Christiaan Huygens: idealny pomiar czasu i zegar wahadłowy (1673)

Huygens był najwybitniejszym uczonym epoki przed Newtonem. Miał tego pecha, że urodził się w złym momencie: za późno albo za wcześnie na przełomowe odkrycia. Te wcześniejsze należały do Galileusza, późniejsze – do Newtona. Coś jednak zostało. M.in. to Huygens pierwszy obliczył przyspieszenie odśrodkowe, zbadał prawa zderzeń sprężystych, wysunął ideę, że światło jest falą oraz odkrył prawdziwy kształt pierścieni Saturna i wyjaśnił, czemu widać je pod różnym kątem w różnych latach.

640px-Huygens_Systema_Saturnium

To żadne odkrycie – wystarczy spojrzeć w teleskop, powie ktoś. No tak, ale Huygens sam sobie zbudował teleskop, który umożliwił te obserwacje. Poprzednie teleskopy nie pozwalały rozstrzygnąć, co właściwie znajduje się wokół Saturna.

Głównie jednak był fizykiem matematycznym. Od czasu Galileusza wiadomo było, że wahadło może służyć do pomiaru czasu, ale pierwsze zegary wahadłowe skonstruował według wskazówek Huygensa zegarmistrz Salomon Coster.

_small

Zegar Costera z roku 1657 i książka Huygensa z roku 1673 (w książce opisał fakty znane mu od lat, stąd ta różnica dat). Muzeum Boerhaave w Lejdzie.

Aż do początków XX wieku były to najdokładniejsze zegary. Także zrozumienie matematyki wahadła zawdzięczamy Huygensowi. Spróbujemy to opisać.

Galileusz sądził, że wahadło ma stały okres zależny od długości, może więc służyć do pomiaru czasu. Sprawa nie jest jednak taka prosta. Spróbujemy opisać ją z dzisiejszego punktu widzenia, a potem przedstawimy obliczenie okresu dla wahadła idealnego – ten drugi rachunek będzie w duchu Huygensa, ale w bardziej dla nas zrozumiałych oznaczeniach. Znowu pojawi się magiczna krzywa XVII wieku – cykloida, o ktorej już pisaliśmy.

Simple_harmonic_oscillator

(Źródło: Oleg Aleksandrov)

Zaczniemy od innego układu: masy na sprężynie. Jeśli wychylić taką masę z położenia równowagi, zacznie poruszać się ruchem drgającym. Jest to przykład oscylatora harmonicznego, układu niezmiernie w fizyce ważnego: wszelkie zegary, nawet te atomowe, zawierają jakiś oscylator, za pomocą oscylatorów opisuje się drgania atomów w kryształach, a także pole elektromagnetyczne. Przyjrzyjmy się masie na sprężynie. Gdy wychylimy ją o {x} z położenia równowagi, siła wypadkowa działająca na naszą masę będzie równa {F=-kx}, gdzie {k} jest pewną stałą opisującą sztywność sprężyny. Co taka siła oznacza? Ano tyle, że siła skierowana jest przeciwnie do wychylenia. Im dalej wychylimy sprężynę, tym większa będzie siła {F} przywracająca równowagę. Ponieważ siła to masa {m} razy przyspieszenie {a}, możemy napisać,

\displaystyle ma=-kx \mbox{ albo inaczej: } a=-\left(\frac{k}{m}\right) x. \mbox{ \hspace{1cm} (1)}

Z matematycznego punktu widzenia równanie to opisuje wszystko, co możemy powiedzieć o ruchu masy na sprężynie (czyli oscylatora). Wyobraźmy sobie, że znaleźliśmy jakieś rozwiązanie tego równania {x=f(t)}. Intuicyjnie jasne jest, że powinno ono być okresowe. Co się stanie, jeśli rozpatrzymy nowy ruch {x=2f(t)}? W każdej chwili wychylenie naszej masy jest dwa razy większe niż poprzednio. Zatem prędkość będzie dwa razy większa niż poprzednio. A także przyspieszenie. Czyli lewa i prawa strona równania (1) są dwa razy większe, równanie jest więc nadal spełnione. Okres w pierwszym i drugim przypadku będzie taki sam: wystarczy pomyśleć o powrotach do położenia równowagi, jeśli dla jakiegoś {T} mamy {f(T)=0}, to także {2f(T)=0}. Uklad taki jak masa na sprężynie ma taki sam okres, bez względu na to, czy wychylimy go na początku mocniej, czy słabiej. Matematycy mówią, że jest to układ liniowy.

pendulum

Przejdźmy teraz do przypadku wahadła. Na początek zauważmy, że wahadło nie potrzebuje sznurka, wystarczy, że jakaś masa (np. koralik nawleczony na drut) ślizga się wzdłuż odpowiednio wygiętego drutu. Rolę długości wahadła pełni promień łuku. Przyspieszenie grawitacyjne wzdłuż drutu równe jest {g\sin\gamma} (dokładnie tyle samo otrzymuje się w podręcznikach fizyki dla masy na równi pochyłej). Dostajemy więc równanie

\displaystyle a=-g\sin\gamma.

Kąt {\gamma} możemy wyrazić przez odległość od najniższego punktu {x} oraz długość wahadła {l}, otrzymujemy

\displaystyle a=-g\sin\frac{x}{l}.

Teraz równanie nie jest liniowe, bo jeśli {x=f(t)} jest jego rozwiązaniem, to {x=2f(t)} już nie, ponieważ {\sin 2\alpha\neq2\sin\alpha}. Oznacza to, że okres wahadła zależy od amplitudy drgań. Dlaczego w takim razie Galileusz był taki dumny z odkrycia, że okres drgań nie zależy od amplitudy? Chodzi o to, że dla niewielkich kątów można sinus zastąpić kątem (w radianach):

\displaystyle a=-g\sin\frac{x}{l}\approx -\left(\frac{g}{l}\right) x.

Pomijając sens wielkości w nawiasie (co dla matematyka jest nieistotne), dostajemy znowu równanie (1). Zatem przy niewielkich wychyleniach wahadło zachowuje się jak układ liniowy, tzn. jego okres nie zależy od amplitudy drgań. Inaczej mówiąc, nadaje się ono na element zliczający czas, ponieważ zawsze drga z takim samym okresem.

Nasuwa się naturalne pytanie: jak zmienić kształt krzywej, żeby okres nie zależał od amplitudy? Odpowiedź jest bardzo prosta: musi to być taka krzywa, żeby długość łuku {x} (mierzona od najniższego położenia) była proporcjonalna do sinusa kąta {\gamma}. Niech np. {x=4r\sin\gamma} (gdzie {r} jest pewną stałą), otrzymujemy wówczas:

\displaystyle a=-g\sin\gamma=-\left(\frac{g}{4r}\right)x.

A więc znowu dostajemy równanie (1) i okres nie zależy od wielkości drgań. Łatwo wykazać, że krzywą, która spełnia taki warunek jest cykloida; szczegóły poniżej w (*).

Oznacza to, że z każdego punktu cykloidy punkt zjeżdża w jednakowym czasie. Mówiąc z grecka, cykloida to tautochrona (a także brachistochrona)

Huygens nie odkrył tego faktu w taki właśnie sposób, jego rozumowania były dość zawiłe, potem je udoskonalił, ale i tak dla nas ówczesny sposób zapisywania wszystkiego przez proporcje geometryczne jest wysoce nieprzejrzysty.

Obliczymy jeszcze czas wznoszenia się ciała po łuku cykloidy (będzie on oczywiście równy czasowi ześlizgiwania się). Tym razem jest to uwspółcześniona wersja rozumowania Huygensa. Załóżmy, że w najniższym punkcie prędkość ciała równa jest {v_0}. Z geometrii cykloidy wynika, że na wysokości {h} kąt nachylenia {\gamma} spełnia równanie {h=2r\sin^2\gamma} por. (d) niżej. Prędkość ciała na wysokosci {h} spełnia równanie {v^2=v_0^2-2gh}, gdzie {g} jest przyspieszeniem ziemskim. Równanie to wynika np. z zasady zachowania energii: Huygens o tym wiedział, chociaż wtedy to się tak nie nazywało. Rozpatrzmy teraz maleńki kawałek drogi wzdłuż cykloidy {dx}. Czas potrzebny na przebycie tego kawałka drogi to

\displaystyle d\tau=\frac{dx}{v}=\frac{4r\cos\gamma d\gamma}{\sqrt{v_0^2-2gh}}=\frac{4r\cos\gamma d\gamma}{\sqrt{v_0^2-2g\cdot 2r\sin^2\gamma}}. \mbox{ \hspace{2cm}(2)}

W drugiej równości skorzystaliśmy z wyrażenia (a) dla {dx}. Wygląda to dość zawile, ale można zapisane wyrażenie uprościć. Gdyby tak wyrażenie pod pierwiastkiem miało postać: {\sqrt{v_0^2-v_0^2\sin^2\beta }}, moglibyśmy skorzystać z jedynki trygonometrycznej. Spróbujmy to osiągnąć: definiujemy nową zmienną {\beta}, która spełnia równanie:

\displaystyle v_0 \sin\beta=\sqrt{4gr} \sin\gamma .\mbox{\hspace{2cm}(3)}

W najwyższym punkcie toru ciało się zatrzymuje, czyli jego prędkość równa się zeru. Łatwo sprawdzić, że oznacza to, że {\beta} zmienia się w przedziale od {0} (na dnie) do {\frac{1}{2}\pi.} Przyrost sinusa to cosinus razy przyrost zmiennej, por. (b):

\displaystyle d(\sin z)=\cos z dz.

Jeśli zastosujemy to do równania (3) i podstawimy do wyrażenia (2) na czas, stanie się mały cud i uzyskamy:

\displaystyle d\tau=\sqrt{\frac{4r}{g}}d\beta.

Funkcje trygonometryczne znikły, podobnie jak prędkość {v_0}: nic więc nie zależy od prędkości początkowej, a zatem i od wysokości, na jaką ciało się wzniesie – tak być powinno, bo czas ma być niezależny od amplitudy drgań. Sumując wkłady od wszystkich małych elementów cykloidy, otrzymamy czas wypadkowy:

\displaystyle \tau=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{4r}{g}}.

(Suma przyrostów kąta \beta równa się {\frac{1}{2}\pi.}) Okres wahań obejmuje cztery takie cykle, więc okres wahadła cykloidalnego równy jest

\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{4r}{g}}.

Huygens na tym nie skończył, lecz wykazał, że wahadło takie możemy uzyskać w następujący sposób.

pendulum2

Nić wahadła OAP odwija się wzdłuż cykloidalnych „policzków” – w rezultacie koniec wahadła zakreśla cykloidę. Ostatecznie pomysł ten nie przyjął się w praktyce, w zegarach wahadło wychyla się o niewielki kąt.

Krzywe u góry to też cykloidy o tym samym promieniu. Widzimy, że w najniższym punkcie długość wahadła równa się {l=4r}, a więc nasz wzór daje ten sam wynik, co zwykły szkolny wzór na okres wahadła.

(*) Niezbędne rachunki.

cycloid-2

Wyobraźmy sobie koło o promieniu r toczące się od punktu {\pi} do S. Załóżmy, że toczy się ono z prędkością jednego radiana na sekundę, więc po czasie {t} obróciło się o kat {t}. Kąt {\gamma=\angle PSQ=\frac{1}{2} t} jako kąt wpisany. W chwili {t} punkt {S} jest nieruchomy, a punkt {P} obraca się wokół niego z prędkością kątową 1 radiana na sekundę. Wobec tego droga przebyta przez punkt na cykloidzie w krótkim czasie {dt} równa jest

\displaystyle dx= SP \cdot dt=2r\cos\gamma \cdot dt=4r\cos\gamma d\gamma. \mbox{ \hspace{2cm}(a)}

Przyrost {\sin z} to

\displaystyle d(\sin z)=\sin(z+dz)-\sin z=\cos z\sin (dz)+\sin z\cos (dz)-\sin z\approx

\displaystyle \approx\cos z dz, \mbox{ (b)}

ponieważ sinus dla małych kątów możemy zastąpić kątem, a cosinus – jedynką.

Wobec tego z (a) wynika, że

\displaystyle s=4r\sin\gamma . \mbox{\hspace{2cm}(c)}

Patrząc jeszcze raz na rysunek cykloidy, mamy

\displaystyle h=2r-P'Q=2r-SP\cos\gamma=2r- 2r\cos^2\gamma=2r\sin^2\gamma.\mbox{\hspace{2cm}(d)}

Oczy szeroko zamknięte: Charles Darwin i jego uczeni koledzy

Czemu akurat Charles Darwin odkrył teorię ewolucji? Właściwie różne teorie ewolucji pojawiały się już wcześniej. Darwin zaproponował tylko kolejną, lepszą naukowo i opartą na większej liczbie faktów. Ważną rolę odegrało jego przekonanie, że człowiek nie jest oddzielony od zwierząt nieprzekraczalną barierą. Jak się wydaje, brało się to u niego częściowo z nieprzyswojenia nauk religijnych, a częściowo z intuicji i bezpośredniego obcowania ze zwierzętami: był człowiekiem wsi, paniczem, który namiętnie polował przez cały sezon łowiecki. Z czasem zresztą zabijanie zwierząt przychodziło mu coraz trudniej, coraz bardziej dostrzegał w nich naszych krewnych, nawet jeśli bardzo dalekich. Poglądy takie obce były wszystkim niemal gorliwym chrześcijanom, a tacy stanowili większość uczonych brytyjskich.

„Wymarli teologowie ścielą się u kolebki każdej z nauk, jak zduszone węże u kolebki Herkulesa. (…) Kościół to Burbonowie świata myśli. Niczego się nie uczy i niczego nie potrafi zapomnieć, i choć w chwili obecnej jest oszołomiony i lęka się wykonać jakiś ruch, to tak jak zawsze gotów jest się upierać, że pierwszy rozdział Księgi Rodzaju to alfa i omega wszelkiej zdrowej nauki…” [T.H. Huxley, 1860, recenzja O powstawaniu gatunków Ch. Darwina].

Huxley dość brutalnie formułuje myśli, ale może dlatego, że przyszło mu żyć w kraju, gdzie wpływy Kościoła na cały establishment były ogromne: począwszy od profesorów w Oxfordzie i Cambridge, przez najróżniejsze stanowiska politycze, a na prasie skończywszy, wszędzie dominował Kościół anglikański i jego ortodoksja. Ludzi o innych poglądach tolerowano, lecz niełatwo dopuszczano do elity. Pomijając jednak brutalność, Huxley ma rację: niejednokrotnie w historii badacze wkraczali na terytorium zastrzeżone dla teologów i za każdym razem okazywało się, że Biblia nie ma nic wspólnego z rzetelną wiedzą. Ci, którzy kierowali się skrupułami religijnymi, zazwyczaj przegrywali jako badacze. Jeśli Bóg coś chciał nam przekazać, to z pewnością nic na tematy naprawdę ważne, gdy chcemy zrozumieć świat i samych siebie: jak zbudowany jest wszechświat; jak funkcjonują żywe organizmy; na czym polega dziedziczenie, po co nam taki duży mózg.

Charles Darwin nie tylko nie był wojującym antyklerykałem, ale nie był nawet wojującym ewolucjonistą. W ogóle nie miał wojowniczej natury, obracał się wśród gentlemanów, a więc nie wypadało mu się afiszować ze skrajnymi poglądami. Miał zresztą początkowo zostać pastorem, po to studiował w Cambridge – plebanię na wsi łatwo byłoby pogodzić z zainteresowaniem przyrodą, pełno było w Anglii takich pastorów-przyrodników, czasem zresztą bywali oni poważnymi badaczami, a nie tylko hobbistami. W zasadzie Darwin chciał wierzyć we wszystkie opowieści biblijne – tak byłoby prościej. Jednak jako przyrodnik nie bardzo mógł. Z jego własnych studiów geologicznych wynikało, że kontynenty są bardzo stare, nie ma mowy o biblijnym wieku 6 000 lat. Darwin potrzebował milionów lat, dlatego kwestia wieku Ziemi była dla niego ważna. Zwierzęta i rośliny ulegały transmutacjom – tak wtedy nazywano ewolucję. Gatunki ulegały zmianom, widać to było na przykład na wyspach Galapagos, gdzie różne wyspy miały swoje odmiany żółwi słoniowych, ptaków i roślin. Czasami nawet kilka zbliżonych gatunków zasiedlało to samo środowisko: wyglądało to raczej na skutek działania praw, a nie jakąś szczególnie ożywioną aktywność Stwórcy. „Zgadzamy się, że satelity, planety, słońca, wszechświat, całe systemy wszechświatów rządzone są za pomocą praw, ale pragniemy, aby każdy najdrobniejszy owad został stworzony za pomocą osobnego aktu, od razu w gotowej postaci, zaopatrzony w instynkty, swoje miejsce w przyrodzie i zasięg występowania (…) Człowiek dziki nie podziwia maszyny parowej, lecz kawałek kolorowego szkiełka i podziwia jego stwórcę. Nasze zdolności są bardziej odpowiednie do tego, by uznać za cudowną budowę chrząszcza raczej niż wszechświata” [Notatnik N, s. 36]. Na działanie praw w przyrodzie, także ożywionej, panowała w zasadzie zgoda wśród brytyskich przyrodników. Punktem spornym było, w którym miejscu kończy się nauka, a zaczynają prawdy objawione, na temat których powinniśmy jedynie, pełni rewerencji, milczeć. Nikt np. nie chciał zgodzić się, aby nawet hipotetycznie rozważać pochodzenie człowieka od zwierząt. Darwin od początku nie miał z tym żadnego kłopotu. Wielebny William Whewell, w swoim czasie Second Wrangler w matematyce, geolog, teolog, filozof, członek i potem przełożony Trinity College w Cambridge, był w roku 1838 przewodniczącym Królewskiego Towarzystwa Geologicznego. Geolodzy zajmowali się również skamieniałościami, właśnie odkryto nowe małpy kopalne we Francji i w Indiach. Philippe Charles Schmerling kilka lat wcześniej odkrył szczątki neandertalczyka (jak wiemy to dziś). Popularne czasopisma spekulowały na temat wyglądu owego człowieka kopalnego.

lemagasin1

„Le magasin universel” (1838)

Czy wszystko to mogło zmienić poglądy na pochodzenie człowieka? Zdaniem Whewella: nic – początki życia i człowieka to nie problemy dla geologii, czy jakiejkolwiek innej nauki. „Gradacja formy pomiędzy człowiekiem a innymi zwierzętami, gradacja, którą wszyscy dostrzegamy i która nie powinna nas dziwić tylko dlatego, że ukazał się jakiś nowy jej aspekt, jest jedynie drobną i, jak sądzę, nieistotną cechą, gdy przyglądamy się wielkiemu zagadnieniu pochodzenia człowieka” [„Proceedings of the Geological Society”, t. 2 (1838), s. 642]. A więc wszystko to, co widzimy, patrząc na małpy żywe i kopalne, wcale nie znaczy, że są one do nas podobne, człowiek to zupełnie inna opowieść.

Editorial_cartoon_depicting_Charles_Darwin_as_an_ape_(1871)

Wielebny Orangutan, karykatura z „The Hornet”, 1873.

Darwin, sekretarz tego Towarzystwa, pozwolił sobie na polemikę z Whewellem, ale jedynie w notatniku: „Jeśli jednak wszystkie inne zwierzęta powstały w taki sposób, to człowiek byłby cudem” [Notatnik C, s. 55] – chodziło mu o to, że trudno sobie wyobrazić działanie ewolucji ograniczone tylko do innych gatunków, lecz nie obejmujące człowieka. Teoria ewolucji była wciąż w fazie eksperymentu myślowego i znamy ją z tego okresu jedynie z fragmentów w notatnikach. Darwin chodził do ZOO przyglądać się samicy orangutana Jenny, obserwował też zachowanie własnych dzieci: kiedy chwytają, na co reagują, jakie wykonują grymasy itd. Skoro ludzie byli częścią natury, to może także ich wierzenia religijne są skutkiem ewolucji? „Gdyby myślenie (a właściwie pragnienia) były dziedziczne? Trudno sobie wyobrazić, aby cokolwiek oprócz budowy mózgu było dziedziczne (…) – miłość boga jako skutek budowy [mózgu], och ty materialisto!” [Notatnik C, s. 166] – strofował sam siebie Darwin. Teoria ewolucji dawała mu sekretną przyjemność spoglądania na fakty w nowym oświetleniu: skąd się biorą grymasy i miny u ludzi – czy małpy mają podobne? Dlaczego ręka człowieka i skrzydło ptaka są tak podobne w budowie? Wiele faktów znano przed nim, Darwin jedynie spojrzał na nie z nowego punktu widzenia. Tam gdzie wszyscy widzieli kaczkę, on dostrzegał królika.

philsc1

 

Thomas Kuhn zwrócił kiedyś uwagę, jak ważna jest taka zmiana punktu widzenia.

Długo zwlekał z ogłoszeniem swoich poglądów. Książka O pochodzeniu gatunków miała powstać dwadzieścia lat później. Czy obawiał się reakcji uczonych i Kościoła? Z pewnością nie chciał sławy skandalisty. Przez wiele lat pracował nad setkami szczegółów, żeby jego teoria, kiedy już się ukaże, była czymś więcej niż błyskotliwym pomysłem. Takim ewolucjonistą wizjonerem był jego dziadek Erasmus, Charles chciał wywołać rzeczową dyskusję wśród ekspertów. Mógł się także obawiać, że wrogie przyjęcie teorii transmutacji odbije się na statusie jego żony i dzieci. Religia była między małżonkami drażliwym punktem, Emma głęboko wierzyła w życie przyszłe i cierpiała, myśląc, że zostanie w nim oddzielona od męża. Byli zgranym małżeństwem, choć ich związek w niczym nie przypominał dzisiejszych miłości. Kiedy poprosił ją o rękę, była szczerze i autentycznie zaskoczona, wcześniej bowiem nic nie wskazywało na takie zamiary. Znali się od dziecka, byli kuzynami, mieli wspólnego dziadka Erasmusa, ale nigdy nie widziała, aby ją wyróżniał – aż do dnia oświadczyn. Darwin nie chciał sprawiać żonie przykrości, ale nie mógł też zmienić swoich przekonań. Zwlekał. Mikołaj Kopernik czekał trzydzieści lat z opublikowaniem swej teorii, więc dwadzieścia lat Darwina nie jest rekordem.

Podejrzewam, że był jeszcze jeden powód długiego zwlekania Darwina: chciał dłużej w samotności oglądać swojego królika, nie musząc wyjaśniać, czemu to nie jest kaczka.

Księżycowy test Isaaca Newtona (1670, 1687)

Około roku 1670 Isaac Newton zebrał już sporo przemyśleń na temat mechaniki. Znał III prawo Keplera, podające zależność między wielkością orbity planety, a jej okresem obiegu. Sam nauczył się obliczać, o ile ciało poruszające się po okręgu odchyla się od linii prostej: dzisiaj mówimy o przyspieszeniu dośrodkowym. Łącząc te dwa fakty: III prawo Keplera i przyspieszenie dośrodkowe, wydedukował, że działające na każdą planetę przyspieszenie dośrodkowe maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości od Słońca: planeta znajdująca się dwa razy dalej od Słońca, ma czterokrotnie mniejsze przyspieszenie. Ziemia ma tylko jednego naturalnego satelitę, ale można sobie wyobrazić, że jest ich więcej. Ich orbity także powinny spełniać III prawo Keplera – wiadomo, że np. cztery satelity Jowisza spełniają to prawo. Czyli w każdym przypadku przyspieszenie dośrodkowe maleje jak {\frac{1}{r^2}}, gdzie {r} jest odległością od centralnego ciała. Satelitę Ziemi można by stworzyć, gdybyśmy strzelali z wysokiej góry poziomo z coraz większą prędkością. Wystrzeliwane ciało spadałoby coraz dalej, aż w końcu obiegłoby Ziemię i wróciło do punktu wyjścia: mielibyśmy niskiego satelitę Ziemi (nie przejmujemy się atmosferą, chodzi o eksperyment myślowy). Wyglądałoby to tak.

newtmtn

Rysunek pochodzi z późnej książki Newtona, ale bez wątpienia musiał sobie to wcześniej wyobrazić. Co powoduje zakrzywienie toru naszego wystrzeliwanego ciała? Ciężar. Z tego powodu wszystkie ciała spadają na Ziemię. Wyobrażony niski satelita też podlega działaniu grawitacji, ale ma tak dużą prędkość, że spadając stale, podąża za krzywizną Ziemi i ostatecznie wcale nie spada. Może więc także ciężar powoduje zakrzywianie się orbity Księżyca – tego prawdziwego? Tzn. siła, którą znamy jako ciężar, działa także w kosmosie. Musi ona w takim razie maleć {\frac{1}{r^2}}, bo inaczej nie wyjaśnimy III prawa Keplera, a ono obowiązuje.

Możemy sprawdzić, czy Księżyc spada pod działaniem siły ciężkości. Obliczymy, o ile Księżyc spada w ciągu minuty. Sytuacja wygląda następująco.

moon_test

Księżyc zatacza okrąg o promieniu R. Gdyby nie działała na niego siła ciężkości, uciekłby po stycznej do okręgu. Ale siła ta działa i spada on w stronę Ziemi o {h}. Na rysunku celowo wyolbrzymiliśmy odcinki {x} i {h}. W ciągu minuty Księżyc nie spadnie zbyt daleko. Nietrudno obliczyć, jaką drogę przebędzie Księżyc w ciągu minuty. Jego orbita ma promień równy 60 promieni ziemskich, a więc (użyjemy metrów zamiast stóp paryskich, których używał Newton):

\displaystyle R=60\cdot 6400 \mbox{ km}=3,84\cdot 10^8 \mbox{ m}.

Następną wielkością jest okres obiegu Księżyca, wynosi on

\displaystyle T=27, 32 \mbox{ dni}=3,93\cdot 10^4 \mbox{ minut}

Wobec tego droga przebywana przez Księżyc w ciągu minuty równa jest

\displaystyle x=\frac{2\pi R}{T}\approx 61400\mbox{ m}.

Napisaliśmy {x} zamiast prawdziwej drogi po łuku orbity, ale te dwie wielkości powinny być zbliżone przy tak krótkim czasie. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo jest obliczyć {h} (kto ciekaw, szczegóły znajdzie na końcu postu):

\displaystyle h=\frac{x^2}{2R}=4,91 \mbox{ m}.

Warto zwrócić uwagę, jak niewielki jest spadek wywołany ciężarem {h} w porównaniu z samą drogą {x}. Księżyc w istocie bardzo niewiele odchyla się od linii prostej. No dobrze, ale co z tego wszystkiego wynika? Jeśli spadek {h} wywołany jest ciążeniem, to przy powierzchni Ziemi powinniśmy dostać spadek równy {60^2 h}, bo jesteśmy 60 razy bliżej (pamiętajmy, że Księżyc odległy jest o 60 ziemskich promieni). Ile ciało takie spadnie w ciągu jednej sekundy? {60^2} razy mniej, bo droga w ruchu przyspieszonym rośnie jak kwadrat czasu. Ostatecznie oba te czynniki się zniosą i dostajemy wniosek, że przy powierzchni Ziemi ciało powinno spadać w ciągu jednej sekundy o

\displaystyle h=4,91 \mbox{ m}.

To ostatnie stwierdzenie nietrudno sprawdzić: droga w ciągu jednej sekundy przy powierzchni Ziemi to

\displaystyle h=\frac{gt^2}{2}=\frac{9,81}{2}\mbox{ m}\approx 4,91 \mbox{ m}.

Zatem na Księżyc działa znana nam z Ziemi siła ciężkości.

Uwaga 1 Kiedy Newton po raz pierwszy wykonał to porównanie, zamiast stosunku przyspieszeń {60^2=3600} wyszło mu 4325. Uznał, że widocznie cała ta teoria nie bardzo pasuje do faktów. Odłożył ją, znał wiele faktów, które się w coś układały, ale nie do końca. Miał jednak tę cechę, że nigdy niczego nie zapominał. Później zauważył, że kiedy za promień Ziemi wstawić wartość wyznaczoną przez Francuzów, wszystko zaczyna się zgadzać.(Newton nie lubił Francuzów: Bóg wiedział, co robi, oddzielając ich od Anglii cieśniną zwaną English Channel, czyli dla nich kanał La Manche).

Uwaga 2 Używał w pierwszym okresie innych pojęć: zamiast przyspieszenia dośrodkowego – przyspieszenia odśrodkowego, {h} było odstępstwem od okręgu: gdyby nagle przestała działać grawitacja, Księzyc oddaliłby się o {h} od stycznej. Matematycznie to wszystko jedno, mechanikę tego rodzaju zbudował potem Leibniz, ale się nie przyjęła.

Uwaga 3 Newton wrócił do sprawy po latach, wtedy wszystkie fragmenty układanki wskoczyły we właściwe miejsca i napisał w gorączkowej pracy Matematyczne zasady filozofii przyrody (1687).

Uwaga 4 Jest tu pewien matematycznie nieoczywisty punkt. Czy możemy porównywać przyciąganie na powierzchni Ziemi i przyciąganie w odległości Księżyca tak prosto? Chodzi o to, że kiedy jesteśmy daleko od Ziemi, to jest ona dla nas praktycznie punktem. Ale kiedy jesteśmy na jej powierzchni, trudno ją uznać za punktową. Tak się jednak składa, że kula przyciąga tak, jakby jej cała masa skupiona była w geometrycznym środku. Newton potrafił to wykazać dopiero, gdy pracował nad Matematycznymi zasadami.

OBJAŚNIENIE WZORU

Patrząc na rysunek i stosując tw. Pitagorasa otrzymujemy:

\displaystyle h^2=(R+h)^2-R^2=(2R+h)h\approx 2Rh.

Ostatnia, przybliżona równość bierze się stąd, że {2R\gg h.} Tak przy okazji wzór ten daje zasięg horyzontu {x}, gdy wzniesiemy się na wysokość {h} na planecie o promieniu {R}. Możemy sobie wyjaśnić, czy z Rysów można (teoretycznie) zobaczyć Kraków.

Bóg Linneusza

Carl Linnæus miał głębokie poczucie niezwykłości swego losu. Syn wikarego ze Stenbrohult, zamiast pastorem, został najsławniejszym przyrodnikiem swego kraju i Europy, członkiem uczonych towarzystw i akademii, lekarzem królewskim, wreszcie szlachcicem – zwał się teraz Carl von Linné, i posiadaczem ziemskim. Napisał ponad 180 prac, jego uczniowie rozjechali się na cztery strony świata i zewsząd nadsyłali okazy roślin, których uwzględnienie w kolejnym wydaniu Genera Plantarum oznaczało oficjalne uznanie przez naukę.
Jednak sława i zaszczyty były tylko widomym znakiem przychylności Bożej i same przez się znaczyły niewiele. Zastanawiając się nad swoim przeznaczeniem, Linneusz nie mógł oprzeć się myśli, że jest kimś wybranym i powołanym przez Boga. Pisał o sobie (używając trzeciej osoby) w wersetach modelowanych na biblijnych:

Bóg dozwolił mu zajrzeć do swego sekretnego gabinetu.
Bóg dozwolił mu zobaczyć więcej z dzieła stworzenia niż jakiemukolwiek śmiertelnikowi przed nim.
Bóg obdarzył go największą przenikliwością w badaniach natury, większą niż kogokolwiek.
Pan był z nim wszędzie, gdziekolwiek się zwrócił i wygubił wszystkich jego nieprzyjaciół, i uczynił jego imię sławnym, jak imię wielkich na ziemi.

Ostatni werset jest parafrazą słów skierowanych do króla Dawida (I Krn 17,8). Kiedy w 1735 roku 28-letni Linneusz opublikował klasyfikację wszystkiego, co istnieje w przyrodzie jako Systema Naturae, sądził, że ogłasza ni mniej, ni więcej tylko Boski plan stworzenia. Przekonanie to miało mu towarzyszyć przez całe życie. Podobnie jak przed nim Newton, Linneusz sądził, iż Bóg właśnie jemu odsłonił prawdę o swoich dziełach. Klasyfikacja gatunków – ich nazwy i ułożenie – była szukaniem obiektywnego, Boskiego porządku. Binominalna nomenklatura uformowana była jak arystotelesowska definicja składająca się z dwóch członów i jak definicja określać miała samą istotę przedmiotu. Nadanie nazw roślinom, zwierzętom i minerałom było powtórzeniem czynności Adama.

Duma i przesadne czasem przekonanie o własnych osiągnięciach sąsiadowały u Linneusza z poczuciem Bożej obecności i sprawiedliwości: Innocue vivito, numen adest! – żyj bez winy, Bóg jest blisko! – było jego często powtarzanym mottem. Wierzył, że zasady moralne wpisane są jako Nemesis Divina w bieg wydarzeń na świecie. Nemesis była dla niego sprawiedliwością, która nie dopuszcza, aby równowaga świata została zakłócona. Zakłócałby ją np. nadmierny wzrost potęgi jednego gatunku czy jakiegoś człowieka. Jednocześnie Nemesis była sprawiedliwością, która niezawodnie sprowadzi karę na każdego winnego jeszcze tu na ziemi, choćby dla postronnych widzów kara ta miała wszelkie pozory przypadku. Lineusz w skrytości zbierał przez wiele lat dowody świadczące o aktywnym działaniu sprawiedliwości Bożej. Ma ona zawsze postać kary, Bóg działa tak samo nieubłaganie, jak przyczynowa konieczność, np. syn hrabiego zabija wieśniaka spotkanego przypadkowo zimą na jeziorze, po kilku latach przejeżdża w tym samym miejscu, lód załamuje się pod saniami, slużący i koń ratują się, hrabia tonie. Albo

 Pewien człowiek ratuje złodzieja od szubienicy. Potem ten sam człowiek zostaje pochwycony przez swoich wrogów i ma zostać powieszony. Brakuje sznura, lecz wtedy nadchodzi ów złodziej i przynosi sznur.

Pokora i współczucie dla innych biorą się u niego z przekonania, że człowiek jest słaby, niezdolny często do panowania nad swoim postępowaniem. Gdyby predestynacja była prawdą, to współczucie tym bardziej należałoby się skazanym. Pokora wypływa również ze świadomości, że świat nie został stworzony dla człowieka. W wielkim pałacu świata ludzie są jak świece, które go oświetlają – każda na swoją miarę, jedynie ludzie bowiem zdolni są pojąć Boże dzieło, jednak żadna świeca nie powinna sądzić, iż pałac został zbudowany specjalnie dla niej.

Linneusz często rozmyślał nad przemijaniem. Bliski był mu głos Eklezjasty. Jednocześnie był przyrodnikiem i lekarzem, dla którego obserwacja prawdy, choćby nabardziej nieprzyjemnej, była pierwszym obowiązkiem. Mimo świetnego pióra nie był humanistą, nie stronił od tematów dziwacznych czy niesmacznych. Porównanie człowieka do trawy polnej przywodziło mu na myśl tajemnicze procesy przemiany ludzkiego ciała w próchnicę, która z kolei służy za pokarm roślinom, a te znów zwierzętom i ludziom. Dając bardzo rzeczowy i ponury obraz starości, zastanawia się nad faktem, że na jej próg ustanowiona została okrągła liczba czterdziestu lat. Wyliczając kolejne przypadłości człowieka starego pisze:

W dzieciństwie i młodości śpimy długo i smacznie. Im starsi jesteśmy, tym łatwiej przychodzi nam znosić czuwanie. Chłopcy zapadają w sen tak głęboko, że ledwie można ich zbudzić kuksańcem w ucho, lecz starca budzi nawet najlżejszy hałas. Ten, kto latem budzi się, kiedy na niebie rozpala się jutrzenka, może cieszyć się śpiewem ptaków, których wspaniałe głosy tworzą muzykę tak harmonijną, że nic nie ma od niej słodszego. Jak wieśniak wstaje z pianiem koguta, tak starzec często wstaje z pierwszym ćwierkaniem ptaków.

Carl_von_Linné

Piękno przyrody, zwłaszcza roślin i ptaków wywoływało u Linneusza zachwyt, który jednak nie miał nic z sentymentalizmu. Zachwycała go przemyślność Stwórcy widoczna np. w fakcie, że giez składa jajeczka na grzbiecie renifera, w miejscu ciepłym i bezpiecznym, wybranym tak dobrze, że ogromny renifer nadaremnie biega jak oszalały usiłując pozbyć się dokuczliwego towarzystwa. Świat był dla niego miejscem wojny wszystkich ze wszystkimi, wojny potrzebnej, by zachować równowagę. Człowiek nie tylko przyczynia się do utrzymania tej równowagi w naturze, ale i sam podlega jej prawom – zasada wojny wszystkich ze wszystkimi odnosi się również do ludzkich wojen czy np. podatności na epidemie.

Natura była przemyślna i była godna podziwu. Najżywszą, towarzyszącą mu do końca świadomego życia pasją była ciekawość natury – curiositas naturalis. Jego podziw dla natury był niemal panteistyczny, przypominał Spinozę, którego pism Linneusz jednak nie znał i zapewne nie chciałby poznać. W 1772 roku kończąc swoją trzecią i ostatnią kadencję jako rektor uniwersytetu w Uppsali wygłosił Linneusz wykład poświęcony cudom przyrody. Był wtedy stary, zgorzkniały i chory. Kilka lat później atak apopleksji miał odebrać mu pamięć i zdolność do samodzielnego życia. Tymczasem jednak Linneusz mówił raz jeszcze o tym, co przez całe życie wywoływało jego podziw i zdumienie:

Dziwna historia małp.

Wampiry, które piją krew śpiących.

Putorius, który broni się obrzydliwym smrodem.

Didelphis, który ukrywa swoje młode w żołądku.

Pecora, która ma aż cztery żołądki.

Hippopotamus, Behemot i jego element.

Wieloryb, największe ze zwierząt, ze swoimi małymi.

Gryf, który spada w dół z szybkością pioruna.

Orfeusz, który śpiewa pieśń boskiej piękności.

Szpak wodny, który nurkuje w największych wirach wodnych.

Wielka szara dzierzba, która ostrzega inne ptaki przed sokołem.

Chavaria, która z kurami pożywia się obok ptaków drapieżnych.

Psophia, która śpiewa przy pomocy gęby, a za pudło rezonansowe ma swoje posteriora.

Kukułka, którą wysiadują i karmią inne ptaki.

Jaskółka, która zimę przesypia na dnie jeziora.

Paw, który jest najokazalszy ze wszystkich.

Pelikan, który wciąga wodę.

Diomediae, które nie mogą ani latać, ani chodzić.

Ptak miodowy, który jest najmniejszy i pozłacany.

Boa, wąż, który może połknąć całego wołu; ma 20 do 30 łokci długości.

Rana cornuta, która jest najbardziej przerażająca z wyglądu.

Krokodyl, Lewiatan i skutki jego dzikości.

Syrena, która śpiewa w wodzie.

Torpedo i Ryba Elektryczna, które wywołują wstrząsy elektryczne.

Złota rybka, któea jest jak roztopione złoto.

Callichtys, który przechodzi z jednego stawu do drugiego.

Przezorność pająka i wielu owadów.

Muszle, które zjadają kamień.

Gordius, który w glinie porusza się jak ryba w wodzie.

I wiele innych bez końca.

 

Alan Guth, kosmiczna inflacja (1979) i „najnowsze odkrycia” BICEP2 (2014)

Obserwacje wskazują, że wszechświat jest płaski: tzn. geometria przestrzeni jest euklidesowa. To ważny fakt, ponieważ einsteinowska grawitacja wiąże geometrię z materią. Materia mówi przestrzeni, jak się zakrzywiać, a przestrzeń mówi materii, jak się poruszać. Nie ma sił grawitacji jest tylko zakrzywiona czterowymiarowa czasoprzestrzeń.

2

Przykład dwuwymiarowej geometrii zakrzywionej. W każdej z takich geometrii suma kątów trójkąta jest różna od 180º, znane ze szkoły twierdzenie stosuje się jedynie w przypadku geometrii euklidesowej.

Fizyczna przestrzeń trójwymiarowa jest podzbiorem czasoprzestrzeni. Nie musiałaby być płaska (euklidesowa), ale jest. Dlaczego? Wiadomo, że krzywizna przestrzeni zależy od tego, jak duża jest średnia gęstość materii i energii we wszechświecie. Geometrii płaskiej odpowiada pewna dokładnie określona wartość krytyczna. Jeśli gęstość materii jest większa od krytycznej, wszechświat będzie przypominał sferę, a jeśli mniejsza – powierzchnię jak na rysunku wyżej (oczywiście na rysunkach możemy pokazać tylko przypadek dwuwymiarowy).

End_of_universe

 

Krzywizna przestrzeni w zależności od gęstości materii w porównaniu z gęstością krytyczną: ten stosunek to \Omega_0 na obrazku.

Zatem pytanie brzmi: dlaczego gęstość materii jest dokładnie równa gęstości krytycznej? Czy może to być przypadek? Obserwacje mają zawsze skończoną dokładność. Nasz wszechświat może być np. sferą, ale o bardzo wielkim promieniu. Gdy idziemy na spacer, Ziemia wydaje nam się płaska, wszystko jest kwestią dokładności. Wiemy na pewno, że obecnie \Omega_0\approx 1. Dzisiejszy wszechświat jest skutkiem Wielkiego Wybuchu. Może z jakichś powodów gęstość materii zbliża się z czasem do gęstości krytycznej? Niestety nie, jest dokładnie odwrotnie: żeby opisać dzisiejsze obserwacje, należy przyjąć, że tuż po Wielkim Wybuchu gęstość musiała być jeszcze bliżej gęstości krytycznej niż dziś, i to z wręcz niewiarygodną dokładnością. Jakby to ujął Albert Einstein: Bóg stworzył świat o bardzo precyzyjnie dobranej gęstości. Kosmos musiał zostać precyzyjnie dostrojony.

Guth_big

W roku 1979 Alan Guth zbliżał się już do trzydziestki i wprawdzie zdążył uczyć się i pracować na najlepszych uczelniach amerykańskich: MIT, Princeton, Columbia, Cornell, ale wciąż jeszcze nie miał stałej posady. Był specjalistą od cząstek elementarnych, gdy dowiedział się o problemie kosmologów z precyzyjnym dostrojeniem Wielkiego Wybuchu. I wpadł na pomysł, który zakreślił w swoim notatniku podwójną ramką. Była to idea inflacji.

Logbook_Dec-Jan2004-05_Header

Świetny pomysł: ten rodzaj superchłodzenia może wyjaśnić, czemu obecnie wszechświat jest tak niewiarygodnie płaski – i rozwiązać tym samym paradoks precyzyjnego dostrojenia, o którym mówił Bob Dicke w swoich wykładach z okazji Einstein Day.

Pomysł polega na tym, że postulujemy istnienie pewnego nowego pola fizycznego (a tym samym i nowej cząstki – w kwantowej teorii pola każde pole związane jest z jakimś rodzajem cząstek). Energia tego pola powinna być stała przez bardzo krótki czas po Wielkim Wybuchu. Stała energia oznacza wykładniczy wzrost rozmiarów wszechświata. Z czymś takim mamy do czynienia dzisiaj i odpowiednia energia nazywa się ciemną energią. Jednak ta ciemna energia z pierwszych chwil po Wielkim Wybuchu byłaby ogromna i rozdęłaby cały wszechświat o kilkadziesiąt rzędów wielkości. Geometria zostałaby w ten sposób wyprasowana i dlatego dziś jest płaska. Następnie energia pola inflatonowego spada i wracamy do zwykłego Wielkiego Wybuchu i dzisiejszej ciemnej energii.

Big_bang_inflation_vs_standard_genericchart

Krótka faza kosmicznej inflacji powiększa wszechświat do gigantycznych rozmiarów, po czym w dalszym ciągu rozszerza się on już spokojnie.

Na pomysł inflacji wpadł też niezależnie Andrei Linde z Instytutu Lebiediewa, a obecnie z Uniwersytetu Stanforda (co też stanowi przykład inflacji, w tym przypadku rubla wobec dolara). Ideę tę rozwijało w sumie wielu ludzi, niektórzy z nich sądzą, że inflacja ma tak samo dobre potwierdzenie jak Wielki Wybuch. Nie zaobserwowano jednak inflatonu – owej hipotetycznej cząstki i różne wersje inflacji są wciąż dość swobodną spekulacją. Wszelkie potwierdzenia do tej pory miały charakter pośredni.
Po latach rozwijania różnych scenariuszy okazało się również, że z inflacją jest pewien kłopot: łatwo sobie wyobrazić jej zapoczątkowanie, trudniej ją jakoś spokojnie zakończyć. Możliwe są np. scenariusze, w których wszechświat pączkuje inflacyjnie i każda z baniek jest potem oddzielnym wszechświatem. Różne wersje multiświatów prezentowane są z wypiekami w Discovery i licznych książkach popularnych. Jest tylko jeden mały kłopot: wydaje się, że w ten sposób wyjaśnić można każdą sytuację obserwacyjną. Teoria, którą można dopasować do wszystkich obserwacji, jest – hm, łagodnie mówiąc, nieco podejrzana.
Przykładem są tegoroczne odkrycia zespołu BICEP2. Wielu ludzi przez wiele lat pracowało nad pomiarami kosmicznego promieniowania tła – fal elektromagnetycznych pochodzących z okresu 400 000 lat po Wielkim Wybuchu. Promieniowanie to od tamtej pory niewiele się zmieniło, oprócz tego że wraz z rozmiarami wszechświata wzrosła jego długość, mniej więcej 1000 razy i z obszaru widzialnego zrobił się mikrofalowy.

Odbywało się to za pomocą przyrządów umieszczonych na Antarktydzie, w pięknych okolicznościach przyrody.

1280px-South_pole_spt_dsl

Konkretne, chodziło o polaryzację, która mogłaby nieść informację nt. inflacji i fal grawitacyjnych we wczesnym kosmosie. W marcu tego roku odtrąbiono odkrycie owych fal grawitacyjnych – już to byłoby dużą rzeczą, bo nikt dotąd nie wykrył fal grawitacyjnych, choć wydaje się to kwestią najbliższych lat. A na dodatek za jednym zamachem mielibyśmy potwierdzenie inflacji. Wszystkie media doniosły o odkryciu, entuzjazm, postęp, frenety, oklaski. Parę dni temu grupa ludzi z Princeton opublikowała pracę, w której podważono wnioski BICEP2. Najpewniej nie uwzględnili oni polaryzacji promieniowania rozproszonego na pyle kosmicznym i promieniowania elektronów w polu magnetycznym Galaktyki. Czyli nie ma odkrycia? Pewnie nie ma, ale o tym już media nie napiszą, bo brak odkrycia to żaden news.

MORAŁ 1: Opłaca się robić fałszywe odkrycia, byle dobrze nagłośnione w mediach, bo sprostowań i tak nikt nie zauważy. Czasem opłaca się to najzupełniej dosłownie: por. Sprawa Ratajczaka – swoiste odwrócenie sprawy Galileusza: za fałszywe odkrycie uczony otrzymuje nagrody, pieniądze i jeszcze pochwały ze strony Kościoła.

MORAŁ 2: Zwolennicy inflacji twierdzą, że nowe, poprawione dane też potwierdzają inflację. Czyli cokolwiek uda się odkryć, będzie to potwierdzeniem teorii inflacji. Alan Guth rozpętał demony.