Relatywistyczna elipsa – aberracja światła i nie tylko

Kiedy źródło światła porusza się względem obserwatora ze znaczną prędkością (albo, co na jedno wychodzi, obserwator porusza się względem źródła), kierunek biegu promieni zmienia się. Jest to zjawisko aberracji światła, odkryte w roku 1728 przez Jamesa Bradleya. Prędkość Ziemi na orbicie, równa 30 km/s, jest wystarczająco duża w porównaniu z prędkością światła c=300 000 km/s, aby zjawisko było możliwe do wykrycia, choć jest ono w tym przypadku bardzo niewielkie. Silna aberracja światła wystąpi, gdy prędkość źródła będzie porównywalna z c, np. dla szybko poruszających się cząstek w akceleratorach albo w pewnych sytuacjach w kosmosie.

Istnieje prosty, choć rzadko opisywany w podręcznikach, sposób podejścia do tego zagadnienia. Pozwala on opisać aberrację światła, a także efekt Dopplera i transformację Lorentza, czyli niemal całą szczególną teorię względności. Okazuje się, że można tu zastosować geometrię elipsy, a więc matematykę starożytnych, wywodzącą się jeszcze od Euklidesa, Apoloniusza i Papposa (komentarz do Apoloniusza napisała też Hypatia).

relat ellip0

Elipsa jest zbiorem takich punktów P, że suma ich odległości od dwóch ustalonych punktów płaszczyzny O i O’ jest stała

 OP+PO'=2a,

 gdzie a jest długością dużej półosi elipsy.

Prędkość światła jest taka sama dla każdego obserwatora. Opisywaliśmy już wcześniej zegar złożony z dwóch zwierciadeł. Jeśli zegar taki się porusza, światło ma dłuższą drogę do przebycia, a więc zegar tyka w dłuższych odstępach.

dilation_ellipse

Nietrudno obliczyć, że zegar poruszający się z prędkością v, zwalnia \gamma razy, gdzie

\gamma=\dfrac{\Delta t}{\Delta t'}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}.

W ostatniej równości zapisaliśmy prędkość w jednostkach prędkości światła, co jest wygodne: prędkość obiektów, które mogą spoczywać, jest wówczas zawsze mniejsza niż 1. Korzystamy tu także z faktu, że odległości prostopadłe do kierunku prędkości nie zmieniają się (w fizyce przed Einsteinem było to oczywiste, w teorii względności dotyczy tylko odległości prostopadłych, odległości wzdłuż prędkości skracają się, ale nie będziemy z tego korzystać).

Rozpatrzmy teraz zegar świetlny złożony ze sferycznego zwierciadła o promieniu 1 i źródła światła umieszczonego w jego centrum O. Promienie wysłane w chwili początkowej 0, dotrą w chwili 1 do zwierciadła, zostaną odbite i w chwili 2 wrócą z powrotem do punktu O. Załóżmy teraz, że ów zegar świetlny porusza się w prawo z prędkością v. W układzie laboratoryjnym wysłanie promieni nastąpi w punkcie O, a ich powrót w innym punkcie O’ (w każdym razie fakt, że promienie wracają wszystkie jednocześnie do jednego punktu przestrzeni jest bezsporny zarówno dla obserwatora poruszającego się z zegarem, jak i pozostającego w laboratorium). Czas, jaki upłynie w układzie laboratoryjnym między wysłaniem promieni a ich powrotem będzie równy 2\gamma ze względu na spowolnienie zegara w ruchu. Zatem wszystkie promienie biegnące po liniach łamanych od o do O’ przebywają takie same drogi:

OP_1+P_1 O'=OP_2+P_2 O'=2\gamma.

Znaczy to, że punkty odbicia utworzą elipsę o dużej półosi równej \gamma.

relat ellipse1

W układzie laboratoryjnym odbicia następują w różnych chwilach: najwcześniej z lewej strony elipsy, najpóźniej z prawej. Jest to logiczne: punkty zwierciadła leżące z lewej strony punktu O poruszają się na spotkanie światłu, te z prawej strony „uciekają” przed nim. Elipsa nie jest więc czołem fali w układzie laboratoryjnym, ponieważ różne jej punkty osiągane są w różnych chwilach. Odległość obu ognisk równa jest iloczynowi prędkości i czasu:

OO'=v2\gamma.

Ponieważ odległości poprzeczne do kierunku ruchu się nie zmieniają, więc kierunki promieni świetlnych w układzie laboratoryjnym możemy skonstruować następująco: rysujemy promień, który nas interesuje w układzie poruszającym się razem z naszym kulistym zwierciadłem. Następnie rozciągamy rysunek \gamma razy wzdłuż kierunku ruchu i przenosimy początek wektorów o \gamma v.

relat ellipse2

Widzimy, jak promienie obracają się w kierunku ruchu źródła i skupiają wokół wektora \vec{v}. Gwiazda poruszająca się z prędkością bliską prędkości światła świeciłaby głównie w kierunku ruchu, jak reflektor samochodu.
Łatwo jest napisać związki między kątami obserwowanymi w obu układach odniesienia (matematyka jest dokładnie taka sama, jak w przypadku anomalii mimośrodowej i prawdziwej w zagadnieniu orbit eliptycznych). Jeśli kąt między kierunkiem ruchu a promieniem świetlnym oznaczymy \theta, a analogiczny kąt dla zegara nieruchomego \theta', to obowiązuje następujący wzór:

\tan{\dfrac{\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-v}{1+v}}\tan{\dfrac{\theta'}{2}}.

(tan oznacza funkcję tg w LateXu). Dla małych kątów można opuścić funkcje tangens po obu stronach i otrzymamy

\theta\approx \theta' \sqrt{\dfrac{1-v}{1+v}}..

Kąty są po prostu przemnożone przez czynnik mniejszy od jedynki, tworząc stożek o mniejszym kącie rozwarcia. Im bardziej zbliżymy się do prędkości światła, tym bliższy zera będzie ten czynnik i tym bardziej promieniowanie skoncentrowane będzie wzdłuż wektora prędkości.

Jeszcze jedna użyteczna własność tej elipsy: długość wektora wodzącego OP jest proporcjonalna do częstotliwości światła: długie wektory w kierunku do przodu oznaczają zwiększenie częstotliwości, krótkie w kierunku do tyłu – zmniejszenie częstotliwości. Gdy źródło się zbliża, częstotliwość rośnie; gdy się oddala – maleje.

Oczywiście możemy nasze rysunki obrócić wokół dużej osi elipsy, naprawdę wszystkie figury są elipsoidami obrotowymi.

Uwaga dla zaawansowanych: Transformacja Lorentza

Z przedstawionej konstrukcji znaleźć można łatwo związek między układem współrzędnych poruszającym się razem ze źródłem światła (primowanym) i układem laboratoryjnym (nieprimowanym). Szukamy związku między współrzędnymi tego samego zdarzenia P, P’ w obu tych układach współrzędnych. W chwili t=t'=0 początki obu układów się pokrywały.

relat lorentz

Punkt P na rysunku można uzyskać z punktu P’ rozciągając współrzędną x w stosunku takim jak duża półoś elipsy do małej, a następnie przesuwając o odległość OO’ (tzn. od środka do ogniska elipsy):

x=ae+\dfrac{a}{b}x',

gdzie a, b, e oznaczają standardowo długość dużej półosi, długość małej półosi oraz mimośród elipsy. Odległość OP jest równa czasowi, w jakim światło biegnie między tymi dwoma zdarzeniami:

OP=t=a+e\dfrac{a}{b}x' \mbox{ (*)}.

Zależność (*) wynika wprost z drugiej definicji elipsy, patrz poniżej. W naszej elipsie zachodzą równości

\dfrac{a}{b}=\gamma \mbox{, } e=v \mbox{, }b=t',

z czego natychmiast wynikają równania transformacji Lorentza:

\begin{cases}x=\gamma(x'+vt')\\ t=\gamma(t'+vx').\end{cases}

Nietrudno zrozumieć, skąd się wzięła nasza elipsa: są to zdarzenia jednoczesne w układzie primowanym. W laboratoryjnym układzie współrzędnych xyzt leżą one na płaszczyźnie odpowiadającej temu samemu czasowi t’ oraz na stożku świetlnym – przecięcie stożka i płaszczyzny to (w tym przypadku) elipsa.

conic

Uzasadnienie wzoru (*). Elipsę można też zdefiniować, jako zbiór punktów, których odległość od pewnego punktu O (ogniska) jest e<1 razy mniejsza niż odległość od ustalonej prostej k (kierownicy).

definicja elipsy

Wobec tego odległość dowolnego punktu elipsy od ogniska równa jest

r=e(d+x)=ed+ex=a+ex,

gdzie ostatnia równość wynika z zastosowania tej definicji do najwyższego wierzchołka elipsy (patrz rysunek). Współrzędna x z ostatniego wyrażenia to \dfrac{a}{b}x' z wyrażenia (*).

Reklamy

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s