Relatywistyczna elipsa – aberracja światła i nie tylko

Kiedy źródło światła porusza się względem obserwatora ze znaczną prędkością (albo, co na jedno wychodzi, obserwator porusza się względem źródła), kierunek biegu promieni zmienia się. Jest to zjawisko aberracji światła, odkryte w roku 1728 przez Jamesa Bradleya. Prędkość Ziemi na orbicie, równa 30 km/s, jest wystarczająco duża w porównaniu z prędkością światła c=300 000 km/s, aby zjawisko było możliwe do wykrycia, choć jest ono w tym przypadku bardzo niewielkie. Silna aberracja światła wystąpi, gdy prędkość źródła będzie porównywalna z c, np. dla szybko poruszających się cząstek w akceleratorach albo w pewnych sytuacjach w kosmosie.

Istnieje prosty, choć rzadko opisywany w podręcznikach, sposób podejścia do tego zagadnienia. Pozwala on opisać aberrację światła, a także efekt Dopplera i transformację Lorentza, czyli niemal całą szczególną teorię względności. Okazuje się, że można tu zastosować geometrię elipsy, a więc matematykę starożytnych, wywodzącą się jeszcze od Euklidesa, Apoloniusza i Papposa (komentarz do Apoloniusza napisała też Hypatia).

relat ellip0

Elipsa jest zbiorem takich punktów P, że suma ich odległości od dwóch ustalonych punktów płaszczyzny O i O’ jest stała

 OP+PO'=2a,

 gdzie a jest długością dużej półosi elipsy.

Prędkość światła jest taka sama dla każdego obserwatora. Opisywaliśmy już wcześniej zegar złożony z dwóch zwierciadeł. Jeśli zegar taki się porusza, światło ma dłuższą drogę do przebycia, a więc zegar tyka w dłuższych odstępach.

dilation_ellipse

Nietrudno obliczyć, że zegar poruszający się z prędkością v, zwalnia \gamma razy, gdzie

\gamma=\dfrac{\Delta t}{\Delta t'}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}.

W ostatniej równości zapisaliśmy prędkość w jednostkach prędkości światła, co jest wygodne: prędkość obiektów, które mogą spoczywać, jest wówczas zawsze mniejsza niż 1. Korzystamy tu także z faktu, że odległości prostopadłe do kierunku prędkości nie zmieniają się (w fizyce przed Einsteinem było to oczywiste, w teorii względności dotyczy tylko odległości prostopadłych, odległości wzdłuż prędkości skracają się, ale nie będziemy z tego korzystać).

Rozpatrzmy teraz zegar świetlny złożony ze sferycznego zwierciadła o promieniu 1 i źródła światła umieszczonego w jego centrum O. Promienie wysłane w chwili początkowej 0, dotrą w chwili 1 do zwierciadła, zostaną odbite i w chwili 2 wrócą z powrotem do punktu O. Załóżmy teraz, że ów zegar świetlny porusza się w prawo z prędkością v. W układzie laboratoryjnym wysłanie promieni nastąpi w punkcie O, a ich powrót w innym punkcie O’ (w każdym razie fakt, że promienie wracają wszystkie jednocześnie do jednego punktu przestrzeni jest bezsporny zarówno dla obserwatora poruszającego się z zegarem, jak i pozostającego w laboratorium). Czas, jaki upłynie w układzie laboratoryjnym między wysłaniem promieni a ich powrotem będzie równy 2\gamma ze względu na spowolnienie zegara w ruchu. Zatem wszystkie promienie biegnące po liniach łamanych od o do O’ przebywają takie same drogi:

OP_1+P_1 O'=OP_2+P_2 O'=2\gamma.

Znaczy to, że punkty odbicia utworzą elipsę o dużej półosi równej \gamma.

relat ellipse1

W układzie laboratoryjnym odbicia następują w różnych chwilach: najwcześniej z lewej strony elipsy, najpóźniej z prawej. Jest to logiczne: punkty zwierciadła leżące z lewej strony punktu O poruszają się na spotkanie światłu, te z prawej strony „uciekają” przed nim. Elipsa nie jest więc czołem fali w układzie laboratoryjnym, ponieważ różne jej punkty osiągane są w różnych chwilach. Odległość obu ognisk równa jest iloczynowi prędkości i czasu:

OO'=v2\gamma.

Ponieważ odległości poprzeczne do kierunku ruchu się nie zmieniają, więc kierunki promieni świetlnych w układzie laboratoryjnym możemy skonstruować następująco: rysujemy promień, który nas interesuje w układzie poruszającym się razem z naszym kulistym zwierciadłem. Następnie rozciągamy rysunek \gamma razy wzdłuż kierunku ruchu i przenosimy początek wektorów o \gamma v.

relat ellipse2

Widzimy, jak promienie obracają się w kierunku ruchu źródła i skupiają wokół wektora \vec{v}. Gwiazda poruszająca się z prędkością bliską prędkości światła świeciłaby głównie w kierunku ruchu, jak reflektor samochodu.
Łatwo jest napisać związki między kątami obserwowanymi w obu układach odniesienia (matematyka jest dokładnie taka sama, jak w przypadku anomalii mimośrodowej i prawdziwej w zagadnieniu orbit eliptycznych). Jeśli kąt między kierunkiem ruchu a promieniem świetlnym oznaczymy \theta, a analogiczny kąt dla zegara nieruchomego \theta', to obowiązuje następujący wzór:

\tan{\dfrac{\theta}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-v}{1+v}}\tan{\dfrac{\theta'}{2}}.

(tan oznacza funkcję tg w LateXu). Dla małych kątów można opuścić funkcje tangens po obu stronach i otrzymamy

\theta\approx \theta' \sqrt{\dfrac{1-v}{1+v}}..

Kąty są po prostu przemnożone przez czynnik mniejszy od jedynki, tworząc stożek o mniejszym kącie rozwarcia. Im bardziej zbliżymy się do prędkości światła, tym bliższy zera będzie ten czynnik i tym bardziej promieniowanie skoncentrowane będzie wzdłuż wektora prędkości.

Jeszcze jedna użyteczna własność tej elipsy: długość wektora wodzącego OP jest proporcjonalna do częstotliwości światła: długie wektory w kierunku do przodu oznaczają zwiększenie częstotliwości, krótkie w kierunku do tyłu – zmniejszenie częstotliwości. Gdy źródło się zbliża, częstotliwość rośnie; gdy się oddala – maleje.

Oczywiście możemy nasze rysunki obrócić wokół dużej osi elipsy, naprawdę wszystkie figury są elipsoidami obrotowymi.

Uwaga dla zaawansowanych: Transformacja Lorentza

Z przedstawionej konstrukcji znaleźć można łatwo związek między układem współrzędnych poruszającym się razem ze źródłem światła (primowanym) i układem laboratoryjnym (nieprimowanym). Szukamy związku między współrzędnymi tego samego zdarzenia P, P’ w obu tych układach współrzędnych. W chwili t=t'=0 początki obu układów się pokrywały.

relat lorentz

Punkt P na rysunku można uzyskać z punktu P’ rozciągając współrzędną x w stosunku takim jak duża półoś elipsy do małej, a następnie przesuwając o odległość OO’ (tzn. od środka do ogniska elipsy):

x=ae+\dfrac{a}{b}x',

gdzie a, b, e oznaczają standardowo długość dużej półosi, długość małej półosi oraz mimośród elipsy. Odległość OP jest równa czasowi, w jakim światło biegnie między tymi dwoma zdarzeniami:

OP=t=a+e\dfrac{a}{b}x' \mbox{ (*)}.

Zależność (*) wynika wprost z drugiej definicji elipsy, patrz poniżej. W naszej elipsie zachodzą równości

\dfrac{a}{b}=\gamma \mbox{, } e=v \mbox{, }b=t',

z czego natychmiast wynikają równania transformacji Lorentza:

\begin{cases}x=\gamma(x'+vt')\\ t=\gamma(t'+vx').\end{cases}

Nietrudno zrozumieć, skąd się wzięła nasza elipsa: są to zdarzenia jednoczesne w układzie primowanym. W laboratoryjnym układzie współrzędnych xyzt leżą one na płaszczyźnie odpowiadającej temu samemu czasowi t’ oraz na stożku świetlnym – przecięcie stożka i płaszczyzny to (w tym przypadku) elipsa.

conic

Uzasadnienie wzoru (*). Elipsę można też zdefiniować, jako zbiór punktów, których odległość od pewnego punktu O (ogniska) jest e<1 razy mniejsza niż odległość od ustalonej prostej k (kierownicy).

definicja elipsy

Wobec tego odległość dowolnego punktu elipsy od ogniska równa jest

r=e(d+x)=ed+ex=a+ex,

gdzie ostatnia równość wynika z zastosowania tej definicji do najwyższego wierzchołka elipsy (patrz rysunek). Współrzędna x z ostatniego wyrażenia to \dfrac{a}{b}x' z wyrażenia (*).

Reklamy

Jean Le Rond d’Alembert i Benedykt XIV: coś w rodzaju dialogu (1758)

W połowie XVIII wieku mechanika Isaaca Newtona odnosiła kolejne tryumfy: spłaszczenie Ziemi przy biegunach, przypływy mórz, precesja, ruch Księżyca – wszystko świadczyło na korzyść tajemniczej siły grawitacji. Niektórzy sarkali jeszcze, że nie wiadomo, czym jest owa grawitacja – no bo jak ciała mogą się przyciągać poprzez próżnię? Argumentowano, że to jakiś nowy rodzaj jakości ukrytych, coś w rodzaju twierdzenia, iż opium usypia, ma bowiem zdolność usypiającą. Z wolna jednak oswajano się z myślą, że z jakiegoś powodu świat jest matematyczny i kiedy odgadnie się właściwe prawo, dostrzec można mnóstwo powiązań między pozornie oddzielnymi zjawiskami. „Przyczyn” grawitacji nie znamy zresztą do dziś, także teoria Einsteina tego nie wyjaśnia, formułuje tylko inny opis matematyczny, lepiej przystający do obserwacji.

Ruch Ziemi nie był już dawno kwestią, która by rozpalała umysły. Proces Galileusza, jak się zdaje, jeszcze bardziej przyspieszył nieuchronne zwycięstwo heliocentryzmu. Pod koniec wieku XVII trudno było mieć jeszcze jakieś wątpliwości. Christiaan Huygens pisał w 1698 roku, iż „wszyscy astronomowie prócz opóźnionych umysłowo albo tych, których poglądy podporządkowane są woli innych ludzi, przyjmują bez żadnych wątpliwości ruch Ziemi oraz jej usytuowanie pośród planet” (Kosmotheoros, s. 14). Także w Italii i także w Państwie Kościelnym uczeni, zajmujący się naukami ścisłymi, nie mieli żadnych wątpliwości, choć musieli uważać, by nie popaść w kłopoty. Utartym sposobem było wyraźne ogłoszenie, że wszystko, co się mówi, ma jedynie status hipotezy, a naprawdę wierzymy razem ze świętym Kościołem, że Ziemia poruszać się w żaden sposób nie może. Oto charakterystyczny przykład. Dwaj profesorowie, minimici, François Jacquier i Thomas Le Seur przygotowali nowe, komentowane wydanie Matematycznych zasad Newtona. Na wszelki wypadek zamieścili następującą deklarację (był rok 1742!):

declar

„Newton w tej trzeciej księdze przyjmuje hipotezę ruchu Ziemi. Nie mogliśmy objaśnić twierdzeń autora inaczej, niż także przyjmując taką hipotezę. Jesteśmy więc zmuszeni występować w nieswoim charakterze; deklarujemy jednak uniżone posłuszeństwo, należne dekretom papieży przeciwko ruchowi Ziemi”.

Sztuczki tej próbował już Galileusz. To, co jemu się nie udało, udawało się jego następcom i nikogo więcej w tej sprawie nie prześladowano. Sprawa Galileusza była raczej władczym kaprysem Urbana VIII niż przemyślaną polityką Kościoła. Z czasem głoszenie geocentryzmu w imię dosłownego rozumienia Biblii stawało się coraz bardziej kłopotliwe. Tym bardziej, że Pismo św. coraz wyraźniej jawiło się jako dokument historyczny, nie zawierający ukrytej wiedzy na żaden właściwie temat naukowy. Biblia nie jest źródłem wiedzy, które można by postawić obok doświadczenia czy budowania teorii.
Na Stolicy Piotrowej w połowie wieku XVIII zasiadał Benedykt XIV, cieszący się opinią człowieka uczonego i nienastawionego wrogo do wszystkiego, co przynoszą nowe czasy. Wybrany został w niezwykle długim konklawe, po 254 głosowaniach. Za jego pontyfikatu ukazało się pierwsze na ziemi włoskiej od czasu osławionego procesu wydanie Dialogu o dwu najważniejszych układach świata Galileusza. Dzieło, poprzedzone wprawdzie tekstem wyroku inkwizycji oraz upokarzającą abiuracją uczonego, było niemal nietknięte cenzurą. Wydanie to przygotował zresztą padewski ksiądz i fizyk Giuseppe Toaldo. Już w czasie procesu Galileusza Kościół nie był monolitem, po stu latach widać było coraz więcej ludzi Kościoła, pragnących zmiany polityki w sprawie Kopernika i Galileusza.

Benoit-XIV

O zmianę taką apelował też Jean Le Rond d’Alembert, jeden z dwóch głównych autorów Wielkiej Encyklopedii Francuskiej. W haśle Copernic pisał: „Należałoby gorąco pragnąć, by kraj tak błyszczący wiedzą i rozumem, jak Italia, uznał w końcu ów błąd, tak szkodliwy dla postępu nauk i aby myślał na ten temat to samo co Francja! Odmiana taka godna byłaby oświeconego papieża, który kieruje dzisiaj Kościołem, papieża, który jest przyjacielem nauk i sam jest uczonym. To od niego zależy wydanie inkwizytorom prawa w tym przedmiocie (…) Ta furia inkwizycji zwrócona przeciwko ruchowi Ziemi szkodzi nawet samej religii”. Rozróżnienie między inkwizycją a papieżem nie jest trafne, choć d’Alembert wolał zapewne winę przypisać inkwizycji. W historycznej sprawie Galileusza rozkład winy był dokładnie odwrotny: to inkwizycja nie miała chęci skazywać uczonego i sterowała ku łagodnemu rozwiązaniu sprawy, a papież Urban VIII nakazywał zaostrzenie kursu.

portrait-of-jean-le-rond-d-alembert-1753.jpg!Large

Encyklopedyści byli gwałtownie atakowani przez rodzime środowiska klerykalne. Toteż w pierwszej chwili wydaje się mało prawdopodobne, aby apel kogoś takiego, jak d’Alembert, mógł zostać wysłuchany w Rzymie. Nie ma pewności, czy Benedykt zapoznał się z tekstem z Encyklopedii, ale stosowny cytat znalazł się w obszernej opinii przedstawionej Kongregacji Indeksu przez jezuitę, Pietra Lazzariego. Papież nadzorował osobiście prace tej Kongregacji, mógł więc czytać ten dokument. Lazzari kompetentnie wywiódł, że nie ma sensu utrzymywać zakazu książek dotyczących ruchu Ziemi, i to z wielu powodów. Między innymi dlatego, że zakaz jest nieskuteczny i prowadzi do konfliktów sumienia u katolików. Wśród uczonych sprawa została przesądzona. Popisał się też argumentem prawdziwie jezuickim: nawet jeśli ktoś uważa, że ruch Ziemi sprzeczny jest z Pismem św. i wiarą katolicką, to i tak nie potrzeba osobnego zakazu, gdyż wszystko, co sprzeczne z Pismem i wiarą, jest automatycznie zakazane. Lazzari dobrze rozumiał sytuację i zapewne sam odczuwał pewien dyskomfort widząc, że stanowisko Kościoła bardzo daleko odbiegło od złotego środka.
Jaki był wynik tych wszystkich deliberacji? Taki, że ogólny zakaz „wszystkich książek nauczających o ruchomości Ziemi i nieruchomości Słońca” nie został powtórzony w nowym wydaniu Indeksu Ksiąg Zakazanych z roku 1758. Nadal pozostały szczegółowe zakazy dotyczące dzieł Kopernika, Keplera i Galileusza. Na kolejny mały krok trzeba było czekać do XIX wieku.

Całą tę sprawę omawia Maurice A. Finocchiaro w książce Retrying Galileo 1633-1992, University of California Press 2005; można tam także znaleźć odsyłacze do oryginalnych tekstów.

James Bradley: obserwacyjny dowód ruchu Ziemi wokół Słońca (1728)

Jeśli Ziemia porusza się wokół Słońca w ciągu roku, to zmiany jej położenia powinny prowadzić do przesunięć gwiazd na niebie w okresie roku. Astronomowie nazywają to zjawisko paralaksą roczną. Kąt paralaksy p to wartość kąta Z1GS na rysunku. Jeśli światło od gwiazdy biegnie prostopadle do płaszczyzny orbity Ziemi (zwanej płaszczyzną ekliptyki), to powinniśmy obserwować, że w ciągu roku gwiazda zatacza na niebie okrąg o promieniu kątowym p. Okrąg ten jest rzutem orbity Ziemi wokół Słońca.

paralaksa

Kąt paralaksy p związany jest oczywistą zależnością z odległością gwiazdy od Słońca d=SG oraz promieniem orbity Ziemi R=SZ_1=SZ_2:

p=\dfrac{R}{d},

gdzie po lewej stronie zastąpiliśmy tangens kąta p jego wartością w radianach, wolno tak zrobić, gdy kąty są niewielkie (2\pi radianów odpowiada 360^{\circ}). Gdyby kierunek do gwiazdy tworzył z płaszczyzną ekliptyki kąt \beta, to zamiast okręgu, gwiazda powinna zataczać elipsę o półosiach p oraz p\sin\beta. Elipsa ta jest po prostu orbitą Ziemi zrzutowaną na płaszczyznę prostopadłą do promieni światła od gwiazdy – rzut okręgu jest elipsą. W szczególności, gdy gwiazda leży na ekliptyce, tzn. \beta=0, elipsa degeneruje się do odcinka: gwiazda powinna oscylować w okresie rocznym z amplitudą p, jej ruch będzie ruchem harmonicznym.

Brak zauważalnej paralaksy rocznej był od starożytności jednym z najpoważniejszych argumentów przeciwko ruchowi Ziemi. Był to także słaby punkt teorii Kopernika: rozwiązywała ona pewne problemy, rodząc nowe, jak choćby ten brak paralaksy. Po Galileuszu, który usunął trudności pojęciowe z mechaniką na poruszającej się Ziemi, oraz po Keplerze, który pokazał, że orbity wokół Słońca podlegają precyzyjnym prawom matematycznym (tzw. trzy prawa Keplera), właściwie nikt już nie kwestionował ruchu Ziemi. No, może oprócz tych, którzy musieli to robić z powodów ideologicznych, jak jezuici. Stąd ich dziwne łamańce, by nie przyznać, że Ziemia się porusza. Nie tylko zresztą Ziemia ignorowała orzeczenia najświętszego trybunału inkwizycji, także heretycy, tzn. protestanci, na ogół zgadzali się z nową nauką bez większych oporów. Wreszcie fizyka Newtona pozwoliła zrozumieć matematycznie różne zjawiska w Układzie Słonecznym i kwestia ruchu Ziemi przestała być kontrowersyjna, nawet w Italii nie próbowano już nikogo ścigać za kopernikanizm.

Nadal jednak, mimo wysiłków, nie udawało się wykryć paralaksy żadnej z gwiazd. Astronomowie stale zwiększali dokładność pomiarów kątowych, udoskonalali przyrządy i metody obserwacji. Wielebny James Bradley był profesorem astronomii na katedrze Savile’a w Oxfordzie i zręcznym obserwatorem. Pod koniec roku 1725 zaczęli z Samuelem Molyneux obserwować gwiazdę γ Draconis (czyli Smoka), która ma tę zaletę, że położona jest blisko bieguna ekliptyki (czyli mniej więcej tak, jak na naszych rysunkach). Góruje ona w Londynie blisko zenitu, co ułatwia precyzyjne pomiary jej wysokości kątowej nad horyzontem (nisko nad horyzontem kierunek promieni się zmienia wskutek załamania światła w atmosferze ziemskiej, jest to tzw. refrakcja: gdy widzimy, że słońce dotyka horyzontu, to naprawdę już zaszło). Gwiazdę tę obserwował już wcześniej Robert Hooke, który w 1669 roku twierdził, iż wykrył jej paralaksę roczną. Bradley i Molyneux chcieli sprawdzić, czy to prawda – Hooke często chełpił się odkryciami, mówiąc delikatnie, nie do końca potwierdzonymi. Dość szybko wykryli przesuwanie się gwiazdy na niebie, tyle że nie zgadzały się kierunki. Od grudnia do marca γ Draconis przesunęła się (w chwili górowania) o 20” kątowych na południe. Gdyby gwiazda wykazywała przesunięcia paralaktyczne, jej przesunięcie na niebie powinno zachodzić w kierunku do Słońca (por. rysunek). Tymczasem w chwili wiosennego górowania gwiazdy Słońce było na wschodzie! Prowadząc obserwacje przez resztę roku 1726 astronomowie upewnili się, że gwiazda oscyluje z amplitudą 20”. Obserwacje były precyzyjne i powtarzalne, nie chodziło o błędy pomiarowe. Gwiazda pochylała się nie w kierunku do Słońca, lecz w kierunku do niego prostopadłym, dokładnie w chwilowym kierunku wektora prędkości Ziemi w ruchu wokół Słońca. Sytuację z marca przedstawia rysunek.

bradley

Zjawisko było więc związane nie z chwilowym położeniem Ziemi, ale z kierunkiem jej prędkości. Bradley znalazł prawidłowe objaśnienie zjawiska: jest ono skutkiem ruchu Ziemi. Wektor prędkości światła obserwowany przez nas równy jest

\vec{c}_{obs}=\vec{c}-\vec{v},

gdzie \vec{c} jest wektorem względem Słońca, a \vec{v} jest wektorem prędkości Ziemi, którego koniec w ciągu roku zatacza okrąg.

aberracja

Geometria jest taka sama jak na rysunku wyżej, inne jest tylko znaczenie fizyczne boków trójkąta. Kąt między tymi wektorami równy jest

\theta=\dfrac{v}{c}.

Zjawisko to nazywa się aberracją światła. Wielkość okręgu zataczanego przez gwiazdę nie ma tu nic wspólnego z jej odległością. Gwiazda leżąca w kierunku tworzącym z ekliptyką kąt \beta, będzie zakreślać elipsę o półosiach \theta oraz \theta\sin\beta. Bradley sprawdził, że to prawda, zanim w 1728 roku opublikował artykuł o odkryciu w „Philosophical Transactions”.
W ten nieoczekiwany sposób znaleziony został pierwszy bezpośredni dowód obserwacyjny, że ruch Ziemi jest czymś realnym, a nie teoretycznym założeniem. Usiłując potwierdzić teorię Kopernika za pomocą pomiarów paralaksy,  potwierdzono ją nieoczekiwanie na całkiem inny sposób. Próby wykrycia paralaksy rocznej trwały nadal, upłynęło ponad sto lat, zanim udało się tego dokonać, chodzi bowiem o kąty mniejsze niż 1”.

Co to jest ciemna energia?

Ciemna energia to ponad dwie trzecie energii wszechświata. Wyjaśnienie jej pochodzenia jest zapewne największym wyzwaniem fizyki i kosmologii. Pokażemy krótko, o co chodzi, gdy mówimy o ciemnej energii.

1. Prawo Hubble’a

Edwin Hubble odkrył, że wszystkie dalekie obiekty oddalają się od nas z prędkością, która jest proporcjonalna do odległości. Wektorowo możemy to zapisać następująco:

\vec{v}=H\vec{R}.

Parametr H nazywamy parametrem Hubble’a. Gdybyśmy się przenieśli do galaktyki położonej w punkcie \vec{R_1}, prawo Hubble’a nadal będzie obowiązywało dla prędkości i położeń liczonych od galaktyki nr 1:

\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1=H\vec{R}_2-H\vec{R}_1=h(\vec{R}_2-\vec{R}_1)=H\vec{R}.

hubble_Law

Na prawo Hubble’a należy patrzeć jak na rozszerzanie się przestrzeni: galaktyki są w stałych położeniach (jak rodzynki w cieście drożdżowym), a odległości między nimi stale rosną (całe ciasto „rośnie”). Skoro odległości te obecnie rosną, to znaczy, że w przeszłości były mniejsze. Łatwo obliczyć, jak dawno temu wszystkie galaktyki powinny być „obok siebie”. Wystarczy podzielić odległość przez prędkość:

t_H=\dfrac{R}{v}=\dfrac{1}{H}.

Czas ten nie zależy od tego, którą konkretnie galaktykę wybierzemy do obliczeń. Nazywamy go czasem Hubble’a, jego wartość równa się około 14 mld. lat. Zatem t_H lat temu cały wszechświat powinien być bardzo gęsty. Oczywiście, czas Hubble’a nie musi być równy wiekowi wszechświata. Byłoby tak, gdyby w przeszłości galaktyki oddalały się z taką samą prędkością jak dziś. Jednak prędkość ich oddalania się stopniowo maleje za sprawą grawitacji, która jest siłą przyciągającą. Oczekujemy więc, że wiek wszechświata jest mniejszy od czasu Hubble’a.

2. Od czego zależy parametr Hubble’a?

Obserwacje wskazują, że we wszechświecie gęstość materii jest wszędzie stała (oczywiście w odpowiednio dużej skali; nieco podobnie jak możemy uważać, że gaz ma stałą gęstość w skali znacznie większej niż odległość pojedynczych atomów). Pole grawitacyjne ma specyficzną własność: jeśli wyobrazimy sobie kulistą wnękę opróżnioną z materii, to w każdym jej punkcie przyciąganie grawitacyjne jakiejś małej próbnej masy będzie równe zeru.

dziura sferyczna1Oznacza to, że rozpatrując, co się dzieje z całym nieskończonym wszechświatem o stałej gęstości, wystarczy zająć się zachowaniem wybranej kuli – cała materia na zewnątrz tej kuli nie będzie wywierała żadnej siły wypadkowej. Rozpatrzmy więc kulę z galaktykami, która rozszerza się razem z całym wszechświatem. Galaktyki na powierzchni tej kuli mają pewną prędkość oddalania się, jest to zarazem prędkość ekspansji naszej kuli.

kula expandujaca

Możliwe są trzy przypadki: prędkość (dowolnej) galaktyki na powierzchni kuli może być większa, równa albo mniejsza od prędkości ucieczki z kuli. Sytuacja jest dokładnie taka, jak w przypadku wystrzeliwania jakiegoś ciała z powierzchni Ziemi: jego prędkość może być większa, równa albo mniejsza od prędkości ucieczki i nasze ciało albo oddali się nieograniczenie (w dwóch pierwszych wypadkach), albo oddali się na pewną maksymalną odległość, a potem zawróci. Obserwacje wskazują, że nasz wszechświat z jakichś powodów zachowuje się tak, że galaktyki mają dokładnie prędkość graniczną: prędkość ucieczki. Nie jest to oczywiste, wygląda na to, że warunki początkowe Wielkiego Wybuchu zostały w precyzyjny sposób wybrane właśnie tak, aby prędkość galaktyk była równa prędkości ucieczki. Wybrane – nie znaczy: wybrane przez Stwórcę, ale jakoś fizycznie wyróżnione. Objaśniają to teorie tzw. inflacji, którymi tutaj nie będziemy się zajmować.
Prędkość ucieczki z powierzchni kuli o masie M i promieniu R równa się (zob. dowolny podręcznik fizyki albo stosowne hasło Wikipedii):

v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}},

gdzie G jest stałą grawitacyjną. Ponieważ w naszej rozszerzającej się kuli są wciąż te same galaktyki, jej masa jest stała i wobec tego prędkość maleje w miarę ekspansji – czegoś takiego oczekujemy od grawitacji. Ktoś, kto zna pochodne, łatwo sprawdzi, że rozwiązaniem tego równania jest R\sim t^{\frac{2}{3}}, (a pochodna v=R^{\prime}\sim t^{-\frac{1}{3}}). Na wykresie wygląda to tak.

einstein de sitter

Masę kuli można zapisać jako iloczyn gęstości \rho i objętości, otrzymamy wówczas prawo Hubble’a:

v=\sqrt{\dfrac{8\pi G\rho}{3}}R\equiv HR.

Ze wzoru tego wynikają dwie rzeczy: bez względu na to jak dużą weźmiemy kulę, otrzymamy tę samą wartość parametru H, jak być powinno, jeśli nasze rozumowanie ma być prawdziwe. Po drugie, w miarę jak kula będzie się rozszerzać, gęstość materii będzie maleć (wciąż ta sama masa przypada bowiem na coraz większą objętość). Zatem parametr Hubble’a też będzie maleć z czasem. Cofając się w czasie, otrzymamy coraz mniejsze promienie i coraz większe gęstości oraz prędkości. Widać, że model ten traci sens, gdy promień równa się zeru, odpowiada to bowiem nieskończonej gęstości. To właśnie jest Wielki Wybuch. Nasz model, podobnie jak ogólna teoria względności, traci sens dla R=0. Możemy natomiast przewidywać, co się będzie działo po Wielkim Wybuchu, a więc dla t>0. I jeszcze jedno: Wielki Wybuch jest granicą czasową naszego wszechświata, ale nie jest związany z żadnym miejscem w przestrzeni. Moglibyśmy naszą kulę wybrać ze środkiem w dowolnym punkcie i wyniki byłyby takie same. Zatem Wielki Wybuch dokonał się jednocześnie w całej przestrzeni: to nie był wybuch jakiejś bomby w pewnym punkcie.

3. Ciemna energia

Parametr Hubble’a H maleje, gdy maleje gęstość wszechświata. Tak być powinno, grawitacja spowalnia ekspansję. Ponieważ nasz wszechświat rozszerza się z prędkością ucieczki, powinien spowalniać coraz bardziej, a parametr Hubble’a powinien dążyć asymptotycznie do zera, nigdy go nie osiągając. Obserwacje (Nobel 2011) wykazały jednak, że do gęstości materii galaktyk \rho należy w ostatnim wzorze na H dodać pewną dodatkową stałą gęstość \rho_{vac} – jest to energia próżni albo inaczej ciemna energia. Nie jest to jakaś drobna poprawka, w dzisiejszym wszechświecie stanowi około 70% całości. Co taki wyraz oznacza? Mamy nową stałą fizyczną, przynajmniej w naszym wszechświecie. Z czasem gęstość ciemnej energii będzie jeszcze bardziej dominować (bo gęstość materii ciągle maleje wskutek ekspansji). Stała Hubble’a nie dąży więc do zera, lecz do pewnej wartości stałej

H_0=\sqrt{\dfrac{8\pi G\rho_{vac}}{3}}> 0.

Prędkość ekspansji będzie więc proporcjonalna do rozmiarów kuli wszechświata. Im większa kula, tym szybciej będzie się nadymać. Oznacza to wzrost wykładniczy, a więc wszechświat rozszerzający się wciąż szybciej i szybciej. Ciemna energia działa zatem jak dodatkowa siła odpychająca, która w końcu przeważa nad grawitacją. Gdyby już dziś liczyła się tylko ciemna energia, dalsze losy wszechświata wyglądałyby następująco.

dark-energy

Jest to zupełnie rozsądne przybliżenie naszej kosmicznej przyszłości. Naprawdę oba wykresy z punktów 2 i 3 gładko w siebie przechodzą, dając tzw. Model uzgodniony (The Concordance Model).
Co może znaczyć taka stała gęstość energii (bo energia i masa są proporcjonalne: E=mc^2)? Może to być np. energia drgań zerowych pól kwantowych. W mechanice kwantowej niemożliwy jest absolutny spoczynek: dlatego np. elektron w atomie stale się porusza. Spoczynek oznaczałby naruszenie zasady nieoznaczoności Heisenberga. Z podobnego powodu atomy w krysztale drgają nawet w temperaturze zera bezwzględnego. No dobrze, ale tu mówimy o pustej przestrzeni. Co ma się w niej poruszać, gdy zabierzemy wszelkie cząstki? Z kwantowego punktu widzenia każda cząstka jest kwantem pewnego pola. Np. fotony są kwantami pola elektromagnetycznego. Pola takie muszą drgać nawet wówczas, gdy nie ma ani jednego fotonu. A muszą drgać, bo inaczej naruszona zostałaby zasada nieoznaczoności. Drgające pole ma pewną energię, więc pola kwantowe powinny mieć energię nawet wtedy, gdy usuniemy wszystkie cząstki. Tak to powinno wglądać, kłopot w tym, że nikt nie potrafi zamienić intuicji tego rodzaju na jakiś rachunek, który by pokazywał, jakie to konkretnie pola dają obserwowaną energię próżni, czyli ciemną energię.

Równania, które napisaliśmy, wynikają także z ogólnej teorii względności, ale wtedy rachunki są bardziej złożone technicznie.

Voltaire i René-Joseph de Tournemine SJ: czy materia może myśleć? (1735)

Nauka i technika to jedyne może dziedziny, w których mamy do czynienia z rzeczywistym postępem. Dzisiejszy student wie więcej niż wszyscy starożytni uczeni, nawet gdy się specjalnie nie stara, korzysta bowiem ze zbiorowego dorobku stuleci. Wraz z tym postępem zachodzi też proces, który można by nazwać uniepotrzebnianiem się filozofii i teologii. W miarę, jak coraz więcej wiemy o różnych obszarach rzeczywistości, filozofia wypierana jest na dzikie pogranicze, gdzie dotąd nie zapanowały naukowe prawa i porządek (nie chcę przez to powiedzieć, że filozofia dziś jest już niepotrzebna!). Podobny proces dotyczy teologii, dziedziny dość specyficznej, bo chyba tylko w cywilizacji europejskiej tak mocno rozbudowanej i przesiąkniętej dogmatami i systemami. Europejczycy bardziej niż inni łaknęli rozumowych dowodów na istnienie Boga, nie wystarczała im sama tylko wiara.

Dziś trudno wierzyć w istnienie duszy, trzeba mieć w tym celu oczy mocno zamknięte i takiż umysł. Jasne jest przede wszystkim, że aparatura pojęciowa Greków czy scholastyków jest dla nas tak samo nieprzydatna jak chitony i zbroje. Przyzwyczajeni do rozróżnienia software’u i hardware’u, rozumiemy doskonale, że wiele dawnych pytań o myślenie przypominało dziecinne pytania w rodzaju: gdzie w komputerze kryje się Kaczor Donald z kreskówki.

Technika i jej wytwory wpływały zresztą zawsze na sposób myślenia: inaczej myśleli ludzie przed epoką maszyn (niemal wszystko wydawało im się ożywione), inaczej w erze różnych mechanicznych wynalazków (świat jako zegar), a jeszcze inaczej obecnie (świat jako komputer, informacja kwantowa, informacja w biologii). Dziś pytanie: czy materia może myśleć, wydaje się podobne do pytania: czy komputer może myśleć, i skłonni jesteśmy do ostrożnej odpowiedzi twierdzącej. W XVIII wieku samo dyskutowanie tej kwestii mogło mieć bardzo nieprzyjemne konsekwencje, jak w przypadku Voltaire’a: musiał uciekać, bo groziło mu więzienie.

Voltaire lubił drażnić dobrze myślących, wydawał się wielu ludziom niemalże złym duchem, który zaprzecza wszystkiemu, do czego byli przyzwyczajeni. W dodatku zamiast się oburzać, drwił bezlitośnie, parodiował, wyszydzał – stając się w ten sposób przeciwnikiem trudnym do ugodzenia.

491px-D'après_Maurice_Quentin_de_La_Tour,_François-Marie_Arouet,_dit_Voltaire_(château_de_Versailles)

Portret Voltaire’a z tego okresu, wg Maurice’a Quentina de La Toura

Wychowanek jezuickiego bardzo elitarnego kolegium Louis-le-Grand, na całe życie został antyklerykałem, choć wdzięczny był ojcom za nauki i wyrażał się o nich z szacunkiem. W 1734 roku wydał Listy filozoficzne, poświęcone głównie popularyzacji angielskiej nauki, filozofii, literatury, a także tolerancji religijnej. Francuscy czytelnicy poczuli się oburzeni tym, jak słabo wypadała w tym ujęciu Francja. Duchowieństwo katolickie oburzone było uwagami na temat swego złego prowadzenia się i niemoralnie wielkich majątków. Janseniści oburzeni byli uwagami na temat Pascala. Najbardziej konkretny zarzut dotyczył jednego zdania, przypisywanego zresztą Johnowi Locke’owi: „Nie sądzę, byśmy kiedykolwiek mogli dowiedzieć się, czy istota czysto materialna myśli, czy nie” (przeł. J. Rogoziński, Listy o Anglikach albo Listy filozoficzne, Warszawa 1953). Locke i Voltaire podważali więc istnienie osobnej substancji – ducha i deklarowali, że cały ten temat jest mętny i zapewne nierozstrzygalny.
W obronie wiary świętoszkowie wszczęli alarm: „Zabobonnicy są w społeczności tym, czym tchórze w wojsku: szerzą panikę”. Książka została zakazana przez parlament paryski: „Sąd postanowił i nakazał, by rzeczona książka została podarta i spalona na dziedzińcu Pałacu Sprawiedliwości u stóp wielkich schodów przez egzekutora sprawiedliwości, jako skandaliczna, sprzeczna z religią, dobrymi obyczajami, a także respektem należnym władzy; a także zakazuje i zabrania wszystkim księgarzom, drukarzom, kolporterom i innym, drukować, sprzedawać i rozprowadzać ją w jakikolwiek sposób pod groźbą kary cielesnej”. Posiadacze nieszczęsnej książki mieli ją oddać władzom, lecz historia milczy o takich przypadkach. W każdym razie 10 czerwca 1734 roku Listy filozoficzne zostały uroczyście spalone. Autora ścigała policja z królewskim nakazem aresztowania, lettre de cachet.
Po latach, ze szwajcarskiego oddalenia, Voltaire zauważył, że księgarze powinni płacić za takie potępienia i palenie nowości wydawniczych. Rzeczywiście, podnosiło to wielokrotnie cenę książki, nie przeszkadzając zbytnio w dystrybucji, wielu księgarzy gotowych było ryzykować więzienie dla dużego i szybkiego zysku. Sukces wydawniczy Listów był ogromny. W roku 1734 wyszło pięć wydań, a kolejnych pięć ukazało się do roku 1739. Łączny nakład książki przekroczył 20 000 (a był to przecież XVIII wiek!). Na tak wielki sukces będzie musiał Voltaire zaczekać aż do czasów Kandyda.
Także ojciec Tournemine, jeden z dawnych wychowawców Voltaire’a, wydawca wpływowego „Journal de Trévoux”, poczuł się w obowiązku skrytykować Listy filozoficzne. Sprowokował w ten sposób wymianę listów z Voltaire’em na temat tego, czy Bóg mógłby obdarzyć materię myśleniem, czy też jest to niemożliwe. Niemożliwe dla wszechmocnego Boga jest jedynie to, co logicznie sprzeczne: a więc, czy w pojęciu myślącej materii mamy logiczną sprzeczność.
– Czyż Bóg nie mógł udzielić materii obok zdolności ruchu, grawitacji, wzrostu (u roślin), także zdolności myślenia – pytał Voltaire.
– Nie, mój panie, nie mógł. – odpowiadał o. Tournemine – uorganizowane ciało jest podzielne, zmysł, który postrzega, jest z konieczności niepodzielny. (…) Kto wydaje osąd o jakimś przedmiocie, wydaje osąd o całym przedmiocie, musiał więc postrzegać cały ów przedmiot w sposób niepodzielny. Itd. itd.
Temat sporu był do pewnego stopnia zastępczy, chodziło w istocie o chrześcijańskie pojęcie duszy. Gdyby dusza rezydowała w materii, to zapewne nie byłaby też nieśmiertelna – toteż o. Tournemine wolał bronić, by tak rzec, zewnętrznego szańca, zamiast samej cytadeli.
Voltaire szukał sposobu publicznego czy półpublicznego dyskutowania kwestii fundamentalnych. Już i tak powiedział więcej niż było dozwolone. Zapłacił za to przebywaniem z dala od jedynego miejsca na świecie, gdzie czuł się naprawdę dobrze: z dala od Paryża, jego salonów i teatrów – a czuł się przede wszystkim autorem teatralnym. Sukces albo klapę kolejnej sztuki przeżywał niezmiernie głęboko, potrzebował uznania wyrobionej publiczności. Jeśli został pisarzem poszerzającym granice tolerancji, wolności słowa, tępiącym fanatyzm, zabobon, to w znacznej mierze dlatego, że na własnej skórze odczuwał nietolerancję, brak wolności wypowiedzi, ciężar przesądów i martwych tradycji. Jeśli był antyklerykalny, to dlatego, że nie mógł ścierpieć osłów w mitrach biskupich i zatrzęsienia labusiów, zajętych układaniem piosenek i pieczeniarstwem albo manipulowaniem pobożnisiami w imię własnych korzyści.
Jeden zwłaszcza argument Voltaire’a w sporze o duszę zasługuje na uwagę. Chodzi o nasze podobieństwo do zwierząt. Zdaniem Voltaire’a my też jesteśmy zwierzętami, inteligentniejszymi, ale jednak zwierzętami. „Przybywając z Marsa czy z Jowisza ląduję na wybrzeżu Oceanu Atlantyckiego, w kraju Kaffirów, i z miejsca zaczynam szukać człowieka. Widzę małpy, słonie, Murzynów, i wydaje się, że wszyscy oni zdradzają przebłyski niedoskonałego rozumu. Wszyscy oni posługują się językami, których nie rozumiem, i wydaje się, że motywem wszystkich ich czynów jest stojący przed nimi cel. Gdybym oceniał rzeczy w oparciu o pierwsze wrażenie (…), to skłonny byłbym wierzyć, że spośród wszystkich tych zwierząt rozumny jest słoń. Ażeby pochopnie nie wyciągać wniosków, biorę młode tych różnych zwierząt. Badam dziecko murzyńskie w wieku sześciu miesięcy, małego słonia, małą małpkę, małego lwa, małego psa. Stwierdzam ponad wszelką wątpliwość, że te młode zwierzęta mają nieporównanie więcej sił i zręczności, więcej pojęć, więcej namiętności, obdarzone są lepszą pamięcią niż mały Murzynek oraz że wyrażają swe życzenia w sposób bardziej zrozumiały. Jednakże po upływie niedługiego czasu mały Murzynek przyswoił sobie już więcej pojęć niż wszystkie te zwierzęta razem wzięte. (…) w końcu pod wpływem własnych rozważań nad znikomą wyższością, jaką osiągają ostatecznie nad małpami i słoniami, zaryzykowałem konkluzję, że są to ludzie i opracowałem następującą definicję: «Człowiek jest to czarne zwierzę, z głową obrośniętą wełną, chodzące na dwóch nogach, prawie tak zręczne jak małpa, słabsze od innych zwierząt tej samej co ono wielkości, znające jednak nieco większą niż one liczbę pojęć, obdarzone większą łatwością wyrażania ich; niemniej odczuwa on wszystkie potrzeby, jakie odczuwają inne zwierzęta, rodzi się, żyje i umiera tak samo jak one»” (przeł. A. Neuman, w: J.S. Spink, Libertynizm francuski od Gassendiego do Voltaire’a, Warszawa 1974, s. 409-410).
Dla Voltaire’a, w odróżnieniu od katolików, nie było nic odrażającego w myśli, że biologicznie jesteśmy zwierzętami, sądzę, że gdyby mógł znać teorię ewolucji, nie widziałby w niej niczego obraźliwego dla człowieka. „Niektórzy filozofowie mówią mi: «Nie popełniaj błędu, człowiek różni się całkowicie od innych zwierząt; obdarzony jest niematerialną i nieśmiertelną duszą. (…) Nie dzieli się ona na części, jest prosta i nieśmiertelna, stanowi zarazem dzieło i wizerunek Boga». Słucham tych mistrzów i odpowiadam im ze zwykłym u mnie brakiem wiary w siebie, ale też bez zaufania do nich: «Jeżeli człowiek ma duszę, o czym mnie zapewniacie, to nie ulega wątpliwości, że ten pies i ten kret mają takie same dusze». (…) A więc wybierajcie, albo trzeba przyznać duszę nieśmiertelną pchle, robakowi, mikrobowi, albo też stać się takim jak one automatem” (ibid.).

Mickiewicz duby smalone bredzi albo Czy romantyzm może zostać oświecony?

Polska jest krajem, w którym ledwie zaczęło się Oświecenie, a już nastał romantyzm. I w jakimś sensie trwa do dziś.
Oświecenie było kulminacją pewnej tradycji przenikającej całą historię świata greko-chrześcijańskiego. Isaiah Berlin podsumowuje ją w trzech punktach: na wszystkie istotne pytania można znaleźć odpowiedź (co nie znaczy, że zna ją każdy albo że zna ją już dziś ktokolwiek oprócz Boga); odpowiedź tę można nie tylko poznać, ale i nauczyć innych, jak dochodzić do prawidłowych odpowiedzi na temat świata i miejsca człowieka w nim; zbiór wszystkich tych odpowiedzi jest niesprzeczny. Istnieje więc, przynajmniej w sensie platońskim, coś w rodzaju idealnego świata – Utopii – gdzie rozstrzygnięte są wszystkie pytania. W tradycji tej dominuje rozum, to jego osąd ma decydujące znaczenie, a nie np. intuicja, iluminacja, objawienie, tradycja, religijny dogmat.
Polska nie miała szczęścia do Oświecenia: było go za mało i przyszło za późno. Pisał wprawdzie Stanisław Trembecki o Voltairze:

Grubsze straci przesądy i rozumu przetrze,
Kto ma szczęście Fernejskie oddychać powietrze.

(Ferney było słynną siedzibą Voltaire’a). Ale był już rok 1784, długowieczny Voltaire już nie żył, a Polska była właśnie po kawałku rozkrawana. Nie był to najlepszy moment na zimne światło rozumu, co świeci, nie grzejąc.
Pod koniec drugiej dekady XIX wieku Voltaire’a tłumaczył młodziutki Adam Mickiewicz. Z jednej strony wstydliwy, poważny i pracujący nad sobą, z drugiej krotochwilny, rubaszny, skłonny do świntuszenia. Jeszcze nie pomnik, o którym uczy się dzieci, pochłonięte Facebookiem.
Ponieważ o Mickiewiczu uczyliśmy się jako nastolatki, mamy skłonność uważać go za osobnika cokolwiek dziecinnego. Był jednak człowiekiem znakomicie wykształconym, wybitnie uzdolnionym i od samego początku cudownie władającym polszczyzną.
Oto kawałeczek wierszyka Pani Aniela. Było to naśladowanie z Voltaire’a, czyli luźny przekład, przystosowany do litewskich realiów, wierszowanej powiastki Gertrude ou l’Éducation d’une fille:

Aniela, choć na wielkim nieznajoma świecie,
Długi jednak trawiła czas przy toalecie.
Tam to były i ozdób, i świętości składy,
Tam Skarga sąsiadował słoikom pomady;
W pudrze leżał Akwinat, herezyi piorun,
A wśród peruk obrazek cudnej Matki z Borun.

Albo Dziewica z Orleanu, czyli La Pucelle d’Orléans, słynny poemacik Voltaire’a o świętej Joannie d’Arc, za życia autora równie namiętnie ścigany, jak potajemnie czytany. Voltaire nie oparł się w nim pokusie, aby wzorem Dantego wsadzić do piekła różne wybitne postaci historyczne, z którymi miał swoje porachunki.

Tam Antonin pobożny los Nerona dzieli,
Tam Trajan, wzór monarchów, tam Marek Aureli,
Scypijo, co zwyciężył miłość i Kartagę,
Plato – z takim rozumem! – padł w otchłań pożerczą,
W niej Cycero wymowny, boski Homer skwierczą.
Ty nawet, Sokratesie, ty, mądrości synu,
Ty dla prawego Boga umęczon wśród gminu.
(…)
„O losy, o srogości, o nieba! – zawoła,
Toż Konstantyn, bohater, podpora Kościoła?
Na tożeś dawnych bogów wyrugował z ziemi,
Ażebyś teraz w piekle jęczał razem z niemi?”
(…)
Coraz lepiej Wielebny zważał piekieł tajnie,
Wszędy się zastanawia, dziwi nadzwyczajnie.
Tu spotkał kardynały, ówdzie infułaty,
Doktory, kaznodzieje, opasłe prałaty.
Tam Włoszki przystrzyżone, tu kastylskie plechy,
Tamci królom za życia odpuszczali grzechy,
A owi, bogiń ziemskich pilnując serduszka,
Otwarte sobie mieli sumnienia i łóżka.
(…)
„To pewnie dominikan” – Burda z cicha rzecze.
Potem głośniej zapytał: „Kto jesteś, człowiecze?”
Na to podziemnym głosem cień mu odpowiada:
„Dominik święty jestem; ach, biada mnie, biada!”
(…)
Często lud stawi kościoł, kłania się pobożnie
Takiemu, co się z nami obraca na rożnie.
Inny znowu, od mnichów na ziemi wyklęty,
Śród anielskiego choru nuci: „Święty, święty!”
Co do mnie, bardzom słusznie w tej osadzon jamie:
Za co na albigensów zbrojne wzniosłem ramię?

Moralność, w której zabijanie albigensów niekoniecznie jest świadectwem głębokiej wiary chrześcijańskiej, była nowożytna, choć wywodziła się w prostej linii z chrześcijaństwa. Kościół jednak nie zawsze podążał za własnymi naukami.
Ciekawe, że młody Mickiewicz miał nadzieję tym przekładem zasłużyć na jakieś stypendium. Widocznie tekst przestał być do tej pory obrazoburczy i można go było uznać po prostu za ćwiczenie stylistyczne. Niewykluczone, że wielu jego nauczycieli niezbyt się przejmowało katolicką poprawnością polityczną. Oświeceniowi uczeni nie byli skłonni wierzyć zbyt literalnie we wszystko, co ludzie bają.
Jak wiemy, niedługo później Mickiewicz przestał czytać Voltaire’a i zaczął wierzyć w świtezianki, gusła, widziadła i zjawy. Zaczął wierzyć albo przynajmniej sądził, że tak jest ładniej. Cóż z tego, że mędrca „szkiełko i oko” nie dostrzega tych wszystkich dziwów. Tyle obszarów rzeczywistości nie mieści się w ramach nauk:

„Słuchaj, dzieweczko!” – krzyknie śród zgiełku
Starzec, i na lud zawoła:
„Ufajcie memu oku i szkiełku,
Nic tu nie widzę dokoła.

Duchy karczemnej tworem gawiedzi,
W głupstwa wywarzone kuźni.
Dziewczyna duby smalone bredzi,
A gmin rozumowi bluźni”.

„Dziewczyna czuje, – odpowiadam skromnie –
A gawiedź wierzy głęboko;
Czucie i wiara silniej mówi do mnie
Niż mędrca szkiełko i oko.

Martwe znasz prawdy, nieznane dla ludu,
Widzisz świat w proszku, w każdej gwiazd iskierce.
Nie znasz prawd żywych, nie obaczysz cudu!
Miej serce i patrzaj w serce!”

Jako starzec ze szkiełkiem występuje tu zapewne Jan Śniadecki, znakomity astronom, ale także krytyk literacki i poeta. Dla poezji Mickiewicza to zerwanie z Oświeceniem było zbawienne, inaczej groziłoby mu zastygnięcie w rodzajowości albo kaligrafii. Jednak dla stanu ducha Polaków był to krok dość zgubny. W kraju, gdzie nie zdążono jeszcze przyswoić europejskiego dorobku ostatnich dwóch stuleci – a był to dorobek ogromny: Rewolucja naukowa ze wszelkimi następstwami – bardzo łatwo wrócono do bezkrytycznej wiary w znaki i cuda, tak bardzo drogiej ludzkiemu sercu.
Mickiewicz, jak wielu ludzi inteligentnych, miał wielką skłonność do zakłamywania rzeczywistości, jej mitologizowania. Największe arcydzieło polskiej literatury, Pan Tadeusz jest przecież od początku do końca mitem dzieciństwa śnionym przez dorosłego, który za wszelką cenę nie chce się zbudzić. A potem było tylko gorzej: Andrzej Towiański i Polska jako fragment Bożego planu. Stąd jest już tylko krok do wybuchu w Smoleńsku. Nie należy się dziwić, że krok ten został zrobiony: nie od dziś wiemy, że Stwórca ma swoje plany wobec Polaków.

Matematyka czysta i brudne tricki NSA (2006-2013)

Krzywe eliptyczne odegrały wielką rolę w dowodzie twierdzenia Fermata. Ten piękny obszar matematyki czystej ma także bardzo praktyczne zastosowania w kryptografii. Dzięki rewelacjom Edwarda Snowdena wyszły na jaw nadużycia techniki krzywych eliptycznych: amerykańska National Security Agency doprowadziła do rozpowszechnienia standardów szyfrowania zawierających furtkę ułatwiającą łamanie szyfrów – oczywiście w ramach wojny z terrorem i dla dobra społeczeństwa amerykańskiego (inne społeczeństwa powinny oczywiście pragnąć tego samego co Amerykanie).

Krzywe eliptyczne dla współrzędnych rzeczywistych

Zacznijmy od przykładu okręgu, który jest wykresem równania drugiego stopnia x^2+y^2=1. Jeśli punktom na okręgu przypiszemy kąty, to możemy zdefiniować dodawanie punktów tak, jak na rysunku. Aby otrzymać sumę dwóch punktów, dodajemy odpowiednie kąty, jeśli wyjdzie nam więcej niż 360º, należy odjąć tę wartość i zostawić resztę. Punkt odpowiadający kątowi 0º można dodać do każdego innego i nic się nie zmieni: jest więc elementem neutralnym dodawania. Dla każdego punktu P można też znaleźć punkt przeciwny -P. Jeśli punktowi P odpowiada kąt \alpha, to punktowi -P odpowiada kąt 360^{\circ}-\alpha.

200px-Circle-group.svg

Działania na punktach tworzą grupę: można je dodawać, istnieje element neutralny oraz każdy element ma element przeciwny. Zachodzi też prawo łączności.

Okazuje się, że podobny zabieg można przeprowadzić także na krzywych trzeciego stopnia. Krzywe eliptyczne są wykresami pewnych wielomianów trzeciego stopnia. Wykluczamy wielomiany, których wykres się zapętla albo ma ostrze. Pozostają na przykład takie.

500px-ECClines-3.svg

Dla punktów na tych krzywych można także wprowadzić dodawanie. Jeśli trzy punkty krzywej są współliniowe, to ich suma jest równa zeru (rysunek 1). Biorąc styczną do krzywej w punkcie Q, musimy go liczyć podwójnie: jakby dwa punkty Q były współliniowe z P: 2Q+P=0. Punkty leżące na tej samej prostej pionowej (równoległej do Oy) przecinają punkt w nieskończoności, który jest zerem naszej grupy. W ten sposób punkty P i Q na rysunku 3 są przeciwne do siebie (ich suma daje zero).

1000px-ECClines.svg

Można sprawdzić, że otrzymuje się w ten sposób grupę: mając dwa punkty można znaleźć trzeci, który jest ich sumą. Trudniej w tym przypadku znaleźć parametr, który się przy tej okazji dodaje (jak kąty w przykładzie z okręgiem). Okazuje się, że można to zrobić, traktując nasze punkty jako zespolone i używając funkcji eliptycznych. Jest to elegancki fragment dziewiętnastowiecznej analizy matematycznej.

Krzywe eliptyczne w arytmetyce modularnej

W zastosowaniach kryptograficznych nieco inaczej definiuje się krzywą eliptyczną. Wyrażenie algebraiczne pozostaje takie jak wyżej, zmieniamy jednak dziedzinę. Interesują nas liczby całkowite modulo p, gdzie p jest jakąś liczbą naturalną. Znaczy to, że mając dowolną liczbę całkowitą dzielimy ją przez p i obliczamy resztę z dzielenia. Dwie liczby są dla nas równe jeśli te reszty są równe:

23=2\cdot 11+1=1 \pmod{11}.

Otrzymujemy wtedy dokładnie p różnych liczb – bo tyle jest możliwych wyników na resztę dzielenia przez p. Jeśli liczba p jest liczbą pierwszą, mnożenie i dodawanie liczb w tej arytmetyce modularnej będzie miało takie same własności jak dla liczb rzeczywistych: można będzie wykonywać zwykłe cztery działania (oprócz dzielenia przez 0).
Do zastosowań w kryptografii używa się jakiejś krzywej eliptycznej (czyli wyrażenia kwadratowego w y i sześciennego w x) dla pewnej dużej liczby pierwszej p. Nasza płaszczyzna xy zawiera wówczas p^2 punktów (plus punkt w nieskończoności). Wykres naszej krzywej to pewien ich podzbiór, który niezbyt przypomina krzywą, ma jednak nadal jej własności: na punktach można wykonywać owo dziwne dodawanie, o którym mówiliśmy wyżej. Wyrażenia algebraiczne na współrzędne punktu Q będącego sumą punktów P i R są takie same, należy je tylko obliczać modulo p. Wzory są takie same jak w przypadku wykresu na zwykłej płaszczyźnie Oxy.
Możemy dodawać wiele razy ten sam punkt: P+P=P_2 \equiv 2P
Okazuje się, że stosunkowo szybko można uzyskać dowolne wielokrotności danego punktu. Chcąc np. obliczyć 16P obliczamy kolejno 2P, 4P=2P+2P, 8P=4P+4P, 16P=8P+8P.
W ten sposób w stosunkowo niedużej liczbie kroków możemy dojść szybko do bardzo wielkiej wielokrotności naszego początkowego punktu P. Istotne jest, że niełatwo jest tę operację odwrócić. Aby ustalić jakie jest rozwiązanie równania

xP=Q,

gdzie x jest liczbą naturalną, a P, Q punktami krzywej eliptycznej, należy w zasadzie sprawdzać kolejne możliwości, co przy dużych p jest niewykonalne. Podsumowując: mnożenie punktów przez dużą liczbę całkowitą daje się wykonać szybko, znalezienie natomiast liczby spełniającej ostatnie równanie może być sprawą beznadziejną, gdy w grę wchodzą duże liczby.

Co takiego zrobiło NSA?

Krzywe eliptyczne dla dużych p można wykorzystać do generowania liczb losowych. Ściśle biorąc żadne liczby generowane w deterministycznej procedurze nie mogą być zupełnie przypadkowe. Ale ze współrzędnych krzywej eliptycznej da się wygenerować bardzo dobre liczby tzw. pseudolosowe.
Amerykańska agencja NIST (National Institute of Standards and Technology) zaproponowała algorytm oparty na krzywych eliptycznych. Podała parametry takiej krzywej

y^2=x^3-3x+b\pmod{p},

a także współrzędne dwóch punktów krzywej P i Q.

QValue256Jak widać, liczby są gigantyczne.
Do generowania liczb pseudolosowych potrzebne są dwa punkty krzywej. NIST „pomogła” użytkownikom, podając te współrzędne. Wszystko wskazuje na to, że NSA, czyli agencja zajmująca się bezpieczeństwem, podsunęła dwa odpowiednio zmajstrowane punkty takie, że kP=Q i liczba k jest im znana. Bardzo trudno to sprawdzić, ponieważ nie ma na to szybkiej metody.

Do czego można wykorzystać taką wiedzę?

Obserwując ciąg liczb generowanych przez program, można ustalić jakie będą następne liczby. W ten sposób ciąg wyglądający na losowy jest przewidywalny dla kogoś, kto zna k. Ponieważ NIST w 2006 r. zaproponowała algorytm, a znana firma od zabezpieczeń RSA wprowadziła ten algorytm do swego oprogramowania, wszyscy, którzy go używają są narażeni na szpiegowanie przez NSA. Algorytm używany jest np. przy tworzeniu bezpiecznych połączeń z bankami, płatnościach kartami kredytowymi itd. itp. Firma RSA sama zaproponowała użytkownikom, aby nie stosowali tego algorytmu, wcześniej prawdopodobnie zarobiła 10 mln. dolarów od rządu na wprowadzeniu go w życie.

Film na Youtube, w którym znakomity matematyk Edward Frenkel wyjaśnia przystępnie, na czym polega problem

Więcej odsyłaczy na blogu Not Even Wrong