Hendrik Casimir: Czy próżnia może przyciągać? (1948)

Najważniejszym odkryciem kosmologicznym końca wieku XX było stwierdzenie, że ekspansja wszechświata przyspiesza. Można ten fakt opisać za pomocą energii próżni – zwanej zwykle ciemną energią. Pojęcie energii próżni pojawiło się w fizyce wraz z teorią kwantową zastosowaną do pola elektromagnetycznego. W roku 1948 Hendrik Casimir wykazał, że energia próżni może zostać zmierzona, a właściwie zmierzyć można jej zmiany. Dwie nienaładowane płytki z przewodnika umieszczone blisko siebie powinny się przyciągać. W zasadzie nie ma w tym nic szczególnie dziwnego: są to siły van der Waalsa wynikające z faktu, że wewnątrz przewodników mamy swobodne ładunki, które mogą się przemieszczać. Ponieważ ładunki różnoimienne się przyciągają, a jednoimienne odpychają, a siła zależy od odległości, więc wypadkowa siła wcale nie musi równać się zeru. Casimir wraz z Dirkiem Polderem wyprowadzili kwantowy wzór na oddziaływanie atomu z nienaładowaną płytką przewodnika. Wynik okazał się prosty, Casimir zajął się więc jeszcze prostszym przypadkiem dwóch równoległych płytek idealnego przewodnika. Okazało się, że siłę można w tym przypadku znaleźć, odwołując się jedynie do energii próżni. Podejście takie zasugerował mu Niels Bohr. Pokażemy w skrócie, o co chodzi. Wyobraźmy sobie dwie równoległe płytki z przewodnika. Pole elektryczne powinno w przewodniku znikać. Wobec tego dopuszczalne konfiguracje pola w obszarze między przewodnikami, to fale, które są równe zeru na obu przewodnikach.

harms_anim

 

Dla uproszczenia nie będziemy rozpatrywać innych fal niż prostopadłe do naszych powierzchni, rozpatrujemy właściwie przypadek jednowymiarowy, ale nie ma to wpływu na istotę rozumowania. Takie fale stojące powstają na przykład w strunie zamocowanej na obu końcach. Istnienie takich fal jest właściwie najstarszym odkryciem fizyki matematycznej, bo przypisywane jest Pitagorasowi. Instrumenty muzyczne wytwarzają dźwięk będący złożeniem pewnej liczby takich dopuszczalnych fal: słyszymy to jako wysokość dźwięku – odpowiadającą fali o najniższej częstotliwości f oraz jego barwę – zależną od fal o częstotliwościach 2f, 3f, 4f, \ldots. Nasze fale stojące mają całkowitą liczbę połówek fali na odległości x między płytkami:

n\dfrac{\lambda_n}{2}=x \mbox{ zatem } f_n=nf=\dfrac{nc}{2x},

gdzie \lambda_n jest długością fali, f_n – częstotliwością, a c – prędkością rozchodzenia się fal. W naszym przypadku chodzi o fale elektromagnetyczne, więc c powinno być prędkością światła. Klasycznie biorąc, każda z dopuszczalnych fal może mieć dowolne natężenie. Chcąc obliczyć energię pola elektromagnetycznego w obszarze między płytkami, powinniśmy zsumować wkłady do energii od każdego z dopuszczalnych rodzajów fali stojącej. Nasze pole elektromagnetyczne należy traktować jako kolekcję niezależnych oscylatorów (czegoś w rodzaju wahadła albo masy na sprężynie) o częstotliwościach danych przez ciąg wartości nf. Nie jest to oczywiste, ale udowadnia się ten fakt w podręcznikach. Energia jest sumą energii tych oscylatorów: gdy nie występuje jakiś rodzaj fal, to jego wkład do energii powinien być równy zeru, gdy amplituda danego rodzaju fali jest duża, to i jego wkład do energii powinien być duży.

W tym miejscu przychodzi pora na użycie fizyki kwantowej. Otóż kwantowy oscylator nie może być zupełnie nieruchomy. Wynika to z zasady nieoznaczoności Heisenberga. Wyobraźmy sobie np. elektron zamknięty w dołku potencjału. Nieruchomy oscylator oznaczałby w tym przypadku, że możemy zmierzyć jednocześnie położenie elektronu (dokładnie na dnie dołka) oraz jego pęd (nieruchomy – więc pęd równy zeru). Takie stany są niemożliwe w przyrodzie. Dlatego np. dwuatomowa cząsteczka, w której atomy drgają, zbliżając się i oddalając od siebie, drga nawet w stanie o najmniejszej energii. Z tego samego powodu kryształ złożony z atomów także drga, nawet w temperaturze zera bezwzględnego. Nasze oscylatory są bardziej abstrakcyjne, ale stosuje się do nich ta sama zasada. Najniższa energia oscylatora o częstotliwości f równa jest w fizyce kwantowej

E=\dfrac{1}{2}hf \mbox{ (*),}

gdzie h jest stałą Plancka. Pojawia się ona we wszystkich wzorach fizyki kwantowej. Ponieważ w zwykłych jednostkach SI jest ona rzędu 10^{-33}, energie dane powyższym wzorem będą bardzo małe. Możemy na to spojrzeć inaczej: stała Plancka informuje o wielkościach atomowych, a układ jednostek SI jest dopasowany do masy, długości itp. w skali ludzkiej. To my jesteśmy ogromni w skali atomowej.

Energia próżni między naszymi płytkami powinna być sumą wyrażeń typu (*) dla każdego rodzaju drgań:

E(x)=\dfrac{hc}{4x}+2 \dfrac{hc}{4x}+3 \dfrac{hc}{4x}+\ldots=\dfrac{hc}{4x}(1+2+3+\ldots),

widzimy, że dostaliśmy szereg liczb naturalnych, który jest rozbieżny. Na szczęście wiemy, że szereg ten ma sumę równą -\frac{1}{12}, toteż możemy napisać:

E(x)=-\dfrac{hc}{48x}.

Energia rośnie wraz z odległością płytek, znaczy to, że się one przyciągają (siła to pochodna ostatniego wyrażenia po x). Podobny wynik otrzymuje się dla realistycznego przypadku płytek w trójwymiarowej przestrzeni, będą się one przyciągać z siłą zależną od odległości w czwartej potędze, a nie w drugiej jak u nas.
Efekt Casimira został potwierdzony doświadczalnie, co jest trudne, bo w praktyce chodzi o bardzo niewielkie odległości i znikome siły. Nie ma jednak wątpliwości, że jest to realne zjawisko. Bardziej dyskusyjny jest jego status teoretyczny: niektórzy traktują go jak dowód na realność energii próżni. W ten sposób efekt ten mógłby mieć coś wspólnego z kosmologią i ciemną energią. Rzecz jest jednak dyskusyjna. Por. np. R. L. Jaffe, Casimir effect and the quantum vacuum,„Phys.Rev. D”, t. 72, 021301(R) (2005)

PS. Niefrasobliwa matematyka, którą tu zastosowaliśmy, może zostać uzasadniona poprzez regularyzację, tak samo jak zrobiliśmy to poprzednio. Dołączenie do szeregu energii kwantowych jakiegoś czynnika obcinającego przy dużych energiach ma pewien sens: skrajnie krótkie fale nie powinny wpływać na to, co dzieje się w odległości x: one po prostu „nie widzą”, że płytki są od siebie w skończonej odległości. Moglibyśmy więc wprowadzić jakąś maksymalną energię, W powyżej której wkłady są silnie tłumione, np. mnożone przez czynnik

\exp{(-\dfrac{nhc}{4xW})}. Teraz sumę energii można zapisać:

E(x)=\dfrac{hc}{4x}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\exp{(-\dfrac{nhc}{4xW})}.

Sumę ostatniego szeregu można obliczyć ściśle. Dla dużych wartości W nasza suma przyjmie postać (por. wyrażenie \tilde{s}_1 w poprzednim wpisie):

E(x)=\dfrac{hc}{4x}\left(\dfrac{4Wx}{hc}\right)^2-\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{hc}{4x}+\ldots

E(x)=\dfrac{4W^2x}{hc}-\dfrac{hc}{48x}+\ldots,

gdzie niewypisane wyrazy maleją wraz ze wzrostem W. Kłopotliwy jest pierwszy wyraz, który dąży do nieskończoności, gdy W rośnie. Można się go pozbyć zestawiając układ trzech płytek w odległościach x oraz L-x od siebie, przy czym wyobrażamy sobie, że L\gg x.

casimir

Suma energii próżni między pierwszą oraz drugą parą płytek wynosi

E(x)+E(L-x)=\dfrac{4W^2L}{hc}-\dfrac{hc}{48x}-\dfrac{hc}{48(L-x)}+\ldots.

Pierwszy, potencjalnie nieskończony składnik nie zależy od x, a więc i od położenia środkowej płytki. Trzeci składnik jest bardzo mały, gdy L>>x. Zostaje więc tylko drugi składnik. Odejmowanie potencjalnie nieskończonych wyrażeń od siebie to częsta praktyka w kwantowej teorii pola, jeśli zachować ostrożność, nie rodzi to kłopotów.

Czy 1+2+3+…=-1/12? Ramanujan, Euler i Tao o szeregach rozbieżnych


Szeregi stosowane są powszechnie do obliczania wartości funkcji (np. w kalkulatorze czy językach programowania). Najprostszy jest szereg geometryczny, np.

1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\ldots=\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.

Można to zilustrować obrazkiem z Wikipedii:

geometric_series

W lutym 1913 roku Srinivasa Ramanujan w swoim drugim liście do matematyka z Cambridge Godfreya Harolda Hardy’ego pisał: „Drogi Panie, z ulgą przejrzałem pański list z 8 lutego 1913 roku. Spodziewałem się od pana odpowiedzi podobnej do tej, jakiej udzielił mi pewien profesor matematyki z Londynu, prosząc, bym przestudiował porządnie Szeregi nieskończone Bromwicha i unikał pułapek szeregów rozbieżnych. (…) Napisałem mu, że według mojej teorii suma nieskończonej liczby wyrazów szeregu

1+2+3+4+\ldots=-\dfrac{1}{12}

 Jeśli to panu powiem, uzna pan, że nadaję się do domu wariatów. Rozwodzę się nad tą sprawą jedynie po to, aby pana przekonać, że nie zrozumie pan moich metod dowodu, jeśli opis mego sposobu postępowania ograniczony będzie tylko do jednego listu”.

W notatniku Ramanujana znajduje się następujące wyprowadzenie równości z listu:

Ramanujan_Notebook_1_Chapter_8_on_1234_series

c=1+2+3+4+5+\ldots

4c=0+4+0+8+0+12+\ldots.

Wobec tego, odejmując stronami, otrzymamy

-3c=1-2+3-4+5+\ldots.

Sumę tego ostatniego szeregu można obliczyć, korzystając z równania

\dfrac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\ldots \mbox{ (*)}

Podstawiając x=1, otrzymamy

-3c=\dfrac{1}{(1+1)^2}=\dfrac{1}{4} \mbox{, zatem } c\equiv s_1=\boxed{-\dfrac{1}{12}}.

Ramanujan miał bardzo niekonwencjonalne wykształcenie matematyczne, lecz z pewnością nie był szaleńcem. Nie wiedział wtedy, że już w XVIII wieku jego wielki poprzednik Leonard Euler uważał takie rozumowanie za uprawnione. Oczywiście, dodając kolejne liczby naturalne, nie otrzymamy żadnej granicznej wartości – szereg jest rozbieżny. Euler sądził jednak, że skoro równanie (*) słuszne jest dla |x| <1, to rozsądnie jest przedłużyć jego ważność także na przypadek x=1. Suma taka nie istnieje w sensie zwykle przyjmowanym w dzisiejszych podręcznikach matematyki, ale w końcu w matematyce wolno robić wszystko, co nie prowadzi do sprzeczności, więc może być sensowne także operowanie szeregami takimi jak szereg liczb naturalnych. Euler znał wiele takich równań, otrzymanych w podobny sposób, np.

s_0=1^0+2^0+3^0+\ldots=1+1+1+1+\ldots=\boxed{\dfrac{1}{2}}

s_2=1^2+2^2+3^3+\ldots=\boxed{0}.

Można te szeregi traktować jako szczególne przypadki szeregu definiującego funkcję zeta Riemanna:

\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}

Jeśli s traktujemy jako rzeczywiste, to musi zachodzić s>1, aby tak zdefiniowana funkcja istniała. Można jednak rozszerzyć dziedzinę na liczby zespolone i okazuje się, że jedynym punktem, w którym zeta nie jest określona, jest s=1. W ten sposób nasze szeregi można powiązać z wartościami funkcji zeta, które można obliczyć innymi metodami. Dostaje się wówczas

s_n=\zeta(-n).

Można też do tych dziwnych szeregów podejść w sposób bardziej elementarny. Nie są one zbieżne, bo wyraz ogólny rośnie, zamiast odpowiednio szybko maleć do zera. Można by temu zaradzić zmieniając nieco definicję naszych szeregów, np. mnożąc ich wyrazy przez odpowiednio szybko malejącą funkcję, tak dobraną, aby szereg uzbieżnić. Mówi się w takich przypadkach, że regularyzujemy wyrażenie. Weźmy funkcję wykładniczą, która maleje dla dużych n: \eta(n)=\exp(-n/N), gdzie N jest stałym parametrem.

ekxponenty

Przedstawiliśmy dwie takie funkcje dla N=1 oraz N=10. (Wartości na osi pionowej są w zapisie wykładniczym, liczba po E to wykładnik potęgi do jakiej należy podnieść 10.) Teraz dla każdego dodatniego N szeregi są zbieżne. Im większa wartość N, tym dłużej funkcja jest bliska jedynki, a więc tym lepiej przybliża wyjściowe sumy s_n.

Zregularyzowane sumy można obliczyć ściśle (**), dostaniemy wówczas odpowiednio:

\tilde{s}_0=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\eta(n/N)=N+\boxed{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{12N}-\dfrac{1}{720N^3}+\ldots,

\tilde{s}_1=\sum\limits_{k=0}^{\infty}n\eta(n/N)=N^2\boxed{-\dfrac{1}{12}}+\dfrac{1}{240N^2}+\ldots,

\tilde{s}_2=\sum\limits_{k=0}^{\infty}n^2 \eta(n/N)=2N^3+\boxed{0}-\dfrac{1}{120N}+\ldots.

Pierwszy wyraz po prawej stronie zachowuje się tak, jak można tego oczekiwać: gdy sumujemy dużo jedynek, to wynik jest proporcjonalny do N. Przy wyższych potęgach dostajemy wyższy wykładnik przy N. Ostatnie wypisane wyrazy po prawej stronie maleją wraz z N, a więc stają się coraz mniej istotne, jeszcze szybciej maleją następne wyrazy, których nie wypisaliśmy. Wyniki Eulera i Ramanujana odnajdujemy natomiast w wyrazie od N niezależnym, który równy jest odpowiednio \frac{1}{2}, -\frac{1}{12}, 0. (W szczególności widzimy, że znak tego wyrazu może być dowolny, stanowi on poprawkę do dominującego wyrazu rosnącego z N; sumując dodatnie wartości dostajemy główny wyraz dodatni, a poprawki już niekoniecznie.)

Procedura ta jest uproszczoną wersją podejścia z bloga Terence’a Tao, znakomitego matematyka, medalisty Fieldsa. W istocie jest ona ogólniejsza, niż się może wydawać na pierwszy rzut oka. Można bowiem wziąć jakąkolwiek gładką funkcję regularyzującą (o zwartym nośniku), która dla x=0 przyjmuje wartość 1 i wyniki będą podobne. Zmienią się jedynie współczynniki przy dodatnich oraz ujemnych potęgach N. Natomiast wyrazy nie zawierające N , pozostaną niezmienione. A więc w pewnym dobrze określonym sensie nasze rozbieżne szeregi mają coś wspólnego z wartościami Eulera i Ramanujana, choć nie są to ich sumy, chyba że umówimy się je tak nazywać. Nasze pojęcie jest ogólniejsze, bo można pokazać, że taka regularyzacja nic nie szkodzi prawdziwym szeregom zbieżnym, nie mają one po prostu wyrazu rosnącego z N.

Co więcej, okazuje się, że tak „akademickie” rozważania mają zastosowanie fizyczne. Fizycy bardzo często mają do czynienia z szeregami rozbieżnymi. Przykładem jest tzw. efekt Casimira: gdy dwa kawałki nienaładowanego przewodnika przyciągają się wzajemnie. Napiszę o nim wkrótce.

(*) Równość tę można uzyskać różniczkując równanie

\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\ldots,

słuszne dla |x|<1.

(**) Oznaczmy x=\frac{1}{N}. W przypadku \tilde{s}_0 otrzymamy wówczas szereg geometryczny:

1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\ldots=\dfrac{1}{1-e^{-x}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{12}-\dfrac{x^3}{720}+\ldots

Różniczkując obie strony tej równości po -x, otrzymujemy wyrażenia na zregularyzowane sumy dla kolejnych potęg. Jeśli się komuś nie chce liczyć, może wpisać do Wolfram alpha „series 1/(1-exp(-x))”, a następnie kazać mu kilka razy zróżniczkować wynik. Współczynniki rozwinięcia wyrażają się przez liczby Bernoulliego.

 

Niebezpieczna idea Darwina (1859)

Świat wyobrażano sobie zawsze jako coś uporządkowanego i celowego. Pitagorejskie słowo κόσμος – kosmos ma takie właśnie znaczenie. Grecy wierzyli, że Ktoś, np. demiurg z Timajosa, musiał uładzić świat w taką, a nie inną całość. Nie inaczej sądził w XVIII wieku Isaac Newton, gdy pisał:

„Ten najbardziej elegancki układ Słońca, planet i komet nie mógł powstać bez zamysłu i władztwa istoty inteligentnej i potężnej. I jeśli gwiazdy stałe są środkami podobnych układów, to wszystkie one będą zbudowane zgodnie z podobnym zamysłem i będą podlegać Jednemu, zwłaszcza że światło gwiazd stałych jest takiej samej natury co światło Słońca i wszystkie układy wysyłają światło ku wszystkim innym. I aby układy gwiazd stałych nie pospadały wzajemnie na siebie pod działaniem grawitacji, porozmieszczał je na ogromnych odległościach jeden od drugiego. On rządzi wszystkimi rzeczami nie jako dusza świata, lecz jako pan wszystkiego. I z powodu swego władztwa nazywany jest Panem Bogiem Pantokratorem (tzn. władcą powszechnym)” [Principia, wyd. 2, 1713].

Newtonowi chodziło o regularności w Układzie Słonecznym: planety poruszają się po orbitach zbliżonych do okręgów, w mniej więcej jednej płaszczyźnie i wszystkie w tym samym kierunku. Oznaczało to jego zdaniem, że Stwórca w chwili początkowej nadał planetom ściśle określone prędkości i położenia, po czym dalej układ ten poruszał się pod działaniem zwykłych praw mechaniki – w tym prawa powszechnego ciążenia, odkrytego przez Newtona.

solar_system_formation
Później Laplace zasugerował, że nie trzeba angażować Stwórcy, wystarczy, aby Układ Słoneczny powstał z obłoku wirującej materii – wtedy wyróżniona płaszczyzna i ruch w tę samą stronę przestają być „cudem”.
Domena „cudów”, czyli tego, czego nauka nie potrafi wyjaśnić, ograniczono stopniowo do biologii. Jak wyjaśnić budowę oka albo nadzwyczajną szybkość geparda i gazeli, piękno pawiego ogona, a wreszcie ludzki rozum? Nauka jest bezsilna, należy więc przywołać rozumnego Autora, który stoi za tymi wszystkimi faktami. Był to tzw. argument z projektu: obiekt zaprojektowany musi mieć autora. Gdy znajdziemy na wrzosowisku zegarek, wiemy, że nie spadł on z nieba. Fred Hoyle sformułował podobną myśl następująco:

Na złomowisku znajdują się porozrzucane w nieładzie wszystkie części Boeinga 747. Przypadkiem nad złomowiskiem przechodzi trąba powietrzna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po jej przejściu znajdziemy tam poskładanego w całość i gotowego do lotu boeinga? Zaniedbywalnie małe, nawet gdyby tornado miało wiać nad całym wszechświatem wypełnionym takimi złomowiskami [The Intelligent Universe].

Przed Darwinem najbardziej do odpowiedzi zbliżył się David Hume. W wydanych w roku 1779 (na wszelki wypadek pośmiertnie!) Dialogach o religii naturalnej. Pojęcie „religii naturalnej” nie brzmiało wówczas jak oksymoron, lecz dotyczyło argumentów za istnieniem Boga, jakie można wyprowadzić z obserwacji świata. Chodziło więc o dyskusję na płaszczyźnie czysto naukowej, nie wchodząc w prawdy objawione. Nawet tak bystry krytyk jak Hume miał kłopot z obaleniem argumentu z projektu.

Kiedy oglądamy statek, cóż za wygórowaną ideę wypadałoby nam powziąć o pomysłowości cieśli, który zbudował machinę tak skomplikowaną, tak użyteczną i piękną! I jakaż spotkać by nas musiała niespodzianka, gdyby okazało się, że to nierozgarnięty rzemieślnik, co naśladował innych i brał ślepy wzór ze sztuki, która po wielu próbach, błędach, poprawkach i deliberacjach doskonaliła się stopniowo przez długie wieki. W ciągu wieczności spartaczono może i sfuszerowano wiele światów, zanim udało się wymyślić ten oto system; wiele roboty poszło może na marne; podjęto może wiele bezowocnych prób, a powolny, lecz stały postęp w sztuce wyrabiania światów ciągnął się nieskończenie długo. [Dialogi o religii naturalnej, przeł. A. Hochfeldowa].

Argumenty te padły jednak w dyskusji i nie były traktowane jako bliskie prawdy. Dopiero Charles Darwin, osiemdziesiąt lat później, zasugerował rozwiązanie: w ogóle nie potrzeba inteligencji, wystarczy proces doboru naturalnego. Potomstwo staje się nieco lepiej przystosowane od przodków, a każdy złożony projekt „inżynierski” można rozbić na mnóstwo drobnych etapów. Była to idea niezwykle rewolucyjna, gdyż odwracała uświęcony tradycją sposób myślenia. Być może idea taka mogła powstać dopiero w czasach masowej produkcji, gdy robotnik nie musiał umieć wiele, ponieważ wykonywał tylko jedną drobną czynność, nie był już rzemieślnikiem, który potrafi w swoim fachu wszystko i uczył się tego latami. Z pewnością nie była to jednak idea oczywista w chwili powstania. Darwin zaproponował, aby na każdy organizm spojrzeć jak na zegarek czy inny artefakt, tyle że ukształtowany stopniowo przez bardzo bardzo wiele pokoleń.

Jeśli na żywy organizm nie będziemy spoglądali tak, jak dzicy patrzą na okręt – jak na coś, co całkowicie przewyższa ich zdolność pojmowania; jeśli każdemu tworowi przyrody przyznamy długą przeszłość; jeśli każdą złożoną strukturę i każdy instynkt będziemy rozpatrywać jako sumę wielu pojedynczych, pożytecznych dla posiadacza właściwości, podobnie jak w każdym wielkim wynalazku techniki widzimy wspólny efekt wytężonej pracy, doświadczenia, rozumowania, a nawet błędów wielu robotników; jeśli każdą istotę organiczną tak będziemy rozpatrywać, o ileż ciekawsza (mówię to z własnego doświadczenia) stanie się wtedy historia naturalna! [C. Darwin, O powstawaniu gatunków, przeł. Sz. Dickstein i J. Nusbaum]

Ta niebezpieczna idea Darwina uniepotrzebniała za jednym zamachem istnienie Stwórcy, a także wiele naszych przesądów (mylonych często z kulturą) – bo skoro ewolucyjnie ukształtować się mogło nasze ciało, to także i nasze uczucia, umysł, język i w konsekwencji cała kultura, a nawet nauka – które mogą być potraktowana jako przedłużenie pewnej ewolucji (już kulturowej, a nie genetycznej).

darwin32

Rysunek z czasopisma „Fun” z roku 1872. Podpis głosił: „Doprawdy, panie Darwin, niech pan mówi, co chce o mężczyźnie [człowieku], ale moje uczucia proszę zostawić w spokoju” (w tym właśnie roku ukazała się książka O wyrazie uczuć u człowieka i zwierzątThe Expression of the Emotions in Man and Animals).

Nie ma w każdym razie potrzeby, by Boeing 747 złożył się sam pod działaniem trąby powietrznej – w jakimś sensie on złożył się sam, budując najpierw swoich konstruktorów, a przedtem wszystko, co było potrzebne, aby ci konstruktorzy zaistnieli.
Zadziwiające, jak często i jak wielu ludzi nie chce się pogodzić z takim sposobem podejścia. Słyszy się np., że to „redukcjonizm”. Lecz wszystkie największe sukcesy nauki brały się z redukcjonizmu, począwszy od doświadczeń Galileusza, który nie przejmował się tym, czy doświadczenia w pracowni są secundum naturam – „w zgodzie z naturą”, czy contra naturam – „przeciw naturze”. Prawdopodobnie należy drążyć właśnie tam, gdzie wyczuwa się opór. Wielkość Charlesa Darwina leży w tym, że zupełnie zignorował zastrzeżenia swych uczonych kolegów, pragnąc, aby historia naturalna stała się ciekawsza, tzn. lepiej zrozumiała i bogata w powiązania. Bez wielkiej przesady można powiedzieć, że biologia jako jednolita nauka zaczyna się dopiero od Darwina.

Filozoficzne konsekwencje idei Darwina omawia klasyczna książka Daniela C. Dennetta, Darwin’s Dangerous Idea: Evolution and the Meanings of Life.