Fisher Black i Myron Scholes (1973): wzór, który wywołał kryzys finansowy?

W roku 1973 autorzy ci opublikowali wzór pozwalający wyceniać opcje na kupno bądź sprzedaż akcji. Mieli kłopot z publikacją pracy, ponieważ renomowane pisma nie widziały w niej nic ciekawego. Niewykluczone, że jakąś rolę odegrał fakt, iż różne wzory na wyceny opcji publikowano już od roku 1900, kiedy to Louis Bachelier w swojej pracy doktorskiej podał pierwszy z takich wzorów (opiekunem pracy był sam Henri Poincaré). Wszystkie poprzednie wzory miały rozmaite wady: dawały czasem ujemną cenę albo trzeba było w nich używać parametrów, o których nic nie wiadomo. Wzór Blacka-Scholesa był przełomem, nie tylko naukowym, ale i praktycznym, ponieważ zaczęto się nim powszechnie posługiwać i dzięki temu rozwinął się niesłychanie szybko rynek opcji. W roku 1997 Robert K. Merton i Myron Scholes otrzymali za to ekonomicznego Nobla (Fisher Black zmarł niedługo wcześniej).
Pokażemy, jakie podstawowe idee kryją się za modelem B-S, nie korzystając z ich oryginalnego podejścia, które było matematycznie zaawansowane.
Akcje giełdowe, a także różne inne ceny rynkowe, np. ceny surowców albo kursy wymiany walut zmieniają się w sposób trudny do przewidzenia. Wygląda to np. tak.

raz

Nie możemy przewidzieć, co stanie się z ceną konkretnej akcji. Aby zabezpieczyć się przed nieprzewidywalnością rynku, stworzono opcje. Jeśli chcę za rok kupić akcję za 100 zł, mogę dziś wykupić za pewną sumę C opcję na kupno tej akcji za rok. Jeśli za rok akcje będą droższe niż 100 zł, zrealizuję swoją opcję i nadwyżkę zabiorę do kieszeni. Jeśli za rok akcje będą tańsze niż 100 zł – nie zrealizuję swojej opcji i nic mnie to nie będzie kosztować dodatkowo (oprócz kwoty C, którą płacę dziś). Można też wymyślić różne bardziej skomplikowane warunki, nie będziemy się tym zajmować. Co się zdarzy za rok z naszą akcją? Jak to mówił Niels Bohr oraz Miś Yogi: prognozy są trudne, zwłaszcza gdy dotyczą przyszłości. Może się wydarzyć jeden ze stu poniższych scenariuszy.

b

Albo może to wyglądać jakoś tak.

c

Znamy tylko początek krzywej: dzisiejszą cenę akcji.

Przebieg cen można potraktować jako błądzenie przypadkowe: nasza akcja wykonuje ruchy w górę i w dół. Nie wszystko jest tu jednak przypadkowe: akcja z drugiego rysunku wyraźnie mniej się odchyla od początkowej wartości. Ową skłonność do szaleństw nazywa się zmiennością akcji: informuje ona, czego średnio biorąc można się po danej akcji spodziewać. Zmienność to jedyny parametr potrzebny do znalezienia ceny opcji.
Rozpatrzmy skrajnie uproszczony model. Rozpatrujemy tylko 3 jednostki czasowe, np. 3 miesiące, i wyobrażamy sobie, że cena naszej akcji może z miesiąca na miesiąc zmienić się tylko o 10% w górę albo w dół. Inaczej mówiąc, poprzednia cena mnożona jest przez czynnik 1,1 albo 0,9. Prowadzi to do różnych możliwości zebranych w tabelce: strzałki zielone oznaczają wzrost o 10%, a czerwone spadek o 10%. W tym miejscu modelu wybraliśmy zmienność naszej akcji, gdyby była większa albo mniejsza, wygenerowane ceny miałyby większy albo mniejszy rozrzut.

dwumian2

Na koniec rozpatrywanego okresu mamy 4 możliwe wartości ceny. Załóżmy, że dziś chcemy kupić opcję ważną za trzy miesiące, a ceną wykonania ma być 100 zł – tzn. za 3 miesiące będziemy mieli prawo kupić akcję za 100 zł (mogłaby to być każda inna kwota, cena wykonania opcji i dzisiejsza cena akcji nie muszą mieć ze sobą nic wspólnego). Wartość opcji za 3 miesiące podaje ostatnia kolumna tabelki – wartość ta wynika z definicji opcji. W naszym modelu świat jest prosty i są to wszystkie możliwości.
Jaka cena opcji C będzie sprawiedliwa? Ano taka, żebyśmy mogli zabezpieczyć się przed zmianą cen naszej akcji S. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie portfel złożony z jednej opcji oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczymy -H (dopuszczamy ujemne współczynniki: dla akcji oznacza to tzw. krótką sprzedaż, czyli możliwość pożyczenia akcji, sprzedania jej, a potem odkupienia i oddania właścicielowi; jest to odwrotność posiadania akcji i opłaca się, gdy ceny spadają; dla wygody H może być też ułamkowe.) Wartość naszego portfela P dziś równa jest

P=C_0-HS_0,

gdzie wskaźniki 0 odnoszą się do danej chwili. Chcemy tak dobrać H, aby nasz portfel za miesiąc wart był tyle samo (pomijamy tu zmianę wartości pieniądza w czasie, nie zmienia to istotnie rozumowań i łatwo jest ten defekt poprawić w razie potrzeby). A więc za miesiąc, bez względu na zmianę ceny akcji chcemy mieć dokładnie tyle samo:

P=C_{+}-HS_{+}=C_{-}-HS_{-},

gdzie wskaźniki + i – odnoszą się odpowiednio do zwyżki i zniżki ceny. Jeśli porównamy podwojony portfel P z pierwszego równania z sumą dwóch takich portfeli, raz z indeksem +, raz z indeksem -, otrzymamy

2C_0-H2S_0=C_{+}-HS_{+}+C_{-}-HS_{-}=C_{+}+C_{-}-H(S_{+}+S_{-})\mbox{(*)}.

Ponieważ u nas zmiany ceny w górę i w dół są takie same, zachodzi warunek

2S_0=S_{+}+S_{-}

i ostatecznie wyrazy zawierające H w równaniu (*) redukują się i zostaje nam bardzo prosty związek:

C_0=\dfrac{C_{+}+C_{-}}{2}.

Znaczy to, że nasza cena opcji dziś jest średnią arytmetyczną dwóch cen za miesiąc. Takie rozumowanie możemy zastosować do dowolnej chwili i do dowolnego „rozgałęzienia” cen naszej akcji. Obliczając te średnie arytmetyczne wstecz od chwili, gdy ceny opcji są znane, możemy znaleźć cenę naszej opcji w chwili 0. W tabelce zaczynamy od prawej kolumny i kolejno obliczamy średnie wzdłuż strzałek.

dwumian1

 

Model ten nazywa się modelem dwumianowym i nie był wprowadzony oryginalnie przez Blacka i Scholesa, ale stanowi jedną z dróg do uzyskania wyniku B-S.

Do tej pory mówiliśmy o różnych możliwościach, ale nic nie mówiliśmy o prawdopodobieństwie. Zrobimy to teraz. Cała procedura znacznie się dzięki temu uprości. Zapiszmy związek cen opcji następująco:

C_0=\dfrac{1}{2}C_{+}+\dfrac{1}{2}C_{-}.

Każdą wartość mnożymy przez \frac{1}{2}. To ten sam wzór, nieco inaczej zapisany. Wyobraźmy sobie, że gramy w orła i reszkę. Gdy wypada orzeł, otrzymujemy C_{+}; gdy wypadnie reszka: C_{-}. Ponieważ orzeł i reszka wypada tak samo często, średnio biorąc zarabiamy w takiej grze C_0. Możemy więc uznać, że każde rozgałęzienie ceny oznacza grę w orła i reszkę. Zależnie od wyniku cena zmienia się w górę albo w dół. Wartościom akcji za 3 miesiące – a więc i wartościom opcji za 3 miesiące odpowiadają teraz konkretne prawdopodobieństwa. Wygląda to następująco:

prawdopo

Na osi poziomej wypisaliśmy, ile warta jest opcja w każdym wariancie. Prawdopodobieństwa łatwo jest znaleźć, rozpatrując, na ile sposobów można uzyskać każdą cenę końcową. Nasza cena opcji jest po prostu równa

C_0=0,125\cdot 0+0,375\cdot 0 +0,375\cdot 8,90 + 0,125\cdot 33,10 =7,48 .

Co dalej? Nikt nam nie każe ograniczać się do 3 kroków, możemy np. obliczać ceny co 3 dni. Otrzymamy wówczas następujący rozkład dla cen akcji.

aa

Gdy zrobimy odpowiednio dużo kroków, zamiast słupków prawdopodobieństwa dostaniemy ciągłą krzywą. Jest to tzw. rozkład logarytmiczno-normalny. Wiemy zatem, jakie jest prawdopodobieństwo dowolnej ceny końcowej.

rozklad

Mnożenie i sumowanie dla bardzo wielkiej liczby kroków to całka z iloczynu funkcji. W granicy otrzymuje się słynny wzór Blacka-Scholesa. Nie podaję go tutaj, bo jest nie całkiem przejrzysty, ale miał tę zaletę, że pozwalał ceny opcji liczyć nawet na kalkulatorze wyposażonym w funkcje matematyczne.

Na koniec jeszcze jedno: czy wzór Blacka-Scholesa wywołał kryzys finansowy z roku 2008? Odpowiedź jest banalna: kryzys wywołali ludzie nieuczciwi, którzy mieli nadzieję wywinąć się cało z podejrzanych operacji: kiedy sprzedaje się domy biedakom bez dochodów albo konstruuje papiery „zabezpieczone” przez bankrutów, skutki muszą być opłakane. Dużą rolę odegrał też nacisk polityczny: kredyty hipoteczne były tanie, bo wyborcy to lubią i kolejne administracje USA wywierały presję na FED i różne instytucje, a instytucje te nie dość mocno opierały się życzeniom polityków. W ekonomii nie ma darmowych lunchów. Ktoś musi zawsze zapłacić, prędzej czy później. I nie zawsze płaci ten, kto zjadł lunch. Winni są więc nie tylko „źli” bankierzy, ale także politycy pragnący „czynić dobro” nie swoim kosztem. Bankierzy o tym głośno nie mówili, bo takie są reguły gry: wiele banków inwestycyjnych przetrwało jedynie dzięki pomocy publicznej.

A wzór Blacka-Scholesa? Kiedy ktoś zabija człowieka, używając młotka, nie winimy młotków. Model Blacka-Scholesa nie jest bardziej winny niż młotek.

Advertisements

Jedna myśl nt. „Fisher Black i Myron Scholes (1973): wzór, który wywołał kryzys finansowy?

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s