Od herezji do truizmu

„[Prawdzie] przeznaczony jest tylko krótki triumf między dwoma długimi okresami, w których potępiona zostaje jako paradoks i zlekceważona jako prawda trywialna. Pierwszy los spotyka też zazwyczaj jej odkrywcę…” – napisał w sierpniu 1818 roku Arthur Schopenhauer [Świat jako wola i przedstawienie, Przedmowa do I wydania, przeł. J. Garewicz, PWN Warszawa 2009, s. 11]. Myśl ta funkcjonuje w różnych przeróbkach i wariantach, często gęsto błędnie przypisywanych także Schopenhauerowi. Podobne zdanie wypowiedział też T.H. Huxley, „buldog Darwina”, w roku 1880: „Nowe prawdy zazwyczaj zaczynają jako herezje, a kończą jako przesądy”.
Schopenhauer w roku 1818 miał nadzieję, że publikacja książki zapoczątkuje nowy sposób myślenia w filozofii, spotkał go jednak zawód – prawie nikt nie zwrócił uwagi na jego poglądy. Także jego wykłady w Berlinie nie przyciągnęły studentów, modny był wtedy Hegel. Z czasem pogodził się z brakiem sukcesu i popadł w mizantropię, dzięki której sformułował zresztą wiele celnych i dowcipnych obserwacji dotyczących zachowań społecznych homo sapiens. Zrobił w ten sposób dla naszego gatunku niemal tyle, ile Jane Goodall dla szympansów. Z czasem stał się sławny, ale raczej dzięki artystom i pisarzom niż filozofom akademickim.
Bez wątpienia zarówno Schopenhauer, jak i Huxley, mieli w pamięci historyczne perypetie kopernikanizmu. W wieku XIX ruch Ziemi był już dawno truizmem, do którego wszyscy się przyzwyczaili. Pamiętano też o wrogiej reakcji Kościoła i o tym, że to Kopernik miał ostatecznie rację. Był to modelowy przykład naukowej prawdy pokonującej drogę od herezji do truizmu.
Teoria Kopernika zaczynała rzeczywiście jako paradoks z lekka trącący herezją. I dość długo pozostawała na tyle mało znana, że nie rodziło to konfliktów. Przez pół wieku po śmierci fromborskiego kanonika niemal nikt nie brał serio idei ruchu Ziemi. Szanowano jego techniki matematyczne: Kopernik starał się w istocie poprawić Ptolemeusza, sprowadzając wszystkie ruchy do jednostajnych kołowych. Modele geometryczne stały się przez to bardziej zawikłane, ale „czystsze” teoretycznie – ruchy jednostajne bardziej pasowały do machiny stworzonej przez boskiego Zegarmistrza. Nawet ruch drgający prostoliniowy sprowadził Kopernik do toczenia się koła wewnątrz drugiego koła. Jest to tzw. para Tusiego – znana astronomom arabskim, którzy przed nim próbowali tej drogi.

200px-Tusi-coupleŹródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Tusi-couple

Całe to podejście prowadziło w ślepą uliczkę; z dzieła Kopernika pozostać miała jedynie ogólna idea ruchu Ziemi, jego książka była zawikłana nie w tych miejscach, gdzie trzeba. Problem ruchu planet i ruchów na Ziemi musiał zostać przemyślany na nowo, co zrobili Johannes Kepler i Galileo Galilei. Obaj, broniąc kopernikanizmu, głosili sporo prawd wyglądających na paradoksalne. Jak wiemy, dla Galileusza skończyło się to niewesoło, choć nie było w tym żadnego historycznego fatalizmu – gdyby ówczesny papież wykazał nieco więcej zdrowego rozsądku, nie doszłoby do tej gorszącej sytuacji. Władza absolutna rzadko wszakże sprzyja autorefleksji. Kościół katolicki zatracił poczucie stosowności i został ukarany w sposób niezmiernie dotkliwy, utarło się bowiem raz na zawsze przekonanie, że jest wrogiem prawdy naukowej i żadne wypowiedzi, apele ani deklaracje raczej tego łatwo nie zmienią. Obecny stosunek Kościoła do zapłodnienia in vitro też się chyba nie przyczyni do poprawy owego nadszarpniętego wizerunku.

Arthur Schopenhauer miał też rację, że chwila świetności nowej prawdy jest stosunkowo krótka. Dwadzieścia lat po skazaniu Galileusza, około połowy XVII wieku, tylko zapyziali konserwatyści oraz katolicy nie wierzyli jeszcze w ruch Ziemi. Gdy w 1687 roku Isaac Newton ogłosił swoje Matematyczne zasady filozofii przyrody, potraktowano to jako zamknięcie sprawy heliocentryzmu. Praca Newtona została przedstawiona w londyńskim Towarzystwie Królewskim jako „matematyczny dowód hipotezy Kopernika w postaci zaproponowanej przez Keplera” [J. Kierul, Newton, PIW, Warszawa 2010, s. 278]. Problem ruchu planet został rozwiązany. Kopernikanizm stał się truizmem, zainteresowanie uczonych przesunęło się w stronę całkiem innych zagadnień.

W kwestii precyzyjnych cytatów z Schopenhauera i Huxleya korzystałem z ciekawej pracy J.O. Shallitta, Science, Pseudoscience, and The Three Stages of Truthhttps://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/stages.pdf

Alfred Wegener: A jednak się poruszają…

Naukowiec powinien nie mieć uprzedzeń. Jest to wskazówka ze wszech miar słuszna i równie łatwa do wypełnienia jak postulat, aby zawsze być uważnym. W istocie to właśnie nasze sympatie i antypatie, często skryte i skrywane, sprawiają, że świat staje się interesujący. Często też prowadzą na manowce, zwłaszcza tych, którzy wiele zainwestowali w jakiś pogląd i niechętnie się z nim rozstają.

Historia nauki pełna jest przykładów poglądów, które okazały się słuszne, choć z początku odrzucano je niemalże instynktownie, nie wdając się nawet w poważną polemikę. Tak było z Kopernikiem. Matematyczne aspekty jego teorii budziły szacunek i uznanie, nikt jednak nie traktował poważnie pomysłu, że Ziemia mogłaby się poruszać. „Uważaj, chłopcze, bo ci się z kielicha uleje” – tak reagowano na kopernikanizm na dworze księcia Albrechta w Prusach Wschodnich. Także późniejsze reakcje, również wśród uczonych, oscylowały zazwyczaj między drwiną a świętym oburzeniem. Nieco podobnie, już w naszych czasach, starano się z teorii względności wyegzorcyzmować osobliwości i wysłać je w krainę matematyki czystej, gdzie nikomu nie będą zawadzać. Nawet sam jej twórca, Albert Einstein, dołożył swoją cegiełkę, usiłując dowieść w roku 1939, że rozwiązanie Schwarzschilda – niewirująca czarna dziura – nie może być zrealizowane w naturze. Dopiero w latach sześćdziesiątych XX wieku zrozumiano, że osobliwości nie tylko są nieodłączną częścią teorii względności, ale wręcz stanowią jej część najciekawszą.

Gdy Alfred Wegener, polarnik, meteorolog i geofizyk, niemal rówieśnik Einsteina, ogłosił swą teorię o ruchu kontynentów, przyjęto ją zrazu bardzo chłodno. Co ciekawe, życzliwie pisał o niej fizyk, William Bragg, geologowie pozostali sceptyczni i nieprzekonani. Opinia fizyka miała dla nich niewielkie znaczenie, nie tylko jako głos członka innego cechu – wciąż pamiętano spór z Kelvinem nt. wieku Ziemi, zdecydowanie wygrany przez geologów. Część ich zastrzeżeń była zresztą zrozumiała: Wegener nie wyjaśnił, w jaki sposób kontynenty się poruszają, podobnie jak Kopernik nie wyjaśnił, jaki jest fizyczny mechanizm ruchu Ziemi.

500px-De_Wegener_Kontinente_g_05

Ilustracja z książki Wegenera 1929 (ostatnie wydanie za życia autora) http://de.wikisource.org/wiki/Die_Entstehung_der_Kontinente_und_Ozeane/Zweites_Kapitel

Werner Israel zasugerował, że zarówno w przypadku Wegenera, jak i czarnych dziur, działał instynktowny lęk przed odkryciem, które podkopuje nasze poczucie bezpieczeństwa. Nie chcemy, aby ziemia pod naszymi stopami zaczęła się poruszać, jak nie chcemy, aby materia mogła się tak po prostu zapaść w siebie samą, gubiąc wszystkie niemal swoje cechy, tak że zostaje z niej tylko kilka liczb: masa, ładunek, moment pędu. (Nie bardzo też chcemy, aby świat miał gwałtowny początek, bezpieczniej czulibyśmy się w wiecznym wszechświecie). Wydaje się, że taki metafizyczny lęk odegrał ogromną rolę w kwestii kopernikańskiej. Niewykluczone, że to z tego powodu papież Urban VIII tak bardzo się irytował, ilekroć słyszał od Galileusza, że przypływ i odpływ morza to skutek ruchu Ziemi.

Czy jesteśmy sami we wszechświecie?

„Nikt nas nie kocha, nawet galaktyki od nas uciekają” – mawiał kiedyś mój przyjaciel. Był to taki relatywistyczny żart, bo wiemy, że obserwator w odległej galaktyce widziałby średnio biorąc taki sam obraz uciekających „od niego” kosmicznych obiektów. Czy rzeczywiście jesteśmy osamotnieni we wszechświecie? Dotychczasowe próby wykrycia sygnałów pochodzących od innych cywilizacji zakończyły się fiaskiem, że nie wspomnę o UFO. Nigdy też nie udało się zaobserwować w kosmosie czegoś nienaturalnego, co wyglądałoby na dzieło świadomej inżynierii. Jeśli obcy istnieją, to są raczej dyskretni. Choć z drugiej strony, czy chciałoby się im wysyłać do nas depesze i o czym moglibyśmy dialogować z cywilizacją naukową istniejącą choćby marne 10 000 lat, skoro nasza cywilizacja naukowa liczy sobie ledwie kilkaset lat? Być może zresztą nie ma tak starych cywilizacji. Stanisław Lem zaproponował kiedyś „metodę klucza a posteriori” w szukaniu cywilizacji, które posiadły sztukę rozbijania atomu. Trzeba mianowicie pilnie wypatrywać, czy gdzieś nie pojawia się efektowny rozbłysk, kończący właśnie istnienie takiej cywilizacji. Pisał to w okresie zimnej wojny, kiedy zagrożenie konfliktem jądrowym było odczuwane jako coś zgoła niefantastycznego.
W każdym razie milczenie wszechświata jest faktem. Albo nikt się nami nie interesuje, albo nikogo tam nie ma. Ta druga ewentualność wcale nie jest wykluczona, wiemy, ile nieprawdopodobnych kroków musiała wykonać ewolucja, aby nas stworzyć. Siedem milionów lat temu żył nasz wspólny z szympansami przodek. Nawet wtedy nie było oczywiste, że powstanie człowiek rozumny, mogliśmy skończyć jako nieco inne małpy. Gdyby nas nie było, szympansy z całą pewnością nie posiadłyby Ziemi i nie uczyniły jej sobie poddaną. Wyjątkowość człowieka byłaby oczywiście świetną wiadomością dla teologów i humanistów (jak to sama nazwa wskazuje). Już w XVII wieku, po teleskopowych odkryciach Galileusza przedstawiciele Kościoła katolickiego oburzali się, że skoro inne planety przypominałyby Ziemię, to co z prawdą Ewangelii i zbawczą misją Jezusa Chrystusa? Przecież dał on się ukrzyżować, aby odkupić grzechy Ziemian, a nie Marsjan. Miałby być jakimś kosmicznym komiwojażerem, roznoszącym Dobrą Nowinę? Humaniści jeszcze mocniej mogliby się utwierdzić w swej samowystarczalności: nie trzeba się uczyć matematyki, fizyki, biologii, świat człowieka jest nieredukowalny do żadnych nauk, nie jest tylko jednym z przykładów cywilizacji, a więc pogrążenie się w gatunkowym narcyzmie i stadnych rytuałach jest wyborem jedynie słusznym. Prawdziwe życie toczy się na wernisażach i na Pudelku, a reszta „to astronomów rzecz, niech sobie plotą”.
Pewnie większość naukowców nie chciałaby utwierdzać ludzi w poczuciu gatunkowej pychy. Ale możliwość, że jesteśmy jedyną cywilizacją co najmniej w bardzo wielkim obszarze Galaktyki, powinna być poważnie brana pod uwagę. W latach zimnej wojny modna była w kosmologii teoria stanu stacjonarnego (to jeden z jej zwolenników, Fred Hoyle, ukuł dla teorii przeciwnej komiksowe określenie „Wielki Wybuch” – miało ono tę koncepcję ośmieszać). Wielu uczonym teoria stanu stacjonarnego podobała się wówczas dlatego, że wszechświat nie miał w niej początku – a więc jego obraz, jaki wyłaniał się z badań, był jak najdalszy od biblijnego stworzenia świata. Dziś wiemy, że Hoyle i jego koledzy nie mieli racji. Trudno pewnie uwolnić się od rozmaitych prekoncepcji, pozytywnych i negatywnych, historia i kultura obarcza nas różnymi skojarzeniami i nie mamy na to wpływu. Jednak gdyby nawet się okazało, że (prawdopodobnie) jesteśmy sami we wszechświecie, to przecież nie miałoby to nic wspólnego z Księgą Rodzaju

Splątane cząstki: prosta wersja nierówności Bella

Od samego początku istnienia mechaniki kwantowej wysuwano przeciw niej różne zastrzeżenia, robili to uczeni tak wybitni, jak A. Einstein (słynne „Bóg nie gra w kości”), czy Erwin Schrödinger – autor najczęściej stosowanego równania tej teorii. Jednym z problemów były szczególne korelacje kwantowe, sprawiające wrażenie jakiegoś „niesamowitego (spooky) oddziaływania na odległość” – jak ujęli to Albert Einstein, Nathan Rosen i Boris Podolsky w swej pracy z roku 1935. Dziś fenomen ten nazywamy splątaniem i został on do pewnego stopnia odczarowany, a w każdym razie wiemy, iż jest koniecznym składnikiem mechaniki kwantowej i obserwuje się go doświadczalnie. Wiemy także, iż nie jest oddziaływaniem i nie może posłużyć do przekazywania informacji. Chodzi o to, że cząstki kwantowe mogą zachowywać się jak pewna skorelowana całość mimo tego, że są od siebie daleko.

Rozpatrzmy prosty przykład dwóch cząstek o spinie 1/2 (jak elektron i proton). Spin jest wewnętrznym momentem pędu cząstki – kwantowe cząstki mają zawsze konkretną wartość momentu pędu. Są więc wtedy nie tyle matematycznymi punktami co strzałkami, które mają orientację w przestrzeni. Kiedy wiruje jakiś obiekt makroskopowy, możemy wskazać kierunek osi jego obrotu (stanowiący kierunek wektora momentu pędu. I wiemy, że obiekt ten nie zmienia się od tego, że na niego patrzymy. W mechanice kwantowej nie wolno jednak beztrosko przypisywać wartości wielkościom, których nie zmierzyliśmy. W przypadku elektronu możemy zadać eksperymentalne pytanie, czy jego spin ma kierunek wskazanej przez nas osi. Przyroda odpowiada w losowy sposób tak-nie, a mechanika kwantowa pozwala przewidywać prawdopodobieństwa otrzymania danej odpowiedzi. Dla osi skierowanej do góry (osi z) mamy dwa możliwe stany spinu: spin w górę: |\uparrow\rangle oraz spin w dół: |\downarrow\rangle (stany kwantowe są wektorami: wolno je dodawać do siebie i mnożyć przez liczby, tak samo jak inne wektory).

Do tej chwili mówiliśmy o jednym spinie. Splątanie pojawia się, kiedy mamy do czynienia z dwiema lub więcej cząstkami. Załóżmy, że jakaś spoczywająca cząstka o spinie 0 rozpada się na dwie cząstki o spinie 1/2. Powstała para spinów musi znaleźć się w stanie o łącznym spinie równym zeru (gdyż moment pędu nie może się zmienić w wyniku rozpadu). Oznacza to, że spiny obu cząstek są przeciwne. Zapisuje się to jako następujący stan

|{\downarrow}\rangle_L |\uparrow\rangle_R-|\uparrow\rangle_L \downarrow\rangle_R.

Indeksy L i R wskazują nam cząstki biegnące w lewo i w prawo. Różnica stanów oznacza, że oba jej składniki są możliwe i jednakowo prawdopodobne: a więc możliwe jest, że mierząc spin lewej cząstki, uzyskamy wynik w dół. Będzie temu automatycznie towarzyszyć wynik w górę dla drugiej cząstki. Widzimy, czym niepokoił się Einstein: skąd ta druga cząstka wie, że uzyskałem dla pierwszej wynik spin w dół? Tym bardziej, że mógłbym uzyskać wynik negatywny, tzn. spin w górę, a wtedy druga cząstka z pewnością wskazałaby spin w dół. W dodatku to jeszcze nie wszystko. Mogę zmienić kierunek osi. Zapis stanu powyżej nie zmieni się ani na jotę. Dla tego nowego kierunku osi nadal wyniki będą skorelowane.

Same korelacje nie muszą jednak oznaczać, że potrzebujemy mechaniki kwantowej. Może pary cząstek od samego początku są już w jakichś dwóch skorelowanych stanach, tak jakby jedna zawsze była niebieska a druga żółta. Jeśli ustalę, że ta lewa jest żółta, to prawa będzie niebieska, i na odwrót. Okazuje się, że można wykluczyć takie klasyczne korelacje i to jest właśnie treść nierówności Bella. Jest mnóstwo wersji tej nierówności, my przedstawimy jedną z najprostszych. Załóżmy, że nasza para obserwatorów (zwanych zgodnie ze świecką tradycją mechaniki kwantowej Alice i Bob) wykonuje pomiary dla wybranych kierunków osi i za każdym razem zapisuje kierunek osi oraz wynik (tak-nie). Celem pomiarów jest ustalenie częstości występowania jednakowych wyników w różnych przypadkach i porównanie z tym, co przewiduje mechanika kwantowa. Kierunki A i B oraz C i D różnią się o 45º, A jest pionowy, D – poziomy.
Bell
Mechanika kwantowa przewiduje, że gdy kierunki pomiarów obojga obserwatorów tworzą ze sobą kąt \theta, prawdopodobieństwo uzyskania przez nich jednakowych wyników pomiarów (tak-tak albo nie-nie) jest w naszym przypadku równe \sin^2\frac{\theta}{2} (wzór ten nie ma nic wspólnego ze splątaniem, tak zachowuje się spin 1/2, gdy zmieniamy kierunek osi, wyjaśniają to podręczniki mechaniki kwantowej, nawet gdy nie ma w nich nic o splątaniu i tw. Bella). Dla trzech par kierunków otrzymamy kolejno

P(A=C)=\sin^2\frac{135^{\circ}}{2}=0,85

P(B=C)=\sin^2\frac{180^\circ}{2}=1

P(B=D)=\sin^2\frac{135^{\circ}}{2}=0,85

Kierunki B i C są dokładnie przeciwne, dlatego wynik jest pewny. Kierunki A i C oraz B i D są „prawie” przeciwne, więc wartość jest bliska 1, ale mniejsza. Prawdopodobieństwa te są zgodne z obserwacjami.

Załóżmy teraz, że „naprawdę” nasze cząstki od początku biegną przygotowane w pewnym stanie. Spróbujmy określić prawdopodobieństwo, że wyniki Alice i Boba będą różne przy ustawieniach A i D. Jeśli dla danego pomiaru A\neq D, to mamy A\neq C lub B\neq D (ponieważ zawsze B=C). Wobec tego zdarzenie A\neq D zawarte jest w sumie zdarzeń A\neq C oraz B\neq D. Otrzymujemy

P(A\neq D)\leq P(A\neq C)+P( B\neq D)=0,3.

Tym samym P(A=D)\geq 0,7. Taki jest wynik klasycznej teorii prawdopodobieństwa.
Stosując do A i D wzór przytoczony wyżej, otrzymujemy P(A=D)=0,55. Doświadczenie to potwierdza.

Naruszenia tej i innych nierówności Bella pokazują, że mechaniki kwantowej nie można zastąpić teorią klasyczną w charakterze (lokalną) i jednocześnie pozwalającą na takie same przewidywania. Dziś sceptycyzm, zrozumiały w latach trzydziestych, ustąpił raczej miejsca ciekawości, do czego może nas to doprowadzić. A prowadzić może np. do komputera kwantowego, którego powstanie wydaje się tylko kwestią czasu i który potrafiłby przeprowadzać obliczenia dziś niewykonalne, mógłby np. złamać praktycznie wszystkie stosowane obecnie szyfry.

(Przykład pochodzi od B. Schumachera)

Piękna fizyka: kwantowe interferencje do kwadratu

Richard Feynman pokazał, że mechanika kwantowa jest w istocie bardzo prosta. Od rachunku prawdopodobieństwa różni się tym, że oblicza się w niej nie same prawdopodobieństwa, lecz pewne liczby zespolone, tzw. amplitudy prawdopodobieństwa. Chcąc otrzymać wartość prawdopodobieństwa, należy obliczyć kwadrat modułu owej amplitudy prawdopodobieństwa.

Dla naszych celów wystarczy przedstawienie liczby zespolonej jako punktu na płaszczyźnie, a właściwie wektora wodzącego danego punktu. Kwadrat modułu to po prostu kwadrat długości wektora.

Rozpatrzmy dla przykładu układ z rysunku (zaznaczony linią przerywaną element BSoutput na razie uważamy za nieistniejący). Z lewej strony wpuszczamy pojedyncze fotony. Element BSinput to zwierciadło półprzepuszczalne: foton ma 50% szans na odbicie i 50% na przepuszczenie. W pierwszym przypadku po jeszcze jednym odbiciu od zwykłego zwierciadła (mirror) pobiegnie drogą 2 prosto do detektora D2, który kliknie. W drugim przypadku foton pobiegnie drogą 1, odbije się od drugiego zwykłego zwierciadła (mirror), i po chwili kliknie detektor D1.

F1.large (2)

Jak obliczyć amplitudy prawdopodobieństwa dla obu możliwości? Dla każdej drogi fotonu należy przemnożyć przez siebie amplitudy odpowiadające kolejnym zdarzeniom (nieco podobna reguła działa w rachunku prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych,  tutaj mnożymy jednak amplitudy zespolone). Mnożenie przez liczbę zespoloną to obrót połączony ze zmianą długości. Ponieważ w naszym układzie szanse będą zawsze wyrównane, więc nie musimy się przejmować długościami wektorów, zostaje więc tylko obrót. Zaczynamy od wektora jednostkowego skierowanego wzdłuż osi Ox. Odpowiada on prawdopodobieństwu 1 — wiemy na pewno, że foton wpada z lewej strony. Możliwe są dwa ciągi zdarzeń: foton przechodzi przez pierwsze zwierciadło, biegnie po drodze 1, odbija się i wpada do D1; drugi ciąg zdarzeń: odbija się od pierwszego zwierciadła, potem od drugiego, biegnie po drodze 2 i wpada do D2. Jedyne wydarzenia, które wpływają na naszą strzałkę to odbicia od któregokolwiek ze zwierciadeł, obojętne czy półprzepuszczalnego, czy zwykłego. Każde odbicie oznacza obrót strzałki o 90° (z przyczyn, nazwijmy to, optycznych; nie jest to szczególnie istotne, po prostu tak jest).

Amplitudy trafienia fotonu do licznika D1 i D2 przedstawione są na rysunku — z lewej strony dla drogi nr 1, z prawej dla drogi nr 2. Wektory mają różne kierunki: uwzględniliśmy, że na drodze nr 1 foton raz się odbija, a na drodze nr 2 dwa razy. Uwzględniliśmy też możliwość, że droga nr 1 ma nieco inną długość (ponieważ odległość zmienia się w sposób ciągły, więc zmieniając odległość na drodze nr 1, możemy uzyskać obrót o dowolny kąt \Phi). Zauważmy, że na razie szczegóły tych obrotów nie mają znaczenia: żaden obrót nie zmieni długości wektorów. Zatem liczniki klikać będą tak samo często (na przemian, ponieważ zdarzenia się wykluczają).
1

Jeśli do naszego układu wprowadzimy drugie zwierciadło półprzepuszczalne BSoutput sytuacja stanie się ciekawsza, otrzymamy interferencję. Rozpatrzmy zdarzenie polegające na doleceniu fotonu do D2. Może on to zrobić, jeśli obierze drogę nr 1 i dodatkowo odbije się w zwierciadle BSoutput albo, alternatywnie, gdy obierze drogę nr 2 i zostanie przepuszczony przez zwierciadło BSoutput. Amplitudy dla obu dróg przedstawia rysunek (dodatkowy obrót o  90° dla drogi 1 odpowiada dodatkowemu odbiciu).

2

Po wstawieniu drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego nie możemy określić, którą drogę obrał foton. Mogliśmy to ustalić jednoznacznie w poprzedniej sytuacji; teraz, aby wiedzieć, którędy pobiegł foton, musielibyśmy wykonać jakieś dodatkowe pomiary, czego nie robimy (in. mówiąc musiałoby zachodzić jakieś zjawisko pozwalające określić, którędy biegnie foton, nawet gdybyśmy go nie potrafili wykorzystać, ważne, czy w zasadzie można by to zrobić, czy nie). Zatem obie drogi są nierozróżnialne. Reguła postępowania w takich sytuacjach brzmi: amplitudę prawdopodobieństwa otrzymuje się dodając do siebie amplitudy członów alternatywy. Dodawanie liczb zespolonych to dodawanie wektorów według zasady równoległoboku.

3

W naszym przypadku wygląda to następująco. Kąt między obu wektorami równy jest \Phi (wspólny obrót o 180° nie ma znaczenia), a kwadrat długości wektora wypadkowego będzie równy 2cos^2\frac{\Phi}{2}. Gdybyśmy rozpatrzyli amplitudy zdarzenia polegającego na zarejestrowaniu fotonu przez D1, zmieniłoby się tyle, że foton na drodze nr 1 zaliczyłby o jedno odbicie mniej, a na drodze nr 2 o jedno więcej. Ostatecznie kwadrat długości wektora byłby równy teraz 2\sin^2\frac{\Phi}{2}. Zauważmy, że suma obu tych prawdopodobieństw jest stała, jak powinno być, jeśli nie gubimy fotonów i mamy idealne detektory.

Łatwo zobaczyć, że zbierane przez detektory liczby fotonów wyglądałyby, jak na tym wykresie.

F3.large (1)

Prawdopodobieństwa dla D1 zaznaczone są na niebiesko, dla D2 – na czerwono. Na dole jest sytuacja, w której rozróżniamy drogi, na górze ta z interferencją. Jest to wykres z prawdziwego eksperymentu przeprowadzonego w roku 2007 [V. Jacques et al., Experimental Realization of Wheeler’s Delayed-Choice GedankeExperiment, „Science” t. 315 (2007) s. 966]. Eksperyment dotyczył sytuacji bardziej skomplikowanej. Otóż John Wheeler, mentor Richarda Feynmana, postawił kiedyś następujące problem. Foton wpadający do naszej aparatury „nie wie”, czy na jej końcu znajduje się drugie zwierciadło półprzepuszczalne, czy nie. A od tego przecież zależą wyniki doświadczalne. Co więc by się stało, gdyby decyzja: wstawić BSoutput albo nie, zapadła dopiero wtedy, gdy foton już przejdzie przez pierwsze ze zwierciadeł półprzepuszczalnych? Doświadczenie Jacquesa i in. pokazało, że wyniki są dokładnie takie same, jak gdyby było to ustalone z góry. W układzie doświadczalnym decyzja co do drugiego zwierciadła zapadała losowo i w takim punkcie czasoprzestrzeni, że nie mogła mieć wpływu na wyniki pomiaru w detektorach. W istocie pojawienie się interferencji albo jej niepojawienie się staje się widoczne dopiero po skojarzeniu zapisów detektorów fotonów i zapisu na temat drugiego zwierciadła półprzepuszczalnego. Gdy podzielimy dane z detektorów na podgrupy bez i ze zwierciadłem BSoutput otrzymujemy obraz bez interferencji albo z interferencją.

Pod koniec ubiegłego roku opublikowano dwie piękne prace eksperymentalne, w których dwa stany: „nie ma zwierciadła BSoutput” oraz „jest zwierciadło BSoutput” stały się dwoma stanami kwantowymi, które mogą interferować ze sobą w zadanej proporcji. Oba składniki tej proporcji można umownie zapisać jako \cos\alpha oraz \sin\alpha (mamy pewność, że ich suma kwadratów jest zawsze równa jeden). Kąt \alpha=0 odpowiada brakowi BSoutput, kąt \alpha=\frac{\pi}{2} odpowiada jego obecności. W ten sposób zmieniając wartość \alpha przechodzimy od braku interferencji do pełnej interferencji w sposób płynny. Badacze sprawdzili, że istotnie jest to kwantowa interferencja interferencji, sprawdzając nierówność Bella (informuje ona, czy dany wynik może zostać uzyskany z teorii klasycznej). Ilustrują to wykresy poniżej, punkty są punktami doświadczalnymi.

F3.large (2)

[A. Peruzzo et al., A Quantum Delayed-Choice Experiment, „Science” t. 338, (2012) s. 634; F. Kaiser et al., Entanglement-Enabled Delayed-Choice Experiment, „Science” t.338 (2012) s. 637.]