieplnej ze ściankami. Oczywiście przez taki otwór część promieniowania będzie się wydostawać na zewnątrz: otwór będzie świecił. Kirchhoff wyjaśnił, że promieniowanie takiego idealnego ciała doskonale czarnego scharakteryzowane jest tylko przez temperaturę, nie zależy od materiału, z którego wykonamy pudełko. W dodatku znając promieniowanie ciała doskonale czarnego, można obliczyć, jak będzie promieniować dowolne ciało rzeczywiste.

Black_body

Tak wyglądają widma ciała doskonale czarnego dla różnych temperatur. Czarna krzywa jest przewidywaniem fizyki przedkwantowej: obie zależności nie tylko są różne, ale jeszcze ta krzywa przedkwantowa nieograniczenie rośnie dla krótkich fal. Pole pod krzywą rozkładu widmowego promieniowania ma sens całkowitej mocy wysyłanej przez ciało (z jednostki powierzchni). Wynikałoby więc z tego, że według fizyki dziewiętnastowiecznej każde ciało promieniuje nieskończenie wiele energii w jednostce czasu, co jest oczywiście niemożliwe. Mamy więc tzw. katastrofę w nadfiolecie i problem do wyjaśnienia.

W roku 1900 dzięki nowym pomiarom Heinricha Rubensa i Ferdinanda Kurlbauma stało się jasne, że dotychczasowa fizyka nie nadaje się do opisu obserwowanej krzywej. Max Planck najpierw odgadł równanie opisujące rozkład promieniowania, a następnie pokazał, w jaki sposób można ten rozkład otrzymać teoretycznie. Rzecz wymagała wprowadzenia osobliwego założenia o skwantowaniu energii. Wróćmy do obrazu pudełka wypełnionego promieniowaniem termicznym. Ścianki tego pudełka stale wysyłają oraz pochłaniają fale elektromagnetyczne. Oznacza to, że drgają tam jakieś ładunki: fala elektromagnetyczna wprawia bowiem ładunek w ruch drgający i odwrotnie: każdy drgający ładunek wysyła falę elektromagnetyczną. Z punktu widzenia teorii ścianki pudełka to zbiór oscylatorów czyli układów drgających. Każdy z nich, tak jak wahadło, ma swoją własną częstość drgań. Im wyższa temperatura, tym intensywniej oscylatory drgają. W równowadze termodynamicznej ta sama ilość energii będzie wysyłana i pochłaniana w jednostce czasu. Należałoby więc obliczyć, jaką średnią energię będzie miał oscylator o częstotliwości \nu w zadanej temperaturze. Fizyka klasyczna przewiduje, że każdy oscylator, bez względu na częstość, będzie miał taką samą średnią energię równą kT, gdzie k jest stałą Boltzmanna.

Planck założył natomiast, że oscylatory mogą mieć jedynie energie równe

E=n\varepsilon=nh\nu,

gdzie n jest liczbą naturalną od zera począwszy, a h – nową stałą fizyczną, zwaną obecnie stałą Plancka. Jeśli w jakimś wzorze fizyki pojawia się stała Plancka, to znaczy to, że mamy do czynienia ze wzorem kwantowym. Gdyby stała Plancka była równa zero, obowiązywałaby fizyka klasyczna (co oznacza np., że niemożliwe byłyby stabilne atomy). Oczywiście w roku 1900 Max Planck nie wiedział jeszcze, że odkrywa zarysy nowego kontynentu, choć musiał zdawać sobie sprawę, że dotyka czegoś fundamentalnego.

Mając założenie o kwantowaniu, łatwo już obliczyć średnią energię oscylatora. Planck zrobił to, korzystając z pojęcia entropii. Entropia jest wielkością, którą można zdefiniować makroskopowo i w takiej postaci została ona wprowadzona do fizyki. Później Ludwig Boltzmann pokazał, że entropia jest miarą nieuporządkowania. Co to znaczy w przypadku naszego zbioru oscylatorów? Załóżmy, że mamy wielką liczbę N oscylatorów o danej częstości. Ponieważ energia jest skwantowana, więc całkowita energia naszego układu musi być równa

E=P\varepsilon,

gdzie P jest jakąś liczbą całkowitą. Entropia S związana jest z liczbą sposobów W, na jakie można rozmieścić P porcji energii między N oscylatorów:

S=k\ln W.

Gdzie k to stała Boltzmanna. W naszym przypadku problem kombinatoryczny najłatwiej narysować.

498px-Einstein_solids_1.svg498px-Einstein_solids_2.svg450px-Einstein_solids_3.svg

(obrazki są z Wikipedii, ale pomysł takiego obliczenia W opisali P. Ehrenfest oraz H. Kamerlingh-Onnes)

Mamy dwa rodzaje elementów: N-1 przegródek „między” oscylatorami oraz P elementarnych energii \varepsilon do rozmieszczenia. Inaczej mówiąc, ze zbioru N+P-1 elementowego musimy wybrać P elementów jako koraliki, reszta to przegródki. Liczba możliwości to liczba kombinacji

W=\dfrac{(N+P-1)!}{(N-1)!P!}.

Im wyższa energia, tym większa liczba kwantów energii („koralików”) i tym więcej sposobów na ich rozmieszczenie – co oznacza że rośnie entropia.

Obliczając na tej podstawie entropię, a następnie wyznaczając energię układu oscylatorów jako funkcję temperatury, otrzymamy dla danego rodzaju oscylatorów

\dfrac{E}{N}=\dfrac{\varepsilon}{\exp{\frac{\varepsilon}{kT}}-1} \mbox{. (*)}

Tego samego wyrażenia użył później Einstein dla drgań atomów w sieci krystalicznej. Jeśli uwzględnimy, że \varepsilon=h\nu oraz że liczba oscylatorów w przypadku ścianek pudełka 3D rośnie jak \nu^2, otrzymamy rozkład Plancka:

E(\nu)\Delta\nu\sim \nu^2\dfrac{h\nu}{\exp{\frac{h\nu}{kT}}-1}\Delta\nu=\dfrac{h\nu^3}{\exp{\frac{h\nu}{kT}}-1}\Delta\nu.

Jednym z najpiękniejszych przykładów rozkładu Plancka jest kosmiczne promieniowanie tła.

spectrum

Jest ono z wielką dokładnością opisane krzywą Plancka i ma temperaturę niecałe 3K, co oznacza, że większość energii przypada w nim na mikrofale o długościach milimetrowych. Trudno w tym zakresie prowadzić pomiary z Ziemi, toteż zwykle dokonuje się tego z satelitów. Najdoskonalsza do tej pory aparatura pomiarowa badająca promieniowanie tła nie przez przypadek nazwana została misją PLANCK.

(*) Pokażemy, jak można z entropii znaleźć średnią energię w funkcji temperatury. Klasyczna definicja entropii wiąże jej przyrost z ilością ciepła \Delta Q oraz temperaturą:

\Delta S=\dfrac{\Delta Q}{T}=\dfrac{\Delta E}{T}.

Druga równość odnosi się już do przypadku naszych oscylatorów. Musimy więc obliczyć, o ile zmieni się entropia, gdy dostarczymy jakąś niewielką dodatkową energię \Delta P\varepsilon. Zmiana entropii jest równa

\Delta S=k\ln\dfrac{(N+P+\Delta P)!N!P!}{N!(P+\Delta P)!(N+P)!}=k\Delta P\ln\dfrac{N+P}{P}.

Korzystamy tu z \Delta P\ll P, a także pominęliśmy jedynki jako dużo mniejsze od naszych liczb P oraz N. Możemy uzyskane wyrażenie wstawić do związku

\dfrac{\Delta S}{\Delta E}=\dfrac{1}{T}.

Odwracając to równanie i pamiętając, że E=P\varepsilon, otrzymujemy wynik (*).

Wyrażenie kwantowe przechodzi w klasyczne, gdy h\nu=\varepsilon\ll kT, mamy wtedy:

\dfrac{\varepsilon}{\exp{\frac{\varepsilon}{kT}}-1}\approx kT.

Wynika to z faktu, że dla wartości x\ll 1 funkcję wykładniczą można przybliżyć \exp x\approx 1+x. Dla małych częstości przybliżenie klasyczne jest prawidłowe, jednak częstości promieniowania nie są ograniczone z góry, więc aby uzyskać poprawną zależność, potrzebny jest wzór kwantowy.

Dodatkowa proporcjonalność do \nu^2 we wzorze Plancka jest sprawą czysto techniczną: w trójwymiarowym pudełku liczba dozwolonych drgań (czyli fal stojących) rośnie jak pole powierzchni kuli.

Student Einstein, profesor Weber i diamenty (1906)

Albert Einstein miał trudności z dostaniem się na studia. Po pierwsze nie miał matury: gimnazjum w Monachium porzucił – nie podobała mu się sztywna atmosfera, a i on niezbyt się podobał nauczycielom. „ …Kiedy tak siedzisz w tylnej ławce i się uśmiechasz, to sama twoja obecność podważa mój autorytet wobec reszty uczniów” – oświadczył mu jeden z profesorów. Po drugie należało zdać egzaminy wstępne z wielu przedmiotów: historii politycznej, historii literatury, biologii, chemii, języków i rysunku. Einstein, wybitny z fizyki i matematyki, miał braki w niektórych innych przedmiotach. Zdawał na politechnikę w Zurychu, ETH (która nie wymagała świadectwa maturalnego) i oblał. Poradzono mu, aby poszedł jeszcze na rok do szkoły. Miał czas: skończył dopiero 16 lat. Za drugim razem go przyjęto. Były to w zasadzie studia nauczycielskie, po których otrzymywało się tytuł uprawniający do uczenia w szkole średniej.

Na politechnice zetknął się z profesorem Heinrichem Weberem, który prowadził wiele kursów i laboratoriów. Einstein z początku wyrażał się o Weberze w samych superlatywach, profesor także cenił zdolnego studenta. Po jakimś jednak czasie ich stosunki mocno się ochłodziły. Einstein przestał chodzić na wykłady, odkąd stwierdził, że niczego nowego się nie uczy – Weber za zbyt nowomodną uznawał np. teorię elektromagnetyzmu Maxwella, liczącą sobie ponad dwadzieścia lat. W dodatku student Einstein w pracowni chciał przeprowadzać wszystkie eksperymenty po swojemu, co prowadziło do konfliktów. Na domiar złego tytułował profesora: Herr Weber zamiast obowiązkowego Professor Weber. Toteż z pracy dyplomowej otrzymał zaledwie 4,5 (w skali do sześciu) i była to najsłabsza z jego ocen. Z takim dyplomem miał niewielkie szanse na zostanie na uczelni. Nigdy chyba Weberowi nie darował, bo wspominał go zawsze źle, co u Einsteina było raczej rzadkie. Prawdopodobnie profesor nie mógł wybaczyć studentowi, że ten śmie być od niego inteligentniejszy – zjawisko znane nie tylko w Zurychu z roku 1900.

Weberowi więc zawdzięczamy ten urzekający biografów obrazek: oto urzędnik Biura Patentowego w Bernie publikuje w 1905 roku przełomowe odkrycia z fizyki, których dokonał po godzinach pracy (osiem godzin, sześć dni w tygodniu). Oprócz teorii względności, będącej niemal w całości jego dziełem, Einstein zajmuje się w tym czasie wieloma zagadnieniami, wystarczyłoby ich na dorobek bardzo wybitnego uczonego (zresztą nagrodę Nobla dostał właśnie za te „inne” prace, teoria względności wydawała się bowiem kontrowersyjna).

W roku 1906 ukazuje się przełomowa praca Einsteina na temat ciepła właściwego kryształów, która do dziś stanowi rozdział podręczników. W pracy tej raz jeszcze skrzyżowały się losy profesora Webera i młodego doktora Einsteina.

Ciepło właściwe to ciepło potrzebne, aby ogrzać ustaloną ilość substancji o jeden stopień. Wiadomo było, że wiele kryształów ma takie same ciepło właściwe, jeśli tylko przeliczymy je na mol substancji. Prawidłowość ta została od nazwisk odkrywców nazwana prawem Dulonga-Petita. Ciepło molowe równe jest 3R=5,96 cal/mol·K (takich jednostek używał Einstein na wykresie poniżej). Stała R jest to stała gazowa, znana ze szkoły. Prawidłowość tę można wyjaśnić teoretycznie, jeśli przyjąć, że atomy w krysztale drgają wokół położeń równowagi. Gdy dostarczamy kryształowi energię (a więc go ogrzewamy), drgania stają się coraz intensywniejsze. Przy pewnej wielkości tych drgań kryształ się zdestabilizuje i ciało się stopi.Każdy atom stanowi więc oscylator powiązany z sąsiednimi atomami: jak układ mas połączonych sprężynami. Fizyka klasyczna (tzw. zasada ekwipartycji energii) przewiduje taką jak trzeba wartość ciepła właściwego. Tę elegancką zgodność teorii z eksperymentem popsuły (jak zwykle) dalsze eksperymenty. Okazało się, że niektóre kryształy, np. diament, mają ciepło właściwe dużo mniejsze niż 6 cal/mol·K. W latach siedemdziesiątych wieku XIX zagadnieniem tym zajmował się Heinrich Weber, wówczas asystent Hermanna von Helmholtza w Berlinie. Ciepło właściwe diamentu, a także niektórych innych ciał stałych wyraźnie maleje wraz z temperaturą. Jak się wydaje, także i tego faktu Einstein nie dowiedział się od Webera.

Niewielu fizyków zdawało sobie sprawę, jak bardzo ambarasujący są te wyniki eksperymentalne. Chodziło nie o jakąś anomalię budowy niektórych kryształów, lecz o kwestię zupełnie fundamentalną. Fizyka klasyczna, przedkwantowa, nie potrafi tego zjawiska wyjaśnić. W roku 1906 nie było też żadnej fizyki kwantowej ani poczucia, że jest ona do czegoś potrzebna. Kilka lat wcześniej Max Planck w innym zagadnieniu (promieniowania termicznego) przyjął założenie, że drgające ładunki emitujące promieniowanie nie mogą mieć dowolnej energii, lecz tylko pewien ich ciąg – energia jest skwantowana. Było to jednak inne zagadnienie, niemające wiele wspólnego z drganiami atomów w krysztale diamentu oprócz tego, że w obu przypadkach chodziło o drgania. Einstein przyjął, że drgania atomów w krysztale diamentu są skwantowane: tzn. atom taki nie może drgać z dowolną amplitudą, dozwolone są jedynie pewne skokowe jej wartości. To tak jakby wahadło mogło mieć tylko pewien skwantowany ciąg amplitud. Brzmi to cokolwiek szaleńczo, ale okazało się prawdą. Jeśli przyjmiemy, że energia drgań atomu może być równa tylko n\varepsilon, gdzie n jest liczbą naturalną (od zera począwszy), a \varepsilon pewną stałą energią charakterystyczną dla kryształów diamentu, to można wyjaśnić, czemu ciepło właściwe maleje z temperaturą. Przy wysokich temperaturach skok energii o \varepsilon staje się niezauważalny i wracamy do klasycznego wyniku.(*)

annalen_1906

Obliczenia Einsteina zostały na wykresie zestawione z wynikami uzyskanymi przez Webera. Einstein wykorzystał dane z powszechnie znanych tablic, nic nie wskazuje, aby przy tej okazji zwrócił się osobiście do Webera. Temperatura jest podana jako ułamek pewnej temperatury charakterystycznej dla diamentu i równej 1300 K. Ciepło właściwe wyrażone jest w kaloriach i dąży do wartości bliskiej 6 przy wysokich temperaturach. Wyjątkowość diamentu polega jedynie na tym, że owa charakterystyczna temperatura jest stosunkowo wysoka, nie potrzeba więc pomiarów w bardzo niskich temperaturach, aby wykryć odchylenia od prawa Dulonga-Petita.

Praca Einsteina na temat drgań w kryształach jest świetnym przykładem czegoś, co Arthur Koestler nazywał „sleepwalking”: chodzeniem przez sen. Twórcy teorii kwantowej: Planck, Einstein, Bohr poruszali się jak somnabulicy chodzący po dachu, którzy jakimś cudem nie robią sobie krzywdy i docierają szczęśliwie do nieznanego celu. Einstein miał dużo szczęścia w przypadku tej pracy: dane dla innych kryształów i ogólnie dla niskich temperatur nie potwierdzają jego zbyt uproszczonego modelu (choć niezbędne poprawki są czysto techniczne, chodzi o tzw. model Debye’a). Miał jednak rację co do zasady: drgania są skwantowane i w niskich temperaturach przejawia się to w cieple właściwym. Miał też rację przewidując, że ciepło właściwe powinno dążyć do zera, gdy temperatura dąży do zera bezwzględnego. Jego wyniki wykorzystał W. Nernst, formułując III zasadę termodynamiki.

(*)

Pokażemy, jak obliczyć ciepło właściwe kryształu. Korzystamy z podstawowego prawa fizyki statystycznej, że prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie o energii E_n jest równe

p_n=\dfrac{\exp(-E_n/kT)}{Z}.

Z jest tu pewną stałą zależną od temperatury, ale nie od energii E_n; k to stała Boltzmanna, T – temperatura. Z warunku unormowania prawdopodobieństw (suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1) otrzymujemy

Z=\exp(-E_1/kT)+\exp(-E_2/kT)+\ldots

W naszym przypadku średnią energię drgającego atomu możemy zapisać jako

E=p_1 E_1+p_2 E_2+\ldots=\dfrac{\varepsilon\exp(-\varepsilon/kT)+2\varepsilon\exp(-2\varepsilon/kT)+\ldots}{\exp(-\varepsilon/kT)+\exp(-2\varepsilon/kT)+\ldots}.

Jest to w zasadzie średnia ważona z energii, w której wagami są eksponenty. Musimy wysumować dwa szeregi: w liczniku i w mianowniku. Prostszy jest ten w mianowniku, oznaczając x=\exp(-\varepsilon/kT) otrzymujemy dla mianownika

Z=1+x+x^2+\ldots=\dfrac{1}{1-x}.

Jest to suma szeregu geometrycznego. Sumę w liczniku możemy uzyskać albo różniczkując ostatnią równość po x, albo zauważając, że można ją zapisać jako

x+2x^2+3x^3+\ldots=
=(x+x^2+x^3+x^4+\ldots)+(x^2+x^3+x^4+\ldots)+(x^3+x^4+\ldots)+\ldots=
=xZ+x^2 Z +x^2 Z+\ldots=x(1+x+x^2+\ldots)Z=xZ^2.

Ostatecznie więc dostajemy energię średnią drgającego atomu równą

E=\dfrac{\varepsilon}{\exp\frac{\varepsilon}{kT}-1}

Ciepło właściwe przedstawione na wykresie to pochodna tej funkcji po temperaturze.

Darwin czyli pochwała faktów

„Wie pan, wszystko jest rozwojem. Ta zasada wiecznie idzie naprzód. Najpierw była nicość, potem coś było; potem, zapomniałam co – chyba muszle, potem ryby; a potem my przyszliśmy, zaraz, czy to my byliśmy potem? Mniejsza z tym, w końcu byliśmy my, a następną zmianą będzie coś znacznie od nas wyższego, coś ze skrzydłami. Ach, już wiem: byliśmy rybami, a potem staniemy się chyba krukami. Musi pan to koniecznie przeczytać”.

Słowa te wypowiada lady Constance, bohaterka powieści Benjamina Disraelego Tancred; or, The New Crusade („Tankred, czyli nowa krucjata”). Książka ukazała się w roku 1847, a więc na dwanaście lat przed publikacją O powstawaniu gatunków Darwina. Niektórzy sądzili, że teoria ewolucji powstała już dawno, większość uczonych uważała ją za ostatecznie obalony przesąd.

W 1847 roku Darwin już od dziesięciu lat rozwijał swoją wersję teorii ewolucji, niemal nikt jednak wtedy o tym nie wiedział. Był uczonym prywatnym, mógł robić, co chciał, nie musiał się więc spieszyć, czekał, aż pewne myśli dojrzeją. Chciał także zebrać więcej faktów.

Od młodości był kolekcjonerem faktów i okazów przyrodniczych. Najpierw była podróż na pokładzie okrętu „Beagle”, znalazł się tam, gdyż porucznik FitzRoy obawiał się o zdrowie psychiczne i chciał mieć towarzysza podróży, drugiego dżentelmena, z którym mógłby rozmawiać przy obiedzie. Darwin był więc pasażerem, który sam płacił za podróż i miał wolną rękę w ekspedycjach przyrodniczych na ląd, wszystkie okazy zebrane w trakcie podróży były jego prywatną własnością. Po powrocie został członkiem kilku towarzystw naukowych, ale i to były organizacje prywatne, utrzymywane ze składek członków. Nigdy nie pracował zarobkowo. Nie musiał, gdyż majątku ojca wystarczyło na swobodne życie. Nie oznaczało to jednak żadnych ekstrawagancji, Darwin był oszczędny, skrzętnie prowadził rejestr wydatków i przychodów, niczego nie wyrzucał, szkoda mu było pozbywać się nawet kartek papieru zapisanych tylko po jednej stronie. Majątek w jego sferze pełnił rolę wskaźnika moralności: kto był zdrów, pomnażał talenty dzięki pracowitości i wstrzemięźliwości. Darwin przyznawał, że nigdy nie potrafił wypić kieliszka wina bez wyrzutów sumienia. Nie było mowy o wydatkach dla kaprysu. Staranność w prowadzeniu interesów sprawiła, że podwoił odziedziczony majątek, pod koniec jego życia wart on był 300 000 tysięcy funtów (jakieś 15 milionów dzisiejszych funtów).

W roku 1842 sprowadził się z rodziną do Down (dzisiaj Downe), niewielkiej wioski pod Londynem i tam spędził następne czterdzieści lat, niewiele wyjeżdżając. Gabinet, dom, najbliższa okolica stały się na długie miesiące i lata jego całym światem.

Rozdz 8 Gabinet Darwina

Nad kominkiem wisiały trzy portrety: Josepha Hookera, botanika i najbliższego przyjaciela, Charlesa Lyella, geologa i mistrza, z którym różnił się w poglądach na ewolucję, oraz Josiaha Wedgwooda, wspólnego dziadka Darwina i jego żony Emmy, założyciela fabryki porcelany i fajansu, przedsiębiorcy i członka Towarzystwa Księżycowego, skupiającego uczonych i wynalazców. Drugi dziadek i przyjaciel Wedgwooda, Erasmus Darwin, głosił teorię ewolucji jeszcze przed Lamarckiem.

Charles Darwin, dżentelmen bez obowiązków, był człowiekiem iście tytanicznej pracy. Jego namiętność naukowa była niewiarygodna, nie potrafiły go powstrzymać nawet choroby, a przechorował całe lata. Twierdził, że dzięki złemu zdrowiu mniej czasu zmarnował na spotkania towarzyskie (które zresztą bardzo lubił).

Publikację swej teorii odkładał, ponieważ stale wydawała mu się niegotowa, wciąż miał nadzieję zebrać więcej faktów i zrozumieć więcej konkretnych szczegółów. Nauka jest bowiem niczym, jeśli nie jest strukturą, powiązaniem, a właściwie całą siecią powiązań, które wcale nie są oczywiste. Przed Newtonem nikt nie widział związku między ruchami planet a spadaniem jabłek z jabłoni. Przed Darwinem uczeni dziwili się, czemu różne organizmy są tak znakomicie przystosowane do swego trybu życia albo czemu np. wszystkie kręgowce mają zbliżoną budowę anatomiczną. Doniosłość pracy naukowej zmierzyć można tym, jak bardzo należało w jej wyniku zmienić podręczniki. Czasem chodzi o wzmiankę w jakiejś monografii, rzadko o cały rozdział, a już tylko zupełnie wyjątkowe są teorie, które zmuszają do napisania podręczników od nowa. Tak było w przypadku Newtona, tak było także w przypadku Darwina.

Co w takim razie było głównym wkładem Darwina? Przede wszystkim spostrzeżenie, że świat ożywiony nie wymaga Centralnego Planisty, który najpierw wszystko sobie ułożył, a potem wykonał. Nawet największe „cuda natury”, jak np. oko ludzkie, znakomicie przystosowane do zbierania i przetwarzania sygnałów świetlnych, nie świadczą o żadnym projekcie, są wynikiem kolejnych stopniowych udoskonaleń, które zwiększały możliwość przeżycia organizmów. Ewolucja przypomina nieco w działaniu technikę: kolejne urządzenia są niewielkim ulepszeniem (a czasami pogorszeniem) poprzednich, trwają jednak te, które najlepiej służą swemu celowi, zmieniając się z czasem coraz bardziej: pomyślmy, jak zmieniał się wygląd telefonu czy komputera. Żywe organizmy są więc wytworem historii, która być może nie musiała tak się potoczyć, ale skoro była taka, a nie inna, ma wpływ na chwilę bieżącą. Miewamy np. czkawkę, bo pochodzimy od ryb i płazów, które oddychały zarówno skrzelami (w wodzie), jak i prymitywnymi płucami (na lądzie), zostały nam po nich mięśnie zaciskające głośnię, które czasem uruchamiają się w kłopotliwy sposób. Itd. itp. Wymiar czasu został wprowadzony do nauki. Nie tylko biologia nabrała dzięki temu sensu, a być może stała się właśnie w tym momencie jednolitą dziedziną wiedzy, która ma swój jednolity kościec intelektualny – własny paradygmat. Myślenie historyczne istotne bywa i w innych dziedzinach: np. w kosmologii. W XX wieku zrozumiano, że swoją historię ma nie tylko życie na Ziemi, ale i Układ Słoneczny, a także cały wszechświat. Niektórzy, jak Lee Smolin, sądzą, że i w fizyce należy dopuścić jakiś rodzaj myślenia historycznego czy ewolucyjnego. To sprawa otwarta. Nie ulega jednak kwestii, że dzięki Darwinowi myślimy dziś inaczej. Może nawet, pamiętając o swych zwierzęcych przodkach, nauczymy się kiedyś lepiej panować nad swymi niektórymi skłonnościami. Ludzie przez wieki wierzyli, że są uczynieni na boże podobieństwo i jednocześnie dopuszczali się wszelkich możliwych okropieństw (często zresztą w imię boże, ostatecznie okrzyk: „Allahu akbar” nie różni się tak bardzo od: „Bij, kto w Boga wierzy”). Może przydałby się nieco trzeźwiejszy punkt widzenia: jesteśmy sprytnymi zwierzętami, które świetnie potrafią wykorzystywać swoje otoczenie, a często i współplemieńców. Należałoby z tego wyciągać wnioski, zamiast opowiadać o duszy nieśmiertelnej.

Isaac Newton: Jak przyciąga kula? (1685)

Od czasów Galileusza wiadomo, że jabłko spada z jabłoni z przyspieszeniem g, zwanym przyspieszeniem ziemskim. Z tym samym przyspieszeniem spadają także wszystkie inne ciała (pomijamy opór powietrza).

Newton nie był pierwszym uczonym, który wpadł na pomysł, że ciężar jabłka to siła, z jaką jest ono przyciągane przez Ziemię i że ta sama siła odpowiada także za obserwowane ruchy Księżyca i planet. Siła taka powinna być odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości – na co wskazywały znane fakty astronomii. Ale to Isaac Newton pierwszy ściśle wykazał, że trzy prawa Keplera ruchu planet będą spełnione, jeśli na planety działa ze strony Słońca siła tego rodzaju. Co więcej, w roku 1684 Newton wysunął przypuszczenie, że każda cząstka materii przyciąga każdą inną cząstkę z siłą proporcjonalną do mas obu cząstek i odwrotnie proporcjonalną do ich odległości. Oznacza to, że planety przyciągają Słońce (które także musi się poruszać), oraz przyciągają się nawzajem, a więc prawa Keplera są słuszne tylko w pierwszym przybliżeniu. Miało się okazać, że prawo grawitacji jest kluczem do rozwiązania najstarszego i najważniejszego problemu nauk ścisłych: problemu ruchu planet. Mechanika i właściwie cała fizyka powstały niejako przy okazji rozwiązywania tego starego problemu. Można powiedzieć, że nasza cywilizacja wzięła się z prób zrozumienia, jak poruszają się planety: połączenie precyzyjnych obserwacji z abstrakcyjną matematyką okazało się niezmiernie silnym narzędziem intelektualnym.

Prawo grawitacji rodziło jednak pewien problem szczegółowy. Planety są daleko od siebie, możemy je w praktyce uważać za punkty materialne. Jak jednak będzie wyglądało przyciąganie jabłka przez Ziemię? Jabłko jest bowiem przyciągane przez każdy kawałek Ziemi: swój wkład będą tu miały wszystkie części Ziemi, na rysunku zaznaczyliśmy trzy przykładowe kawałki naszego globu; należałoby jednak dodać wkłady od nieskończonej liczby takich małych kawałków. Nie możemy założyć, że Ziemia jest punktowa, gdy razem z jabłkiem jesteśmy na jej powierzchni.

gauss5

Należy więc zbadać, jak przyciąga kula. Nasza planeta jest kulista (w pierwszym przybliżeniu), można też przypuszczać, że składa się z koncentrycznych powłok sferycznych o stałych gęstościach: wewnątrz najcięższe, a potem coraz lżejsze (przypominałoby to cebulę, gdyby cebula była kulista). Przyciąganie jabłka przez Ziemię jest więc sumą przyciągania przez każdą z tych warstw, na które należałoby rozbić Ziemię.

Jeśli potrafimy obliczyć, jak przyciąga powłoka sferyczna (o jednorodnej gęstości), to będziemy potrafili obliczyć przyciąganie całej Ziemi. Poniżej przedstawiamy dwa sposoby obliczenia tego przyciągania.

Pierwsze rozumowanie nie pochodzi od Newtona, jest raczej w duchu fizyki dziewiętnastowiecznej, która wprowadziła pojęcie pola: w każdym punkcie przestrzeni mamy do czynienia z polem grawitacyjnym. Natężenie tego pola to prostu przyspieszenie, z jakim spadałoby w tym miejscu ciało puszczone swobodnie.

Przypomnijmy pojęcie kąta bryłowego \Delta\omega. Gdy na sferze o promieniu r wybierzemy pewną powierzchnię o polu \Delta S, a następnie połączymy środek sfery z brzegami naszej powierzchni, wytniemy kąt bryłowy równy

\Delta\omega=\dfrac{\Delta S}{r^2}.

gauss0

Powierzchnia może być dowolna, gdy weźmiemy całą powierzchnię sfery, kąt bryłowy wyniesie

\Delta\omega=\dfrac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi.

Weźmy teraz pewną sferę oraz punkt materialny P (o masie \Delta m) położony wewnątrz niej. Obliczymy jakie jest średnie przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni sfery (sfera jest czysto matematyczna).

gauss3

Na powierzchni sfery obieramy jakiś mały element powierzchni o dowolnym kształcie i polu \Delta S. Element ten odległy jest od P o r. Zakreślając z punktu P kawałek powierzchni sferycznej o tym promieniu, otrzymamy małą powierzchnię o polu \Delta S'. Powierzchnia ta jest rzutem \Delta S. Zgodnie z definicją kąta bryłowego, mamy

\Delta S'=\Delta\omega r^2=\Delta S\cos\theta.

Przyspieszenie grawitacyjne g pochodzące od punktu materialnego P będzie na naszym elemencie powierzchni sfery równe

g=\dfrac{G\Delta m}{r^2}.

G oznacza stałą grawitacyjną. Mnożąc oba ostatnie wyrażenia stronami, otrzymujemy

g\Delta S'= G\Delta m \Delta\omega=g\Delta S\cos\theta=g'\Delta S,

gdzie g' oznacza składową przyspieszenia zwróconą do środka naszej kuli. Przyjrzyjmy się równości

G\Delta m \Delta\omega=g'\Delta S.

Po lewej stronie mamy kąt bryłowy widziany z P, po prawej przyspieszenie g' i dowolny element powierzchni naszej sfery. Możemy wyobrazić sobie, że całą sferę dzielimy na na bardzo wielką liczbę n małych powierzchni i wszystkie te przyczynki sumujemy. Kąt bryłowy z lewej strony będzie równy 4\pi :

G\Delta m 4\pi=g'_1\Delta S_1+\ldots+g'_n\Delta S_n .

Wyobraźmy sobie teraz, że mamy więcej takich punktów materialnych jak P. Dla każdego możemy napisać wyrażenie jak wyżej i wszystko to dodać: po lewej stronie powiększy się masa, po prawej dostaniemy sumę przyspieszeń grawitacyjnych od każdej masy z osobna, czyli całkowite przyspieszenie grawitacyjne:

Gm 4\pi=g'_1\Delta S_1+\ldots+g'_n\Delta S_n .

Ostatnia równość jest słuszna dla dowolnego rozkładu masy wewnątrz sfery(*). Symbole g'_i oznaczają składową radialną (tzn. wzdłuż promienia) przyspieszenia grawitacyjnego. Zastosujmy to wyrażenie do powłoki kulistej koncentrycznej z naszą sferą i zawartej wewnątrz niej. Powłoka kulista musi przyciągać jednakowo w każdym punkcie sfery. Wartość przyspieszenia po prawej stronie jest więc stała i możemy napisać:

Gm 4\pi=g'(\Delta S_1+\ldots+\Delta S_n)=g'4\pi R^2,

gauss6

gdzie R jest promieniem naszej sfery. Zatem przyspieszenie grawitacyjne dawane przez dowolną powłokę kulistą (jej promień jest nieistotny, musi być tylko zawarta wewnątrz naszej sfery) równe jest

g=\dfrac{Gm}{R^2},

mogliśmy opuścić prim, gdyż korzystamy z faktu, że przyspieszenie grawitacyjne powłoki kulistej musi być skierowane wzdłuż promienia, obliczana przez nas składowa to w tym przypadku całe przyspieszenie.

Przyspieszenie grawitacyjne jest więc takie, jakby cała masa powłoki skupiona była w środku geometrycznym. Zatem chcąc obliczyć przyspieszenie ziemskie na powierzchni globu, wystarczy do ostatniego wzoru wstawić masę i promień Ziemi. Fakt, że otrzymuje się prawidłowy wynik świadczy o tym, że rozkład mas wewnątrz Ziemi w dobrym przybliżeniu jest kulistosymetryczny.

(*) Uzyskaliśmy w zasadzie prawo Gaussa dla powierzchni sferycznej: strumień pola przez powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do masy wewnątrz tej powierzchni. Należałoby jeszcze pokazać, że masy położone na zewnątrz nie mają wpływu na nasze wyrażenie.

A teraz rozumowanie Newtona. Prop. LXXI, Liber I, Principia 1687, s. 193: Cząstka położona na zewnątrz powłoki sferycznej przyciągana jest do środka tej sfery siłą odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości tej cząstki od owego środka.

gauss newton

Dwa położenia cząstki względem sfery oznaczone są P oraz p. PL oraz PK są dwiema blisko położonymi prostymi, interesuje nas przyciąganie małego pasa powierzchni sfery położonego między prostymi IQ i HH’ zaznaczonymi na niebiesko (rysunki należałoby obrócić odpowiednio wokół PB pb). Na drugim rysunku punkt p położony jest w innej odległości, proste pl oraz pk wybieramy tak, żeby HK=hk oraz IL=il. Dalej wszystko już będzie łatwe. Z konstrukcji wynika, że SD=sd oraz SE=se. Ponieważ nasze proste PK i PL są bardzo blisko siebie, więc DF=SD-SE=sd-se=df (słuszne w granicy). Obliczamy teraz stosunek sił działających na p oraz P ze strony odpowiednich pasów naszej powłoki sferycznej. Każda z sił jest wprost proporcjonalna do pola powierzchni pasa (czyli masy), która z kolei proporcjonalna jest do iloczynu promienia IQ oraz długości łuku RH (analogicznie dla drugiego). Siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości PI. Obliczamy tylko jej rzut na prostą PB, bo tylko ta składowa jest różna od zera, gdy dodamy przyczynki od różnych części danego pasa. Rzut taki otrzymamy, mnożąc siłę przez cosinus kąta PFS, czyli PF:PS. Stosunek sił wygląda więc następująco

\dfrac{F_p}{F_P}=\dfrac{PI^2}{pi^2}\cdot \dfrac{hi\cdot iq}{HI\cdot IQ}\cdot\dfrac{PS\cdot pf}{PF\cdot ps}.

Trójkąty prostokątne PRI oraz PDF są podobne, tak samo dla drugiego rysunku. Mamy stąd

\dfrac{PI}{PF}\cdot\dfrac{pf}{pi}=\dfrac{RI\cdot df}{DF\cdot ri}=\dfrac{RI}{ri}=\dfrac{HI}{hi}.

W przedostatniej równości skorzystaliśmy z DF=df. W ostatniej korzystamy z podobieństwa małych trójkątów RHI oraz rhi. Kąty RHI oraz rhi są kątami między cięciwą a styczną do okręgu: dla jednakowych cięciw w jednakowych okręgach kąty te są równe.

Trójkąty prostokątne PIQ oraz PSE mają wspólny kąt ostry, są więc podobne. Tak samo będzie dla drugiego rysunku. Otrzymujemy zatem

\dfrac{PI}{PS}\cdot\dfrac{ps}{pi}=\dfrac{IQ}{SE}\cdot\dfrac{se}{iq}=\dfrac{IQ}{iq}.

W ostatniej równości korzystamy z SE=se.

Mnożymy teraz stronami dwa ostatnie równania, otrzymując

\dfrac{PI^2}{pi^2}\cdot\dfrac{pf\cdot ps}{PF\cdot PS}=\dfrac{HI}{hi}\cdot\dfrac{IQ}{iq}.

Mamy stąd

\dfrac{PI^2}{pi^2}\cdot\dfrac{hi\cdot iq}{HI\cdot IQ}=\dfrac{PF\cdot PS}{pf\cdot ps}.

Podstawiając to wyrażenie do stosunku sił, otrzymamy ostatecznie

\dfrac{F_p}{F_P}=\dfrac{PS^2}{ps^2}.

Sumując wkłady od poszczególnych pasków, na jakie możemy podzielić sferę, otrzymamy taką samą zależność również dla całkowitych sił przyciągania. W zasadzie, kiedy już mamy konstrukcję z rysunku, cała reszta jest trywialnym zastosowaniem podobieństw trójkątów. Niesamowity dowód. Podejrzewam, że Newton wymyślił tę konstrukcję i natychmiast zobaczył, że to już daje dowód, wystarczyło go tylko zapisać. D.T. Whiteside, który wiedział wszystko o matematyce Newtona, podkreślał, że twierdzenie to nie było szczególnie trudne z punktu widzenia autora Principiów, choć może nieco zaskakujące.

Oczywiście, pasy sferyczne muszą być nieskończenie cienkie i musi ich być nieskończenie wiele, aby to rozumowanie działało. Nie jest to wbrew staraniom Newtona typowa geometria starożytnych Greków (choć pewnie Archimedes zrozumiałby, o co chodzi). Naprawdę obliczamy tu pewną całkę, unikając mówienia o tym głośno.