Andrew Wiles: wielkie twierdzenie Fermata i matematyka czysta (1986-1995)

„Moje doświadczenia z uprawianiem matematyki najlepiej można chyba opisać, porównując je do wędrówki po ciemnym niezbadanym domu. Wchodzę do pierwszego pokoju: panuje w nim zupełny mrok. Błądzę po omacku i wpadam na meble, ale stopniowo uczę się, gdzie stoi każdy z nich. Po jakichś sześciu miesiącach znajduję wyłącznik i naraz wszystko staje się jasne, widzę dokładnie, gdzie jestem. A potem wchodzę do następnego ciemnego pokoju i spędzam tam następne sześć miesięcy. I każde z tych olśnień – czasem trwają one tylko chwilę, a czasem dzień albo dwa – jest tylko kulminacją owych wielu miesięcy błądzenia po omacku i bez nich byłoby niemożliwe” (Andrew Wiles on Solving Fermat).

Mówi się czasem, że w każdej dziedzinie wiedzy tyle jest prawdy, ile jest w niej matematyki. Odkrycie, że świat fizyczny można opisać w języku matematyki i że właściwie tylko od nas zależy, z jak wielką dokładnością to zrobimy, uważam za największe osiągnięcie ludzkości. Nie chodzi o to, że pewne aspekty świata dają się ująć matematycznie, bo to wiedzieli już starożytni. Istotą nowożytnej nauki jest wiara, że w zasadzie każdy aspekt świata fizycznego (ale i chemicznego, a coraz częściej także biologicznego czy ekonomicznego) daje się opisać stosownym modelem matematycznym. Nie tylko planety czy dźwignie, ale spadanie liścia na wietrze, drogę cyklonu, atomy i cokolwiek nam przyjdzie do głowy.

Jednocześnie matematyka, choć tak potrzebna wszystkim, jest w zasadzie samowystarczalna i wielu matematyków niezbyt interesuje się innymi naukami, po cichu uważając je za stratę czasu. Wciąż istnieje platoński ideał matematyki czystej, przebywającej tam, gdzie idea Piękna, gdzieś w pobliżu idei Dobra. I niektórzy matematycy spędzają całe życie w swoim zaczarowanym pałacu nie z tego świata. W nagrodę omija ich nieco tak powszechna dziś komercjalizacja i pogoń za szybkimi wynikami (co najmniej dwa odkrycia rocznie).

Andrew Wiles jest niewątpliwie matematykiem czystym – w każdym sensie tego słowa. Jego dziedzina to teoria liczb, a więc badanie własności najprostszych liczb: 1, 2, 3, … – liczb naturalnych. Kiedy spostrzegł, że możliwe jest zaatakowanie wielkiego twierdzenia Fermata, zamknął się na siedem lat na strychu i nie mówiąc o tym nikomu, pracował. Nie publikował w tym czasie, musiał więc wtajemniczyć swojego dziekana. Nie chciał, aby koledzy wciąż go pytali, jak mu idzie. Być może obawiał się także, iż ktoś mógłby go ubiec. Nie ma powodu wstydzić się takich uczuć – nie mają przecież nic wspólnego z podkładaniem nogi konkurentom. Jest w tym duch sportowej walki: wszyscy mają równe szanse, oni też mogą położyć na szalę swoją reputację. Wygra najlepszy.

Wygrał Andrew Wiles. Twierdzenie Fermata było słynną szklaną górą, na którą daremnie próbowali wspiąć się wciąż nowi śmiałkowie. Niemal każdy ambitniejszy matematyk próbował zmierzyć się z tym twierdzeniem. Nie każdy miał dość rozsądku, aby w porę przestać się nim zajmować.
Właściwie była to tylko błyskotliwa hipoteza. Pierre Fermat, jurysta w parlamencie Tuluzy, a w wolnych chwilach matematyk, jakby od niechcenia i dla rozrywki wytyczył wiele nowych dróg. W roku 1637 na marginesie czytanego przez siebie Diofantosa zanotował, że równanie

ma wprawdzie rozwiązania naturalne, gdy , ale nie ma ich dla żadnej wyższej potęgi . Stwierdził nawet, że ma dowód, ale nie zmieści mu się na wolnym miejscu na stronie, toteż go nie zamieścił. Luźne stwierdzenia tego rodzaju w wypadku Fermata należało traktować poważnie, rzadko bowiem zawodziła go intuicja.
Sam Fermat podał (w innym miejscu) dowód swego twierdzenia dla , wynikała z tego także jego prawdziwość dla wykładników postaci . Łatwo też pokazać, że wystarczy dowieść twierdzenia Fermata dla wykładników będących nieparzystymi liczbami pierwszymi.
Następny krok wykonał pod koniec XVIII wieku Leonhard Euler, niestrudzony syn pastora z Bazylei, który umiał obrócić na swoją korzyść ambicje absolutnych władców swej epoki i pracował na zmianę pod rządami Fryderyka II w Prusach albo Katarzyny II w Rosji. Ani królowi, ani carycy nie zależało jakoś szczególnie na matematyce, ale obojgu bardzo zależało na splendorze. Euler wykazał słuszność twierdzenia w przypadku (nie do końca, dowód został później uzupełniony). Następne generacje matematyków przyniosły dowody wielu różnych szczególnych przypadków twierdzenia Fermata, wciąż nie było jednak dowodu ogólnego. Póki takiego dowodu nie ma, wszystko jest możliwe – bywały już przypadki hipotez, które wydawały się słuszne, lecz w końcu okazały się fałszywe. Euler wysunął np. hipotezę, że równanie

nie ma rozwiązań naturalnych. W 1988 roku Noam Elkies znalazł kontrprzykład:

Wielu wybitnych matematyków unikało twierdzenia Fermata. David Hilbert, zapytany, czemu nigdy się nim nie zajmował, stwierdził, że musiałby stracić trzy lata na opanowanie tego wszystkiego, co mogłoby być potrzebne, a on nie ma trzech lat do stracenia. Andrew Wiles był w lepszej sytuacji: dzięki pracy poprzedników miał już do dyspozycji niezbędne elementy. Co więcej, twierdzenie Fermata przestało być interesującym faktem na uboczu rozwoju matematyki, lecz stało się tematem ważnym. W 1986 roku Gerhard Frey wykazał, że gdyby istniał kontrprzykład do twierdzenia Fermata, musiałaby istnieć pewna krzywa eliptyczna o szczególnych i niespotykanych własnościach. Krzywe eliptyczne to wykresy równania

,

o ile wykres nie ma żadnych punktów osobliwych (przecięć ani załamań).

Krzywe te mają wiele interesujących własności: można je wyrazić za pomocą tzw. funkcji eliptycznych (stąd nazwa), każda sieczna przecina je dokładnie w trzech punktach, co pozwala każdej parze punktów przyporządkować trzeci (można wprowadzić strukturę grupy). W teorii liczb bada się sytuacje, gdy są całkowite albo wymierne. Istnienie krzywej Freya przeczyłoby tzw. hipotezie Shimury-Taniyamy dotyczącej pewnych własności krzywych eliptycznych. Wiles postanowił dowieść tej hipotezy, a właściwie jej słabszej wersji, wystarczającej do jego celów. Jeśli (słabsza) hipoteza Shimury-Taniyamy jest słuszna, to nie może istnieć krzywa Freya. a tym samym twierdzenie Fermata zostało udowodnione niewprost. Hipoteza Shimury-Taniyamy została zresztą później udowodniona w wersji silniejszej i z punktu widzenia specjalistów to właśnie osiągnięcie jest najważniejsze: łączy bowiem w nieoczekiwany sposób analizę matematyczną z geometrią. Zatem twierdzenie Fermata okazało się nie tylko trudną ciekawostką, lecz pozwoliło zrozumieć głębsze związki między różnymi dziedzinami matematyki. To właśnie było zawsze najciekawsze w teorii liczb: aby zrozumieć problemy dotyczące np. podzielności i liczb pierwszych, potrzebne są głębokie idee dotyczące funkcji zmiennej zespolonej.
Andrew Wiles wyszedł z ukrycia w czerwcu 1993 roku, gdy wygłosił serię wykładów w swoim rodzinnym Cambridge w Anglii. Choć ich tytuł nie zapowiadał sensacji, to bookmacher w Cambridge nie chciał przyjmować zakładów o to twierdzenie: nie znał się na matematyce, lecz kiedy kolejni studenci zaczęli zgłaszać się z propozycją takiego samego zakładu, zrozumiał, że zapewne coś się święci. Do historii przeszło zakończenie ostatniego wykładu: po wykazaniu, że twierdzenie Fermata zostało właśnie udowodnione, Wiles stwierdził: „Myślę, że na tym zakończę”.

Najtrudniejsze było jednak jeszcze przed nim. W dowodzie znaleziono istotną lukę, co nie dziwi w przypadku pracy tak długiej (ponad sto stron w „Annals of Mathematics”) i robionej samotnie. Wiles wraz ze swoim dawnym studentem Richardem Taylorem usiłowali dowód poprawić, lecz sprawa wyglądała coraz poważniej. Bez tego jednego elementu cała układanka byłaby na nic. Pracowali ponad rok bez rezultatu i Wiles bliski już był decyzji o rezygnacji z dalszych prób, kiedy nagle okazało się, że pewien jego stary pomysł z okresu samotnej pracy, zarzucony później, teraz nieoczekiwanie się przydał.
„Wierzę że, aby osiągnąć w życiu zadowolenie, musisz robić coś, co cię pasjonuje. (…) Tylko taka pasja pozwala się nie poddawać, kiedy utkniesz na jakimś trudnym problemie i poczujesz się sfrustrowany. Jako matematyk staniesz się częścią wspólnoty, która istnieje od tysięcy lat, i wniesiesz wkład do twórczego projektu, rozciągającego się na całe wieki i cywilizacje. Życie jest zbyt krótkie, aby marnować je na rzeczy, które cię nie obchodzą…” (wywiad z Claudio Bartoccim, 2004, w: C. Bartocci, R. Betti, A. Guerraggio, R. Lucchetti (red.), Mathematical Lives: Protagonists of the Twentieth Century From Hilbert to Wiles, Springer 2011).

Słowa Wilesa o wspólnocie badaczy stosują się także i do twierdzenia Fermata. Oto lista tych, którzy oprócz niego wnieśli do tego problemu swój ważny wkład tylko w XX wieku: Spencer Bloch (USA), Henri Carayol (Francja), John Coates (Australia), Pierre Deligne (Belgia), Ehud de Shalit (Izrael), Fred Diamond (USA), Gerd Faltings (Niemcy), Matthias Flach (Niemcy), Gerhard Frey (Niemcy), Alexander Grothendieck (Francja), Yves Hellegouarch (Francja), Haruzo Hida (Japonia), Kenkichi Iwasawa (Japonia), Kazuya Kato (Japonia), Nick Katz (USA), V.A. Kolyvagin (Rosja), Ernst Kunz (Niemcy), Robert Langlands (Kanada), Hendrik Lenstra (Holandia), Wen-Ch’ing Winnie Li (USA), Barry Mazur (USA), André Néron (Francja), Ravi Ramakrishna (USA), Michel Raynaud (Francja), Ken Ribet (USA), Karl Rubin (USA), Jean-Pierre Serre (Francja), Goro Shimura (Japonia), Yutaka Taniyama (Japonia), John Tate (USA), Richard Taylor (Wielka Brytania), Jacques Tilouine (Francja), Jerry Tunnell (USA), André Weil (Francja).