Fisher Black i Myron Scholes (1973): wzór, który wywołał kryzys finansowy?

W roku 1973 autorzy ci opublikowali wzór pozwalający wyceniać opcje na kupno bądź sprzedaż akcji. Mieli kłopot z publikacją pracy, ponieważ renomowane pisma nie widziały w niej nic ciekawego. Niewykluczone, że jakąś rolę odegrał fakt, iż różne wzory na wyceny opcji publikowano już od roku 1900, kiedy to Louis Bachelier w swojej pracy doktorskiej podał pierwszy z takich wzorów (opiekunem pracy był sam Henri Poincaré). Wszystkie poprzednie wzory miały rozmaite wady: dawały czasem ujemną cenę albo trzeba było w nich używać parametrów, o których nic nie wiadomo. Wzór Blacka-Scholesa był przełomem, nie tylko naukowym, ale i praktycznym, ponieważ zaczęto się nim powszechnie posługiwać i dzięki temu rozwinął się niesłychanie szybko rynek opcji. W roku 1997 Robert K. Merton i Myron Scholes otrzymali za to ekonomicznego Nobla (Fisher Black zmarł niedługo wcześniej).
Pokażemy, jakie podstawowe idee kryją się za modelem B-S, nie korzystając z ich oryginalnego podejścia, które było matematycznie zaawansowane.
Akcje giełdowe, a także różne inne ceny rynkowe, np. ceny surowców albo kursy wymiany walut zmieniają się w sposób trudny do przewidzenia. Wygląda to np. tak.

raz

Nie możemy przewidzieć, co stanie się z ceną konkretnej akcji. Aby zabezpieczyć się przed nieprzewidywalnością rynku, stworzono opcje. Jeśli chcę za rok kupić akcję za 100 zł, mogę dziś wykupić za pewną sumę C opcję na kupno tej akcji za rok. Jeśli za rok akcje będą droższe niż 100 zł, zrealizuję swoją opcję i nadwyżkę zabiorę do kieszeni. Jeśli za rok akcje będą tańsze niż 100 zł – nie zrealizuję swojej opcji i nic mnie to nie będzie kosztować dodatkowo (oprócz kwoty C, którą płacę dziś). Można też wymyślić różne bardziej skomplikowane warunki, nie będziemy się tym zajmować. Co się zdarzy za rok z naszą akcją? Jak to mówił Niels Bohr oraz Miś Yogi: prognozy są trudne, zwłaszcza gdy dotyczą przyszłości. Może się wydarzyć jeden ze stu poniższych scenariuszy.

b

Albo może to wyglądać jakoś tak.

c

Znamy tylko początek krzywej: dzisiejszą cenę akcji.

Przebieg cen można potraktować jako błądzenie przypadkowe: nasza akcja wykonuje ruchy w górę i w dół. Nie wszystko jest tu jednak przypadkowe: akcja z drugiego rysunku wyraźnie mniej się odchyla od początkowej wartości. Ową skłonność do szaleństw nazywa się zmiennością akcji: informuje ona, czego średnio biorąc można się po danej akcji spodziewać. Zmienność to jedyny parametr potrzebny do znalezienia ceny opcji.
Rozpatrzmy skrajnie uproszczony model. Rozpatrujemy tylko 3 jednostki czasowe, np. 3 miesiące, i wyobrażamy sobie, że cena naszej akcji może z miesiąca na miesiąc zmienić się tylko o 10% w górę albo w dół. Inaczej mówiąc, poprzednia cena mnożona jest przez czynnik 1,1 albo 0,9. Prowadzi to do różnych możliwości zebranych w tabelce: strzałki zielone oznaczają wzrost o 10%, a czerwone spadek o 10%. W tym miejscu modelu wybraliśmy zmienność naszej akcji, gdyby była większa albo mniejsza, wygenerowane ceny miałyby większy albo mniejszy rozrzut.

dwumian2

Na koniec rozpatrywanego okresu mamy 4 możliwe wartości ceny. Załóżmy, że dziś chcemy kupić opcję ważną za trzy miesiące, a ceną wykonania ma być 100 zł – tzn. za 3 miesiące będziemy mieli prawo kupić akcję za 100 zł (mogłaby to być każda inna kwota, cena wykonania opcji i dzisiejsza cena akcji nie muszą mieć ze sobą nic wspólnego). Wartość opcji za 3 miesiące podaje ostatnia kolumna tabelki – wartość ta wynika z definicji opcji. W naszym modelu świat jest prosty i są to wszystkie możliwości.
Jaka cena opcji C będzie sprawiedliwa? Ano taka, żebyśmy mogli zabezpieczyć się przed zmianą cen naszej akcji S. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie portfel złożony z jednej opcji oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczymy -H (dopuszczamy ujemne współczynniki: dla akcji oznacza to tzw. krótką sprzedaż, czyli możliwość pożyczenia akcji, sprzedania jej, a potem odkupienia i oddania właścicielowi; jest to odwrotność posiadania akcji i opłaca się, gdy ceny spadają; dla wygody H może być też ułamkowe.) Wartość naszego portfela P dziś równa jest

P=C_0-HS_0,

gdzie wskaźniki 0 odnoszą się do danej chwili. Chcemy tak dobrać H, aby nasz portfel za miesiąc wart był tyle samo (pomijamy tu zmianę wartości pieniądza w czasie, nie zmienia to istotnie rozumowań i łatwo jest ten defekt poprawić w razie potrzeby). A więc za miesiąc, bez względu na zmianę ceny akcji chcemy mieć dokładnie tyle samo:

P=C_{+}-HS_{+}=C_{-}-HS_{-},

gdzie wskaźniki + i – odnoszą się odpowiednio do zwyżki i zniżki ceny. Jeśli porównamy podwojony portfel P z pierwszego równania z sumą dwóch takich portfeli, raz z indeksem +, raz z indeksem -, otrzymamy

2C_0-H2S_0=C_{+}-HS_{+}+C_{-}-HS_{-}=C_{+}+C_{-}-H(S_{+}+S_{-})\mbox{(*)}.

Ponieważ u nas zmiany ceny w górę i w dół są takie same, zachodzi warunek

2S_0=S_{+}+S_{-}

i ostatecznie wyrazy zawierające H w równaniu (*) redukują się i zostaje nam bardzo prosty związek:

C_0=\dfrac{C_{+}+C_{-}}{2}.

Znaczy to, że nasza cena opcji dziś jest średnią arytmetyczną dwóch cen za miesiąc. Takie rozumowanie możemy zastosować do dowolnej chwili i do dowolnego „rozgałęzienia” cen naszej akcji. Obliczając te średnie arytmetyczne wstecz od chwili, gdy ceny opcji są znane, możemy znaleźć cenę naszej opcji w chwili 0. W tabelce zaczynamy od prawej kolumny i kolejno obliczamy średnie wzdłuż strzałek.

dwumian1

 

Model ten nazywa się modelem dwumianowym i nie był wprowadzony oryginalnie przez Blacka i Scholesa, ale stanowi jedną z dróg do uzyskania wyniku B-S.

Do tej pory mówiliśmy o różnych możliwościach, ale nic nie mówiliśmy o prawdopodobieństwie. Zrobimy to teraz. Cała procedura znacznie się dzięki temu uprości. Zapiszmy związek cen opcji następująco:

C_0=\dfrac{1}{2}C_{+}+\dfrac{1}{2}C_{-}.

Każdą wartość mnożymy przez \frac{1}{2}. To ten sam wzór, nieco inaczej zapisany. Wyobraźmy sobie, że gramy w orła i reszkę. Gdy wypada orzeł, otrzymujemy C_{+}; gdy wypadnie reszka: C_{-}. Ponieważ orzeł i reszka wypada tak samo często, średnio biorąc zarabiamy w takiej grze C_0. Możemy więc uznać, że każde rozgałęzienie ceny oznacza grę w orła i reszkę. Zależnie od wyniku cena zmienia się w górę albo w dół. Wartościom akcji za 3 miesiące – a więc i wartościom opcji za 3 miesiące odpowiadają teraz konkretne prawdopodobieństwa. Wygląda to następująco:

prawdopo

Na osi poziomej wypisaliśmy, ile warta jest opcja w każdym wariancie. Prawdopodobieństwa łatwo jest znaleźć, rozpatrując, na ile sposobów można uzyskać każdą cenę końcową. Nasza cena opcji jest po prostu równa

C_0=0,125\cdot 0+0,375\cdot 0 +0,375\cdot 8,90 + 0,125\cdot 33,10 =7,48 .

Co dalej? Nikt nam nie każe ograniczać się do 3 kroków, możemy np. obliczać ceny co 3 dni. Otrzymamy wówczas następujący rozkład dla cen akcji.

aa

Gdy zrobimy odpowiednio dużo kroków, zamiast słupków prawdopodobieństwa dostaniemy ciągłą krzywą. Jest to tzw. rozkład logarytmiczno-normalny. Wiemy zatem, jakie jest prawdopodobieństwo dowolnej ceny końcowej.

rozklad

Mnożenie i sumowanie dla bardzo wielkiej liczby kroków to całka z iloczynu funkcji. W granicy otrzymuje się słynny wzór Blacka-Scholesa. Nie podaję go tutaj, bo jest nie całkiem przejrzysty, ale miał tę zaletę, że pozwalał ceny opcji liczyć nawet na kalkulatorze wyposażonym w funkcje matematyczne.

Na koniec jeszcze jedno: czy wzór Blacka-Scholesa wywołał kryzys finansowy z roku 2008? Odpowiedź jest banalna: kryzys wywołali ludzie nieuczciwi, którzy mieli nadzieję wywinąć się cało z podejrzanych operacji: kiedy sprzedaje się domy biedakom bez dochodów albo konstruuje papiery „zabezpieczone” przez bankrutów, skutki muszą być opłakane. Dużą rolę odegrał też nacisk polityczny: kredyty hipoteczne były tanie, bo wyborcy to lubią i kolejne administracje USA wywierały presję na FED i różne instytucje, a instytucje te nie dość mocno opierały się życzeniom polityków. W ekonomii nie ma darmowych lunchów. Ktoś musi zawsze zapłacić, prędzej czy później. I nie zawsze płaci ten, kto zjadł lunch. Winni są więc nie tylko „źli” bankierzy, ale także politycy pragnący „czynić dobro” nie swoim kosztem. Bankierzy o tym głośno nie mówili, bo takie są reguły gry: wiele banków inwestycyjnych przetrwało jedynie dzięki pomocy publicznej.

A wzór Blacka-Scholesa? Kiedy ktoś zabija człowieka, używając młotka, nie winimy młotków. Model Blacka-Scholesa nie jest bardziej winny niż młotek.

Inteligencja Charlesa Darwina

Sam miał o niej niewysokie mniemanie: „Nie odznaczam się ani wielką lotnością pojmowania, ani bystrością (…) Moja zdolność do śledzenia długiego i abstrakcyjnego toku myślowego jest bardzo ograniczona, nigdy zresztą nie osiągnąłem niczego w metafizyce lub matematyce”. W Cambridge pod koniec trzyletnich studiów najzdolniejsi próbowali sił w tripos – konkursowym kilkudniowym egzaminie końcowym z matematyki. Zwycięzca: Senior Wrangler, albo ci, którzy zajęli wysokie miejsce, byli bardzo fetowani, znajdujemy wśród nich wielu znanych uczonych, jak James Clerk Maxwell, William Thomson, John Herschel, Arthur Cayley, czy John Couch Adams, który jednocześnie z Leverrierem wykrył nową planetę za pomocą obliczeń (potem wystarczyło już tylko spojrzeć we wskazanym kierunku, planetą był Neptun).
Charles Darwin nawet nie próbował zdawać trudniejszej matematyki, miał kłopoty ze zwykłą algebrą, np. z usuwaniem niewymierności z mianownika albo z dwumianem Newtona (który niewiele ma wspólnego z Isaakiem Newtonem, ale to już inna historia). Musiał więc czuć się w Cambridge niezbyt pewnie – nawet profesorowie geologii, Adam Sedgwick, i botaniki, John Stevens Henslow, mieli w swoim czasie niezłe wyniki w tripos. Teolog, William Paley, z którego książek uczył się Darwin do swoich egzaminów, był w swoim czasie Senior Wranglerem.
Studia Darwin zapamiętał jako miły okres wesołych kolacji z przyjaciółmi i konnych wycieczek, poza tym zbierał w tym czasie namiętnie chrząszcze. Właściwie robił to nie do końca naukowo, bardziej zależało mu na posiadaniu jak najrzadszych okazów niż na badaniu ich życia. Był jednak skrupulatny, prowadził notatki do swoich zbiorów, uczył się też obserwować. Gdy wyruszał na okręcie Beagle w rejs dookoła świata, był zaawansowanym amatorem przyrodnikiem z dużym upodobaniem do sportów terenowych: polowania, jazdy konnej. Zdążył być na paru wycieczkach geologicznych. Powrócił do Anglii po pięciu latach jako ukształtowany geolog i przyrodnik, który przez te lata nie tylko zbierał próbki i okazy, ale także przeczytał i przemyślał niejedno, przede wszystkim dwa tomy Principles of Geology Charlesa Lyella. Po lekturze pierwszego nabrał przekonania, że procesy geologiczne na Ziemi potrzebowały bardzo długiego czasu – pogląd ten sprawdzał się w terenie. Tom drugi był krytyką ewolucjonizmu w wydaniu Lamarcka. Darwin poznał więc argumenty przeciwko ewolucjonizmowi, ale niezbyt uwierzył Lyellowi. „Jestem (…) marnym krytykiem; praca lub książka, którą czytam po raz pierwszy, budzi zazwyczaj we mnie podziw i dopiero po dłuższym zastanowieniu dostrzegam słabe jej punkty”. Nie był jeszcze ewolucjonistą, ale niezbyt wierzył lekturom, tak samo zresztą jak swoim mistrzom z Cambridge, którzy mocno wierzyli, że organizmy żywe zostały ukształtowane przez Stwórcę z myślą o pewnym celu. Są one rodzajem zegarków skonstruowanych przemyślnie przez Boskiego Zegarmistrza. Darwin niby się z tym zgadzał, ale nie do końca. Niewykluczone, że pomogła mu samotność w podróży: miał czas spokojnie i bez presji z zewnątrz zastanowić się nad różnymi kwestiami: „Od wczesnej młodości moim największym pragnieniem było zrozumienie i wyjaśnienie wszystkiego, cokolwiek podpadało mojej obserwacji, czyli podporządkowanie wszystkich faktów ogólnym prawom”. Widząc krajobraz, zastanawiał się Darwin, jak powstało wszystko, co widzi: skały, rośliny, zwierzęta. Czy kiedyś było tutaj morze? Dlaczego dziś go nie ma? Dlaczego wielkie kopalne zwierzęta Ameryki Południowej są tak podobne do dzisiejszych? Zastanawiał się i latami starał się ułożyć w głowie obraz dawno widzianego krajobrazu czy zwierzęcia tak, aby zrozumieć, jakie prawa nimi rządzą. „Moja gorliwość w obserwowaniu i gromadzeniu faktów była chyba tak wielka, jak to jest w ogóle możliwe”. Podczas podróży znaczyło to, że nie cofał się przed wyprawą w najbardziej oddalony zakątek kraju, jeśli miał nadzieję znaleźć tam coś ciekawego. Całymi tygodniami wędrował z gauchos i dzielił ich tryb życia albo wspinał się na jakieś góry w Ziemi Ognistej, obserwując, jak niewiele żywych organizmów może przetrwać w tak surowym klimacie. W Anglii gromadził już nie zbiory, lecz poglądy, ekspertyzy fachowców, różne ciekawostki znane przez ludzi praktycznych: hodowców, ogrodników, pszczelarzy. Ale także obserwował rozwój własnych dzieci albo chodził do zoo i wszystko skrzętnie zapisywał.

583px-Charles_Darwin_seated_crop

Darwin w roku 1855, cztery lata przed publikacją O powstawaniu gatunków.

 Nigdy się nużył myśleniem o przyrodzie, przeciwnie: to rozrywki, spotkania towarzyskie i teatr, szybko wywoływały u niego zniecierpliwienie. Zorganizował sobie życie tak, żeby jak najmniej rzeczy odrywało go od pracy. Od samego początku tylko on sam wiedział, po co zbiera dane informacje albo okazy, nikt nigdy nie kierował wyborem jego tematów badawczych. A Darwin nie zawsze informował, nawet przyjaciół, czym się zajmuje. Obawiał się, że wielu nie zrozumie jego poglądów i tak ostatecznie było. Poglądy ewolucyjne mają jakąś zdolność irytowania pewnych ludzi, podkopują chyba ich samoocenę. Tak jest nawet dzisiaj, półtora wieku temu w Anglii nie było lepiej, zwłaszcza że Darwin był gentlemanem i nie chciał uchodzić za jakiegoś rewolucjonistę, co to biega z bombą po ulicach. Kościół anglikański zrośnięty był z klasami rządzącymi, większość jego profesorów w Cambridge stanowili duchowni. „Te wszystkie przyczyny razem wzięte złożyły się na cierpliwość w rozważaniu i rozmyślaniu przez lata całe nad jakimś nie wyjaśnionym problemem. O ile mogę sądzić, nie mam skłonności do ślepego naśladowania bliźnich”. Nie miał. Wiktoriański gentleman powinien wyrobić sobie własny pogląd. Ostatecznie ten cichy, codzienny upór i spokojne rozważanie racji za i przeciw własnym pomysłom, gromadzenie faktów, ciągłe układanie ich w logiczną całość pozwoliły mu napisać – po dwudziestu latach zastanawiania się i kilku szkicach – O powstawaniu gatunków. Jak to kiedyś śpiewał Sting: „Be yourself no matter what they say”.

Cytaty Darwina: przeł. S. Skowron, Autobiografia.

Johann Bernoulli i brachistochrona – krzywa najszybszego spadku (1697)

W roku 1691 Johann Bernoulli, młody matematyk bez stałych dochodów, w jednym z paryskich salonów spotkał nieco starszego markiza de L’Hôpital, wielkiego amatora matematyki. Bernoulli zrobił piorunujące wrażenie pokazując swój niepublikowany wynik dotyczący promienia krzywizny dowolnej krzywej. Szwajcar był w tym okresie najwybitniejszym w Europie, a więc i na świecie, ekspertem, znającym nowe metody rachunku różniczkowego i całkowego Leibniza. Tylko Newton w Anglii umiał więcej, ale w tym czasie Anglik coraz mniej zajmował się nauką, wkrótce zamieszkał w Londynie i zajął się nadzorowaniem królewskiej mennicy. Markiz de L’Hôpital zaczął brać u Bernoulliego lekcje, a po trzech latach zaproponował następujący układ: będzie Szwajcarowi wypłacał pensję roczną wysokości co najmniej 300 liwrów w zamian za możliwość dyskretnego otrzymywania części jego wyników naukowych wraz z możliwością publikowania ich przez markiza jako własne. Kiedy w 1696 roku markiz ogłosił anonimowo książkę Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes („Analiza nieskończenie małych w celu badania linii krzywych”) – pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego, umowa się załamała, i to pomimo faktu, że w przedmowie de L’Hôpital zadeklarował ogólnikowo, iż wiele zawdzięcza Johannowi Bernoulliemu. Szwajcar zrozumiał, że sprzedał w ten sposób najlepszą cząstkę siebie i potem pilnował się, by tego błędu więcej nie powtórzyć. Kto uczył się o granicach funkcji, spotkał zapewne regułę de L’Hôpitala – to skutek owej umowy, regułę wymyślił Johann Bernoulli, ale po dziś dzień wszyscy nazywają ją regułą de L’Hôpitala.

Johann_Bernoulli

To, niestety, portret z ok. 1740 roku. W młodości chyba nie było go stać na portrecistów.

 Rachunek różniczkowy i całkowy stał się podstawą fizyki, a także różnych dziedzin inżynierskich. W szczególności można było teraz rozwiązywać w sposób systematyczny różne problemy związane z osiąganiem maksimum albo minimum danej funkcji. Pojawiły się także problemy bardziej ogólne, w których szukamy nie jakiegoś punktu na krzywej, ale samej krzywej. Np. mamy zadane dwa punkty i interesuje nas, jaką krzywą należy te dwa punkty połączyć, aby koralik nanizany na krzywą i ślizgający się bez tarcia dotarł do punktu położonego niżej w najkrótszym czasie. Możemy sobie wyobrażać (albo budować z drutu) różne krzywe i dla każdej sprawdzać, ile czasu zajmie koralikowi przebycie całej drogi. To jest właśnie problem brachistochrony – czyli krzywej najkrótszego spadku.
Johann Bernoulli w roku 1696 znalazł rozwiązanie i nie opublikował go, lecz rzucił wyzwanie innym matematykom, by także znaleźli rozwiązanie, jeśli potrafią.
Prędkość naszego koralika zależy tylko od wysokości, dla ślizgania bez tarcia słuszna jest zasada zachowania energii mechanicznej: ile koralik straci energii potencjalnej, tyle zyska kinetycznej.

brachistochrone

Obrazek ze strony http://www.mathcurve.com/courbes2d/brachistochrone/brachistochrone.shtml

Moglibyśmy połączyć punkty linią prostą, ale widzimy, że nie jest to najlepszy pomysł, chociaż droga przebywana przez koralik jest wtedy najkrótsza. Nabiera on jednak zbyt wolno prędkości. Nasz koralik ma największe przyspieszenie, spadając pionowo. Ale wówczas musi przebyć jeszcze odcinek poziomy i łączna droga jest za duża (załamanie krzywej nie ma znaczenia, można sobie wyobrażać, że jest to ciasny zakręt, a nie ostre załamanie), czas jest krótszy niż poprzednio, ale nie najkrótszy. Rozwiązaniem jest łuk cykloidy. To krzywa zataczana przez punkt na obwodzie toczącego się koła. Punkt wykonuje okresowe podskoki na wysokość równą średnicy koła. Odwrócona cykloida stanowi rozwiązanie problemu Bernoulliego.

Cycloid_f

Problem nie był aż tak trudny, jak Bernoulli sądził. Leibniz przysłał mu rozwiązanie natychmiast, gdy z listu dowiedział się o problemie. Bernoulli miał jednak nadzieję, że problem ten okaże się za trudny dla Newtona.
Właśnie zaczynał się spór o autorstwo nowej matematyki między Leibnizem i Newtonem. Niemal nikt na kontynencie nie chciał uwierzyć, że Newton kilkanaście lat przed Leibnizem posunął się bardzo daleko w rachunku różniczkowym i całkowym (u niego nazywało to się fluksje i kwadratury). Takie wyrażenia jak ów wzór na promień krzywizny, które tak zadziwił markiza de L’Hôpital, Newton uzyskał jeszcze w latach sześćdziesiątych. Nic z tego nie opublikował, niektóre fragmenty w rękopisie znali wybrani uczeni angielscy. Ponieważ nie publikował, trudno było teraz udowodnić, że tak wcześnie uzyskał istotne wyniki. Działało to także w drugą stronę: Newton, zawsze podejrzliwy, uznał, że to Leibniz musiał coś zaczerpnąć z jego rękopisów, kiedy odwiedził Anglię (nie spotkali się osobiście, ale Leibniz konferował z ludźmi posiadającymi pewne prace Newtona). W niezależne odkrycie tych samych technik nie bardzo wierzył – nie grzeszył skromnością, ale też nie znał nikogo, kto by mu dorównywał, więc właściwie było to proste uogólnienie obserwacji. Teraz, podrażniony wyzwaniem, zostawił na parę godzin sprawy mennicy i rozwiązał zagadnienie brachistochrony, burcząc, że nie lubi, kiedy go zaczepiają cudzoziemcy i odrywają od pilnowania interesów Korony.
Problem nie był aż tak trudny, rozwiązał go także markiz de L’Hôpital i starszy brat Johanna, Jakob, także wybitny matematyk. Rozwiązania zostały opublikowane w „Acta Eruditorum” w 1697 roku. Było to jednak zadanie, z którym wtedy potrafiło sobie poradzić zaledwie kilka osób. Później powstała specjalna gałąź matematyki, rachunek wariacyjny, badająca w sposób systematyczny różne zagadnienia tego typu.

Jakie warunki musi spełniać brachistochrona? Istnieje w przyrodzie coś, co porusza się tak, aby czas ruchu był najkrótszy. Tym obiektem jest światło. Wybiera ono drogę odpowiadającą najkrótszemu czasowi. (Zauważył to niegdyś Pierre Fermat, autor słynnego twierdzenia). Dla światła zachodzi też prawo załamania Snella. Zwykle zapisuje się je za pomocą współczynnika załamania, co zaciemnia związek z prędkością. Tymczasem prawo załamania mówi po prostu tyle, że sinus kąta (do normalnej rozdzielającej ośrodki) jest proporcjonalny do prędkości w danym ośrodku:

\sin\alpha=kv,

gdzie k jest stałe dla danego promienia. (Dlatego kąt w powietrzu jest większy niż w wodzie: bo prędkość światła w powietrzu jest większa niż w wodzie.) W przypadku ruchu koralika kwadrat jego prędkości w punkcie P jest proporcjonalny do wysokości, z której spadł od początku swego ruchu:

v^2=2gh,

gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Prędkość zależy więc jedynie od wysokości. Możemy wyobrażać sobie zamiast ruchu koralika rozchodzenie się światła w ośrodku, w którym prędkość zależy od wysokości.

cyclo_brachisto_s

 

Przypomina to nieco drogę światła w atmosferze ziemskiej, która ma różną gęstość na różnych wysokościach. Promień światła biegnie po linii krzywej – oczywiście w przypadku atmosfery efekt ten jest niewielki, choć ważny dla astronomów i znany od wieków (nazywa się refrakcją astronomiczną). Łącząc nasze dwa równania, możemy napisać:

\sin^2\alpha=k^2v^2=2gk^2 h\equiv \dfrac{h}{2r} \mbox{ (*).}

Oznaczyliśmy przez 2r największą głębokość, na jaką zsunie się nasz koralik, wówczas kąt \alpha=90^\circ i koralik-światło będzie poruszać się poziomo. Odpowiada to dnu cykloidy.
Możemy teraz sprawdzić, że cykloida spełnia warunek (*). Wyobraźmy sobie cykloidę zataczaną przez punkt P leżący na obwodzie koła o promieniu r. W chwili początkowej punkt P pokrywał się z początkiem układu, teraz odtoczył się do pewnego położenia P, tak jak na rysunku.

cycloid-1

Wektor prędkości punktu P jest prostopadły do odcinka SP. Łatwo to zrozumieć, zauważając, że toczące się koło ma w każdym momencie jeden nieruchomy punkt – jest nim punkt styku z podłożem S. Koło obraca się chwilowo wokół punktu S. Zatem chwilowa prędkość punktu P musi być prostopadła do odcinka SP i trójkąt SPQ jest prostokątny (SQ musi być średnicą koła – kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym). Gdy przyjrzymy się trójkątom prostokątnym na rysunku, stwierdzimy, że zachodzą równości:

\sin\alpha=\dfrac{SP'}{SP}=\dfrac{h}{SP}\mbox{ oraz }\sin\alpha=\dfrac{SP}{2r}.

Mnożąc je stronami, otrzymamy wzór (*). Zatem cykloida jest brachistochroną. Oczywiście, trochę oszukujemy (za Bernoullim!), korzystając z własności światła: w gruncie rzeczy nie chodzi jednak o światło, a o fakt, iż najkrótszy czas ruchu wiąże się z prawem załamania. Postaram się kiedyś napisać, jak Fermat doszedł do swej zasady najkrótszego czasu i co to ma wspólnego z prawem załamania.

DODATEK DLA ZNAJĄCYCH POJĘCIE POCHODNEJ

Wzór (*) możemy zapisać przez współrzędną y punktu P, wyznaczając z niego y, otrzymujemy

-y=2r\sin^2\alpha=r(1-\cos2\alpha).

Potraktujemy to jako jedno z równań parametrycznych naszej krzywej, parametrem jest kąt \alpha z osią y. Jeśli nasza krzywa biegnie pod kątem \alpha do osi y, to dla niewielkich przyrostów przyrostów funkcji wzdłuż krzywej mamy

\Delta x=-\Delta y\tan\alpha .

(tan oznacza tangens). Dzieląc to przez \Delta\alpha i przechodząc do granicy, dostaniemy pierwszą równość w

\dfrac{dx}{d\alpha}=-\tan\alpha\dfrac{dy}{d\alpha}=2r\tan\alpha\sin2\alpha=4r\sin^2\alpha=2r(1-\cos2\alpha).

Ostatnie wyrażenie możemy scałkować i otrzymamy wówczas:

x=r(2\alpha-\sin 2\alpha).

Otrzymaliśmy parametryczne równania cykloidy, zwykle kąt 2\alpha zapisuje się jako \varphi – ma on sens kąta obrotu naszego koła generującego cykloidę od chwili początkowej.
Warto też zwrócić uwagę, że dwa zadane punkty łączy tylko jedna cykloida. Załóżmy, że mamy dane punkty O i A.

cycloid_single

Rysujemy cykloidę zakreślaną przez koło o promieniu 1. Cykloida ta przetnie prostą OA w jakimś punkcie P. Należy teraz zatoczyć cykloidę za pomocą koła o promieniu r równym

r=\dfrac{OA}{OP},

przejdzie ona przez punkt A. Wynika to stąd, że każda cykloida ma tylko jeden parametr określający jej kształt, a mianowicie promień koła, które się toczy. Jeśli znajdziemy właściwy promień, to nie ma już żadnej swobody wyboru naszej cykloidy.

William i Caroline Herschelowie: kształt Galaktyki (1785)

Jest tylko jedna cecha, która naprawdę przeszkadza w uprawianiu nauki: brak pasji i ciekawości. Inne braki można zazwyczaj z powodzeniem nadrobić. Wbrew pozorom tylko niektóre dziedziny nauki są rzeczywiście trudne i wymagają jakichś szczególnych talentów, ogromna większość jest do opanowania, jeśli ma się do tego motywację.
William Herschel nie miał żadnego wykształcenia, ale miał autentyczną pasję do astronomii. Był Niemcem, synem wojskowego oboisty i jako czternastolatek wstąpił w ślady ojca do gwardyjskiej orkiestry wojskowej w elektoracie Hanoweru. W 1757 wojska hanowerskie zostały pokonane przez Francuzów, a Wilhelm wraz ze swym bratem wyjechali do Anglii. W przypadku Wilhelma była to właściwie dezercja, wiele lat później zostanie mu ona oficjalnie wybaczona przez króla Jerzego III.
Młody muzyk po dziewięciu latach chudych dostał posadę organisty w modnej miejscowości nadmorskiej Bath. Odwiedził wtedy rodzinę w Hanowerze i przywiózł do Anglii młodszą siostrę Caroline, którą miał uczyć śpiewu. Caroline okazała się zdolna i występowała razem z bratem. Wilhelm, czy jak go nazywano w Anglii: William, interesował się jednak głównie astronomią, więc z czasem także Caroline zaczęła się nią zajmować. Nie miała pewnie szans na karierę sceniczną, wskutek tyfusu przebytego w dzieciństwie przestała rosnąć i jako dorosła miała około 130 cm wzrostu. Prowadziła bratu gospodarstwo i pomagała mu w pracach astronomicznych, które z czasem stały się ich głównym zajęciem.
Herschel nie miał pieniędzy na kosztowne teleskopy, toteż zaczął sobie sam konstruować przyrządy. W ten sposób wprowadził do astronomii teleskopy zwierciadlane, znane już wcześniej, ale nie stosowane na szerszą skalę. Miały ogromne na owe czasy średnice zwierciadła, co umożliwiało obserwację słabych obiektów. Herschel spojrzał na niebo jak przyrodnik na las: jako miejsce, w którym odbywają się różne powiązane ze sobą procesy. Niewiele było wiadomo o dalekim wszechświecie. Mgławice traktowano np. jako anomalne ciekawostki, dopóki William i Caroline nie skatalogowali ich 2500. Przy okazji odkryli sporo komet i William odkrył planetę Uran. Praca wyglądała tak, że teleskop ustawiony był nieruchomo w płaszczyźnie południka, a obserwator rejestrował po kolei wszystkie obiekty przesuwające się w polu widzenia.

tele_herschel_big

Teleskop Herschela o ogniskowej 20 stóp

Prędzej czy później Uran musiał zostać przez Herschela odkryty, ponieważ takich przeglądów całego nieba wykonał on w życiu kilka. Uranowi zawdzięczał Herschel pensję od króla Jerzego – dyplomatycznie nazwał planetę imieniem króla. Nazwa się nie przyjęła poza Anglią, ale pensja została.

W roku 1785 Herschel opublikował pracę na temat układu gwiazd, do którego należy Słońce. Kliku uczonych zwróciło uwagę, że Droga Mleczna na niebie, to zapewne skutek tego, że znajdujemy się w płaszczyźnie jakiegoś dysku gwiazd. Były to jednak czyste spekulacje, jakie można prowadzić w pogodny wieczór po kolacji. Herschel pierwszy postanowił zmierzyć kształt tego obłoku – czyli Galaktyki. Wyszło mu coś takiego.

Herschel-Galaxy

 

Nie jest to wizja artystyczna, lecz wynik pomiarów. Większa gwiazdka blisko środka to Słońce. Charakterystyczne rozdwojenie po prawej stronie odpowiada obszarowi w gwiazdozbiorze Łabędzia, gdzie Droga Mleczna się rozdwaja. Herschel przyjął, że koncentracja gwiazd we wszechświecie jest stała: zawsze tyle samo przypada ich na daną objętość. Założył też, że za pomocą swego teleskopu o ogniskowej 20 stóp widzi wszystkie gwiazdy, jakie istnieją. Następnie policzył liczbę gwiazd w polu widzenia w różnych kierunkach: liczba ta była miarą rozmiarów naszej Galaktyki w danym kierunku (widzimy stożek z wierzchołkiem w oku obserwatora, objętość stożka jest proporcjonalna do jego wysokości).

Praca ta okazała się błędna, sam Herschel zauważył, że przez jeszcze większy teleskop, który z czasem skonstruował, widzi jeszcze więcej gwiazd. Także założenie o stałej przestrzennej koncentracji gwiazd jest fałszywe. Naprawdę Galaktyka jest znacznie większa, niż wtedy można było przypuszczać, a Słońce jest daleko od środka. Rozdwojenie jest skutkiem pochłaniania światła dalszych gwiazd przez obłok pyłu. Ale to wszystko trzeba było wyjaśniać przez sto pięćdziesiąt następnych lat. Jednak to Herschel ukazał ludziom zupełnie nowy wszechświat. A że często się mylił? Jego błędy okazały się znacznie bardziej twórcze niż dziesiątki poprawnych prac, które nikogo nie zainspirowały do niczego prócz ziewania.

 

 

Léon Foucault i jego wahadło (1851)

W wieku 31 lat Léon Foucault był już znanym eksperymentatorem, kawalerem Legii Honorowej: zdążył zajmować się dagerotypią, optyką i wykonał słynne pomiary prędkości światła w powietrzu i w wodzie. Zgodnie z teorią falową prędkość rozchodzenia się światła w wodzie powinna być mniejsza niż w powietrzu (stosunek prędkości w powietrzu i w wodzie to współczynnik załamania wody względem powietrza). Doświadczenia Foucaulta to potwierdziły. Wspólnie z Hyppolyte’em Fizeau, jego wielkim współpracownikiem, a później rywalem, próbowali wykryć ruch Ziemi względem eteru – ośrodka, w którym miały się rozchodzić fale świetlne, tak jak dźwięk rozchodzi się w powietrzu. Gdy wieje wiatr, prędkość dźwięku zmienia się: oba wektory prędkości – powietrza i dźwięku – się dodają. Sądzono, że coś podobnego powinno zachodzić także w przypadku ruchu Ziemi przez eter. Efektu nie udało się jednak wykryć. Dopiero w roku 1905 pewien urzędnik patentowy z Berna zaproponował, aby pojęcie eteru wyrzucić. Prędkość światła (w próżni) mierzona przez różnych obserwatorów zawsze równa się tej samej wartości c. Urzędnik nazywał się Albert Einstein, wówczas nazwisko to nikomu nic nie mówiło.
Léon Foucault wpadł na pomysł, jak można zademonstrować ruch wirowy Ziemi wokół osi za pomocą wahadła. Zauważył, że pręt umieszczony w uchwycie tokarki i wprawiony w ruch drgający, zachowuje stałą płaszczyznę wahań, gdy obracać uchwytem. Wahadło, któremu pozwolimy swobodnie drgać w dowolnym kierunku, powinno obracać się względem Ziemi. Z najprostszą sytuacją mamy do czynienia, gdy wahadło umieścimy na biegunie Ziemi. Wówczas nie będzie ono brało udziału w ruchu dobowym, lecz zachowa stałą orientację względem gwiazd. Wahadło zawieszone w paryskim Panteonie wzbudziło sensację: każdy mógł na własne oczy zobaczyć, że Ziemia wiruje.

pendulum-demo-engraving_web

Zachowanie wahadła Foucaulta dla innych punktów globu ziemskiego nie jest jednak takie proste: płaszczyzna wahań obraca się, wykonując jeden obrót w czasie dłuższym niż doba gwiazdowa (czyli okres obrotu Ziemi wokół osi, równy 23 godziny 56 minut – czas, po którym ta sama gwiazda znajdzie się w tym samym punkcie nieba dla obserwatora na Ziemi). Możemy zachowanie wahadła opisać z punktu widzenia obracającej się Ziemi: wtedy na wahadło w ruchu działa dodatkowa siła, tzw. siła Coriolisa. Sprawia ona np., że wiatry w wyżach barycznych nie wieją wzdłuż linii spadku ciśnienia, lecz skręcają w prawo. Ale możemy też opisać ruch wahadła w układzie nieobracającym się z Ziemią. Czyli wyobrażamy sobie, że Ziemia jest nieruchoma, a my wędrujemy z wahadłem wzdłuż jej równoleżnika. W układzie nieobracającym się nie ma czegoś takiego jak siła Coriolisa, pozostaje tylko grawitacja. Nie ma więc powodu, aby płaszczyzna wahań się obracała. Przyjmijmy, że drgania wahadła zachodzą jedynie w płaszczyźnie horyzontu, czyli płaszczyźnie stycznej do Ziemi w punkcie obserwacji. Przy niewielkich wychyleniach kątowych koniec wahadła niewiele się podnosi, najważniejsze są drgania zachodzące w płaszczyźnie horyzontu. Koniec wahadła zakreśla wtedy odcinek linii prostej. Będziemy oznaczać go strzałką. Strzałka nasza nie powinna zmieniać orientacji, gdy będziemy się przemieszczać wzdłuż linii prostej. No dobrze, ale jak się przemieszczać wzdłuż prostej po powierzchni kuli? Co powinno być odpowiednikiem linii prostej? Jest taki odpowiednik, są nim koła wielkie, tzn. koła o środku w środku Ziemi, a więc np. południki i równik, ale już nie inne równoleżniki. Gdy będziemy z naszym wahadłem poruszać się wzdłuż równika, kierunek strzałki będzie tworzył stale ten sam kąt z naszym kierunkiem ruchu. Inaczej mówiąc, w mieście na równiku nie da się zademonstrować doświadczenia Foucaulta. Koła wielkie są przy okazji także najkrótszymi drogami łączącymi dwa punkty Ziemi – dlatego lecąc samolotem z Europy do Seattle przelatuje się nad Arktyką, choć na większości map najkrótsza wydaje się droga po równoleżniku.

Gdy przemieszczamy się wzdłuż równoleżnika, strzałka oznaczająca płaszczyznę wahań wskazuje ten sam kierunek w płaszczyźnie stycznej, ale zmienia się kierunek linii północ-południe (równoleżnik nie jest linią prostą, bo nie jest kołem wielkim). Na rysunku przeprowadzone są styczne z punktów Ziemi położonych na tym samym równoleżniku. Styczne te przetną się w pewnym punkcie C. Utworzą one pobocznicę stożka. Linie PC i PC’ wskazują północ i leżą w płaszczyźnie horyzontu (dla bliskich sobie punktów P i P’ jest to praktycznie płaszczyzna CPP’). Kierunek wahań się nie zmienia, obraca się natomiast o kąt β kierunek linii wskazującej północ.

fouc1

 

Strzałki w różnych punktach równoleżnika rysujemy na stożku, po czym rozcinamy pobocznicę stożka wzdłuż linii CP i powstaje następujący rysunek.

fouc3_1

Pobocznica po rozwinięciu jest niepełnym wycinkiem koła. Kąty strzałek względem stożka nie zmienią się przy rozwinięciu i „spłaszczeniu” tej powierzchni. Inaczej mówiąc, strzałki wskazują wciąż ten sam kierunek, a obracają się linie PC, P’C, QC. Nietrudno obliczyć kąt środkowy \alpha, wystarczy popatrzeć na rysunek.

fouc4

 

Z trójkąta prostokątnego OCP mamy równość (\varphi to szerokość geograficzna):

\sin\varphi=\dfrac{\mbox{OP}}{\mbox{CP}}.

Wobec tego kąt środkowy w naszym rozwiniętym stożku \alpha jest równy

\alpha=\dfrac{2\pi\cdot\mbox{ OP}}{\mbox{CP}}=2\pi\sin\varphi.

(Kąt to iloraz długości łuku – równej długości naszego równoleżnika i promienia.) Wielkość obrotu płaszczyzny wahań po wykonaniu pełnego obiegu po powierzchni Ziemi nie zależy naprawdę od czasu. Nasze wahadło obróci się o kąt \sin\varphi razy mniejszy od kąta pełnego po pełnym obiegu równoleżnika, a więc po dobie. Inaczej mówiąc, okres obrotu płaszczyzny wahań na szerokości geograficznej \varphi wynosi

T\approx\dfrac{24^{h}}{\sin\varphi}.

Rozumowanie to może się wydawać naciągane, ale w istocie chodzi tu o zasadniczy fakt dotyczący powierzchni Ziemi: jest ona zakrzywiona i dlatego po wykonaniu pętli nasza strzałka ma inny kierunek niż na początku, mimo iż cały czas jest przenoszona w taki sposób, aby jej kierunek się nie nie zmienił.

Gdyby ktoś chciał zajrzeć, korzystałem z prac J. von Bergmann, H. C. von Bergmann, Foucault pendulum through basic geometry, „American Journal of Physics”, t. 75(10), (2007), s. 888-892, W.B. Somerville, The Description of Foucault’s Pendulum, „Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society”, t. 13 (1972), s. 40-62. W zasadzie takie samo wyjaśnienie czynnika \sin\varphi jak w drugiej pracy podali już Henryk Silberstein i Rozalia Nusbaumowa w książce Siły przyrody, Warszawa 1894 (można znaleźć w polskich bibliotekach cyfrowych), nie wiem, czy powtarzali za podręcznikiem Amédée Guillemina, czy należy do nich.